第十七章勾股定理 教学目标 1.会用勾股定理解决简单问题。 2会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。 3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题。 教学重点:回顾并思考勾股定理及逆定理 教学难点:勾股定理及逆定理在生活中的广泛应用。 教学过程 、出示目标 1会用勾股定理解决简单问题 2会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。 3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题 二、知识结构图 定理:a2+b2=c2 直角三角形的性质勾股定理 应用:主要用于计算 股 直角三角形的判别方法若三角形的三边满足a2+b2=c2则 它是一个直角三角形 、知识点回顾 1勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其 主要应用有:(1)已知直角三角形的两边求第三边 (2)已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边 (3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 (4)勾股定理的直接作用是知道直角三角形任意两边的长度,求第三边的长.这 里一定要注意找准斜边、直角边;二要熟悉公式的变形 a2=c2-b2.b2=c2-a2c=va2+b2 a=vc2-b2b=Vc2-a2
第十七章 勾股定理 教学目标： 1.会用勾股定理解决简单问题。 2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。 3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题。 教学重点：回顾并思考勾股定理及逆定理 教学难点：勾股定理及逆定理在生活中的广泛应用。 教学过程： 一、出示目标 1.会用勾股定理解决简单问题。 2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。 3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题。 二、知识结构图 三、知识点回顾 1.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其 主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边 （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 （4）勾股定理的直接作用是知道直角三角形任意两边的长度，求第三边的长．这 里一定要注意找准斜边、直角边；二要熟悉公式的变形： 2 2 2 2 2 2 2 2 a = c − b ,b = c − a ,c = a + b , 2 2 2 2 a = c − b ,b = c − a ． 定理： 2 2 2 a + b = c 应用:主要用于计算 直角三角形的性质:勾股定理 直角三角形的判别方法::若三角形的三边满足 2 2 2 a + b = c 则 它是一个直角三角形. 勾 股 定 理
勾股定理的探索与验证,一般采用“构造法ˆ.通过构造几何图形,并计算图形面 积得出一个等式,从而得出或验证勾股定理. 2如何判定一个三角形是直角三角形 (1)先确定最大边(如c) (2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系 (3)若c2=a2+b2,则△ABC是以∠C为直角的直角三角形;若 c2≠a2+b2,则△ABC不是直角三角形。 3、三角形的三边分别为a、b、c,其中c为最大边,若a2+b2=c2,则三角形 是直角三角形;若a2+b2>c2,则三角形是锐角三角形;若a2+b2<c2,则三 角形是钝角三角形.所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边 4、勾股数满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数 如(1)3,4,5;(2)5,12,13:(3)6,8,10;(4)8,15,17 (5)7,24,25(6)9,40,41 四、典型例题分析 例1:如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm和8cm,那么这个三角形 的周长和面积分别是多少? 分析:这里知道了直角三角形的两条边的长度,应用勾股定理可求出第三 条边的长度,再求周长.但题中未指明已知的两条边是 还是 因此要分两种情况讨论 例2:如图19—11是一只圆柱形的封闭易拉罐,它的底面半径为4cm, 高为15cm,问易拉罐内可放的搅拌棒(直线型)最长可以是多长?
勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”．通过构造几何图形，并计算图形面 积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理． 2.如何判定一个三角形是直角三角形 （1） 先确定最大边（如 c） （2） 验证 2 c 与 2 2 a + b 是否具有相等关系 （3） 若 2 c = 2 2 a + b ，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若 2 c ≠ 2 2 a + b ， 则△ABC 不是直角三角形。 3、三角形的三边分别为 a、b、c，其中 c 为最大边，若 2 2 2 a +b = c ，则三角形 是直角三角形；若 2 2 2 a +b c ，则三角形是锐角三角形；若 a + b c 2 2 ，则三 角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边 4、勾股数 满足 2 2 a + b = 2 c 的三个正整数，称为勾股数 如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41 四、典型例题分析 例 1：如果一个直角三角形的两条边长分别是 6cm 和 8cm，那么这个三角形 的周长和面积分别是多少? 分析： 这里知道了直角三角形的两条边的长度，应用勾股定理可求出第三 条边的长度，再求周长．但题中未指明已知的两条边是_________还是_______， 因此要分两种情况讨论． 例 2： 如图 19—11 是一只圆柱形的封闭易拉罐，它的底面半径为 4cm， 高为 15cm，问易拉罐内可放的搅拌棒(直线型)最长可以是多长?
A1 图19-11 分析:搅拌棒在易拉罐中的位置可以有多种情形,如图中的A1B、A42B,但 它们都不是最长的,根据实际经验,当搅拌棒的一个端点在B点,另一个端点 在A点时最长,此时可以把线段AB放在Rt△ABC中,其中BC为底面直径 例3:已知单位长度为1,画一条线段,使它的长为√29 分析:√29是无理数,用以前的方法不易准确画出表示长为√2的线段,但 由勾股定理可知,两直角边分别为的直角三角形的斜边长为29 CF=-CD 例4:如图,在正方形ABCD中,E是BC的中点,F为CD上一点,且 求 证:△AEF是直角三角形 dE B 分析:要证△AEF是直角三角形,由勾股定理的逆定理,只要证 即可 例5:如图,在四边形ABCD中,∠C=90°,AB=13,BC=4,CD=3,AD=12, 求证:AD⊥BD
分析：搅拌棒在易拉罐中的位置可以有多种情形，如图中的 A1B 、A2B ，但 它们都不是最长的，根据实际经验，当搅拌棒的一个端点在 B 点，另一个端点 在 A 点时最长，此时可以把线段 AB 放在 Rt△ABC 中，其中 BC 为底面直径． 例 3：已知单位长度为“1”，画一条线段，使它的长为 29 ． 分析： 29 是无理数，用以前的方法不易准确画出表示长为 29 的线段，但 由勾股定理可知，两直角边分别为________的直角三角形的斜边长为 29 . 例4：如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，且 ．求 证：△AEF 是直角三角形． 分析：要证△AEF 是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要证 _________________________________________即可． 例 5：如图，在四边形 ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12， 求证：AD⊥BD．
C B 分析:可将直线的互相垂直问题转化成直角三角形的判定问题 例6:已知:如图△ABC中,AB=AC=10,BC=16,点D在BC上,DA⊥CA于 A.求:BD的长 分析:可设BD长为xcm,然后寻找含x的等式即可,由AB=AC=10知△ABC 为等腰三角形,可作高利用其“三线合一”的性质来帮助建立方程 例7:一只蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B 点,那么它所爬行的最短路线的长是 (分 析:可以)
分析：可将直线的互相垂直问题转化成直角三角形的判定问题． 例 6：已知：如图△ABC 中，AB=AC=10，BC=16，点 D 在 BC 上，DA⊥CA 于 A．求：BD 的长． 分析：可设 BD 长为 xcm，然后寻找含 x 的等式即可，由 AB=AC=10 知△ABC 为等腰三角形，可作高利用其“三线合一”的性质来帮助建立方程． 例 7：一只蚂蚁从长、宽都是 3，高是 8 的长方体纸箱的 A 点沿纸箱爬到 B 点，那么它所爬行的最短路线的长是__________________________________．（分 析：可以）
B 分析:将点A与点B展开到同一平面内,由:“两点之间,线段最短。”再根据“勾 股定理”求出最短路线 五、补充本章注意事项 勾股定理是平面几何中的重要定理,其应用极其广泛,在应用勾股定理时, 要注意以下几点: 要注意正确使用勾股定理 例1在Rt△ABC中,∠B=Rt∠,a=1,b=√3,求c。 2、要注意定理存在的条件 例2在边长为整数的△ABC中,AB>AC,如果AC=4,BC=3,求AB的长。 3、要注意原定理与逆定理的区别 例3如图1,在△ABC中,AD是高,且AD=BD·CD,求证:△ABC为直角 三角形 4、要注意防止漏解 例4在Rt△ABC中,a=3,b=4,求c。 5、要注意正逆合用
分析：将点 A 与点 B 展开到同一平面内，由：“两点之间，线段最短。”再根据“勾 股定理”求出最短路线 五、补充本章注意事项 勾股定理是平面几何中的重要定理，其应用极其广泛，在应用勾股定理时， 要注意以下几点： 1、要注意正确使用勾股定理 例 1 在 Rt△ABC 中，∠B=Rt∠，a=1，b = 3 ，求 c。 2、要注意定理存在的条件 例 2 在边长为整数的△ABC 中，AB>AC，如果 AC=4，BC=3，求 AB 的长。 3、要注意原定理与逆定理的区别 例 3 如图 1，在△ABC 中，AD 是高，且 AD BD CD 2 = ，求证：△ABC 为直角 三角形。 4、要注意防止漏解 例 4 在 Rt△ABC 中，a=3，b=4，求 c。 5、要注意正逆合用
在解题中,我们常将勾股定理及其逆定理结合起来使用,一个是性质,一个是判 定,真所谓珠联壁合。当然在具体运用时,到底是先用性质,还是先用判定,要 视具体情况而言。 例5在△ABC中,D为BC边上的点,已知AB=13,AD=12,AC=15,BD=5, 那么DC= 图2 6、要注意创造条件应用 例6如图3,在△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,DE⊥DE,DE、DF分 别交AC、BC、于E、F,求证:EF2=AE2+BF2 图3 分析因为EF、AE、BF不是一个三解形的三边,所以要证明结论成 立,必须作适当的辅助线,把结论中三条线段迁移到一个三角形中,然后再证明 与EF相等的边所对的角为直角既可,为此,延长ED到G,使DG=DE,连结 BG、FG,则易证明信BG=AE,GF=EF, ∠DBG=∠DAE=∠BAC,由题设易知∠ABC+∠BAC=90°,故有 ∠FBG=∠FBD+∠DBG=∠ABC+∠BAC=90°,在Rt△FBG中,由勾股定理有: FG=BF2+BG2,从而EF2=AE2+BF2
在解题中，我们常将勾股定理及其逆定理结合起来使用，一个是性质，一个是判 定，真所谓珠联壁合。当然在具体运用时，到底是先用性质，还是先用判定，要 视具体情况而言。 例 5 在△ABC 中，D 为 BC 边上的点，已知 AB=13，AD=12，AC=15，BD=5， 那么 DC=_________。 6、要注意创造条件应用 例 6 如图 3，在△ABC 中，∠C=90°，D 是 AB 的中点，DE⊥DE，DE、DF 分 别交 AC、BC、于 E、F，求证： 2 2 2 EF = AE + BF 分析 因为 EF、AE、BF 不是一个三解形的三边，所以要证明结论成 立，必须作适当的辅助线，把结论中三条线段迁移到一个三角形中，然后再证明 与 EF 相等的边所对的角为直角既可，为此，延长 ED 到 G，使 DG=DE，连结 BG、FG，则易证明信 BG=AE，GF=EF， ∠DBG=∠DAE=∠BAC ，由题设易知 ∠ABC+∠BAC=90°，故有 ∠FBG=∠FBD+∠DBG=∠ABC+∠BAC=90°，在 Rt△FBG 中，由勾股定理有： 2 2 2 FG = BF + BG ，从而 2 2 2 EF = AE + BF