难点探究专题:全等三角形中的动态问题 ◆类型一全等三角形中的动点问题 1.如图,在△MAB中,MA=MB,过M点作直线MN交AB于N点.P是直线MN 上的一个动点,在点P移动的过程中,若NA=NB,则∠PAM与∠PBM是否相等?说明理 由 B 2.如图①,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC(∠ABC=∠ACB=45°),点D为直 线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF (1)观察猜想:如图①,当点D在线段BC上时 ①BC与CF的位置关系为 ②线段BC,CD,CF之间的数量关系为 (将结论直接写在横线上) (2)数学思考:如图②,当点D在线段CB的延长线上时,结论①,②是否仍然成立? 若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明 图 图②2
难点探究专题：全等三角形中的动态问题 ◆类型一 全等三角形中的动点问题 1．如图，在△MAB 中，MA＝MB，过 M 点作直线 MN 交 AB 于 N 点．P 是直线 MN 上的一个动点，在点 P 移动的过程中，若 NA＝NB，则∠PAM 与∠PBM 是否相等？说明理 由． 2．如图①，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC(∠ABC＝∠ACB＝45°)，点 D 为直 线 BC 上一动点(点 D 不与 B，C 重合)，以 AD 为边在 AD 右侧作正方形 ADEF，连接 CF. (1)观察猜想：如图①，当点 D 在线段 BC 上时， ①BC 与 CF 的位置关系为________； ②线段 BC，CD，CF 之间的数量关系为______________ (将结论直接写在横线上)； (2)数学思考：如图②，当点 D 在线段 CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？ 若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
◆类型二全等三角形中的动图问题 3.已知等边三角形的三条边相等、三个角都等于60°如图,△ABC与△CDE都是等边 三角形,连接AD,BE (1)如果点B,C,D在同一条直线上,如图①所示,试说明:AD=BE (2)如果△ABC绕C点转过一个角度,如图②所示,(1)中的结论还能否成立?请说明理 图① 图② ◆类型三全等三角形中的翻折问题 4.如图,将R△ABC沿斜边翻折得到△ADC,E,F分别为DC,BC边上的点,且∠EAF ∠DAB试猜想DE,BF,EF之间有何数量关系,并说明理由 E 参考答案与解析 1.解:∠PAM=∠PBM理由如下:∵MA=NB,MA=MB,MN是公共边
◆类型二 全等三角形中的动图问题 3．已知等边三角形的三条边相等、三个角都等于 60°.如图，△ABC 与△CDE 都是等边 三角形，连接 AD，BE. (1)如果点 B，C，D 在同一条直线上，如图①所示，试说明：AD＝BE； (2)如果△ABC 绕 C 点转过一个角度，如图②所示，(1)中的结论还能否成立？请说明理 由． ◆类型三 全等三角形中的翻折问题 4．如图，将 Rt△ABC 沿斜边翻折得到△ADC，E，F 分别为 DC，BC 边上的点，且∠EAF ＝ 1 2 ∠DAB.试猜想 DE，BF，EF 之间有何数量关系，并说明理由． 参考答案与解析 1．解 ：∠PAM ＝∠PBM. 理由如下 ：∵NA ＝NB ，MA ＝MB ，MN 是公 共边
∴△AMN≌△ BMN(SSS,∴∠MN=∠MBN,∠MNA=∠MNB.又∵MA=NB,PN是公共 边,∴△PAN≌△ PBN(SAS),∴∠PAN=∠PBN∠PAM=∠PBM 2.解:(1)①垂直②BC=CD+CF (2CF⊥BC成立;BC=CD+CF不成立,正确结论:CD=CF+BC证明如下:∵正方 形ADEF中,AD=AF,∠DAF=∠BAC=90°,∴∠BAD=∠CAF在△DAB与△FAC中, AD=AF ∠BAD=∠CAF,∴△DAB≌△ FAC(SAS),∴∠ABD=∠ACF,DB=CF∵∠ACB=∠ABC AB=AC, 45°,∴∠ABD=180-45°=135°,∴∠BCF=∠ACF-∠ACB=∠ABD-∠ACB=90°, CF⊥BC.CD=DB+BC,DB=CF,∴CD=CF+BC AC=BC, 与△BCE中,1∠ACD=BCE,∴△ACD≌△BCE(SAS).∴AD=BE CD=CE (2)成立.理由如下:∵∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE 即∠BCE=∠ACD又∵AC=BC,CD=CE,∴△ACD≌△BCE,∴AD=BE 4.解:DE+BF=EF理由如下:延长CB至G,作∠5=∠1,如图所示.∵将Rt△ABC 沿斜边翻折得到△ADC,∠EAF=5∠DAB,∴AB=AD,∠ABC=∠ADE=90°,∠2+∠3 ∠1+∠4,∴∠ABG=90°=ADE.∵∠5=∠1,∴∠2+∠3=∠4+∠5,∴∠GAF=∠EAF ∠GAB=∠EAD, 在△AGB和△AED中,14B=AD, ∴△AGB≌△ AEDASA),∴AG=AE,BG=DE ∠ABG=∠ADE, AG=AE 在△AGF和△AEF中,∠GAF=∠EAF,∴△AGF≌△ AEF(SAS,∴GF=EF,∴BG+BF AF=AF =EF,∴DE+BF=EF E B
∴△AMN≌△BMN(SSS)，∴∠MAN＝∠MBN，∠MNA＝∠MNB.又∵NA＝NB，PN 是公共 边，∴△PAN≌△PBN(SAS)，∴∠PAN＝∠PBN.∴∠PAM＝∠PBM. 2．解：(1)①垂直 ②BC＝CD＋CF (2)CF⊥BC 成立；BC＝CD＋CF 不成立，正确结论：CD＝CF＋BC.证明如下：∵正方 形 ADEF 中，AD＝AF，∠DAF＝∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAF.在△DAB 与△FAC 中， AD＝AF， ∠BAD＝∠CAF， AB＝AC， ∴△DAB≌△FAC(SAS)，∴∠ABD＝∠ACF，DB＝CF.∵∠ACB＝∠ABC ＝45°，∴∠ABD＝180°－45°＝135°，∴∠BCF＝∠ACF－∠ACB＝∠ABD－∠ACB＝90°， ∴CF⊥BC.∵CD＝DB＋BC，DB＝CF，∴CD＝CF＋BC. 3．解：(1)∵△ABC，△CDE 都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝DE，∠ACB＝∠DCE ＝60°.∵点 B，C，D 在同一条直线上，∴∠ACE＝60°，∴∠BCE＝∠ACD＝120°.在△ACD 与△BCE 中，∵ AC＝BC， ∠ACD＝∠BCE， CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴AD＝BE. (2)成立．理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB＋∠ACE＝∠DCE＋∠ACE， 即∠BCE＝∠ACD.又∵AC＝BC，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE. 4．解：DE＋BF＝EF.理由如下：延长 CB 至 G，作∠5＝∠1，如图所示．∵将 Rt△ABC 沿斜边翻折得到△ADC，∠EAF＝ 1 2 ∠DAB，∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠2＋∠3 ＝∠1＋∠4，∴∠ABG＝90°＝ADE.∵∠5＝∠1，∴∠2＋∠3＝∠4＋∠5，∴∠GAF＝∠EAF. 在△AGB 和△AED 中， ∠GAB＝∠EAD， AB＝AD， ∠ABG＝∠ADE， ∴△AGB≌△AED(ASA)，∴AG＝AE，BG＝DE. 在△AGF 和△AEF 中， AG＝AE， ∠GAF＝∠EAF， AF＝AF， ∴△AGF≌△AEF(SAS)，∴GF＝EF，∴BG＋BF ＝EF，∴DE＋BF＝EF