第2课时函数 教学目标一 是函数关系;C中,面积≡×底边上的高 1.了解函数的概念,弄清自变量与函底边长,底边长与面积虽然是两个变量, 数之间的关系;(重点) 但面积公式中还有底边上的高,而这里高也 2.确定函数中自变量的取值范围.(难是变量,有三个变量,故C选项不是函数关 系;D中,周长=2π×半径,圆的周长与其 半径是函数关系,故选C 方法总结:判断两个变量是否是函数关 数学心程 、情境导入 系,就看是否存在两个变量,并且在这两个 变量中,确定哪个是自变量,哪个是函数 然后再看看这两个变量是否是一—对应关 如图,水滴激起的波纹可以看成是一个 不断向外扩展的圆,它的面积随着半径的变系 化而变化,随着半径的确定而确定 【类型二】确定实际问题中函数解桠 在上述例子中,每个变化过程中的两个式以及自变量 变量.当其中一个变量变化时,另一个变量 2下列问题中哪些量是自变量?哪 也随着发生变化:当一个变量确定时,另一些量是自变量的函数?试写出用自变量表 个变量也随着确定 示函数的式子 你能举出一些类似的实例吗? (1)一个弹簧秤最大能称不超过10kg的 从今天开始,我们就研究和此有关的问物体,它的原长为10cm,挂上重物后弹簧 题—函数 的长度ycm)随所挂重物的质量x(kg)的变化 二、合作探究 而变化,每挂lkg物体,弹簧伸长0.5cm 探究点一:函数 (2)设一长方体盒子高为30cm,底面是 【类型一】函数的定义 正方形,底面边长a(cm)改变时,这个长方 例1下列变量间的关系不是函数关系体的体积(cm3)也随之改变 的是() 解析:(1)根据弹黃的长度等于原长加上 A.长方形的宽一定,其长与面积 伸长的长度,列式即可;(2)根据长方体的体 B.正方形的周长与面积 积公式列出函数式 C.等腰三角形的底边长与面积 D.圆的周长与半径 解:(1)y=10+x(0≤x≤10),其中x是 解析:A中,长方形的宽一定.它是常自变量,y是自变量的函数 量,而面积=长×宽,长与面积是两个变量 (2)=30a(a>0),其中a是自变量, 若长改变,则面积也改变,故A选项是函数是自变量的函数 周长 关系;B中,面积=()2,正方形的周长 方法总结:函数解析式中,通常等式的 与面积是两个变量,16是常量,故B选项 右边的式子中的变量是自变量,等式左边的
第 2 课时 函 数 1．了解函数的概念，弄清自变量与函 数之间的关系；(重点) 2．确定函数中自变量的取值范围．(难 点) 一、情境导入 如图，水滴激起的波纹可以看成是一个 不断向外扩展的圆，它的面积随着半径的变 化而变化，随着半径的确定而确定． 在上述例子中，每个变化过程中的两个 变量．当其中一个变量变化时，另一个变量 也随着发生变化；当一个变量确定时，另一 个变量也随着确定． 你能举出一些类似的实例吗？ 从今天开始，我们就研究和此有关的问 题——函数． 二、合作探究 探究点一：函数 【类型一】 函数的定义 下列变量间的关系不是函数关系 的是( ) A．长方形的宽一定，其长与面积 B．正方形的周长与面积 C．等腰三角形的底边长与面积 D．圆的周长与半径 解析：A 中，长方形的宽一定．它是常 量，而面积＝长×宽，长与面积是两个变量， 若长改变，则面积也改变，故 A 选项是函数 关系；B 中，面积＝( 周长 4 ) 2，正方形的周长 与面积是两个变量，16 是常量，故 B 选项 是函数关系；C 中，面积＝1 2 ×底边上的高 ×底边长，底边长与面积虽然是两个变量， 但面积公式中还有底边上的高，而这里高也 是变量，有三个变量，故 C 选项不是函数关 系；D 中，周长＝2π×半径，圆的周长与其 半径是函数关系．故选 C. 方法总结：判断两个变量是否是函数关 系，就看是否存在两个变量，并且在这两个 变量中，确定哪个是自变量，哪个是函数， 然后再看看这两个变量是否是一一对应关 系． 【类型二】 确定实际问题中函数解析 式以及自变量 下列问题中哪些量是自变量？哪 些量是自变量的函数？试写出用自变量表 示函数的式子． (1)一个弹簧秤最大能称不超过 10kg 的 物体，它的原长为 10cm，挂上重物后弹簧 的长度y(cm)随所挂重物的质量x(kg)的变化 而变化，每挂 1kg 物体，弹簧伸长 0.5cm； (2)设一长方体盒子高为 30cm，底面是 正方形，底面边长 a(cm)改变时，这个长方 体的体积 V(cm3 )也随之改变． 解析：(1)根据弹簧的长度等于原长加上 伸长的长度，列式即可；(2)根据长方体的体 积公式列出函数式． 解：(1)y＝10＋ 1 2 x(0＜x≤10)，其中 x 是 自变量，y 是自变量的函数； (2)V＝30a 2 (a>0)，其中 a 是自变量，V 是自变量的函数． 方法总结：函数解析式中，通常等式的 右边的式子中的变量是自变量，等式左边的
那个字母表示自变量的函数 的取值范围 例5写出下列函数中自变量x的取值 探究点二:自变量的值与函数值 范围 【类型一】根据解析式求函数值 例3]根据如图所示程序计算函数值 (1)y=2x-3;(2y= 若输入x的值为,则输出的函数值为( (3)=4-x:(4)=x-2 输入x值 解析:当表达式的分母不含有自变量 时,自变量取全体实数;当表达式的分母中 含有自变量时,自变量取值要使分母不为 (-1≤x<0)(0≤x2)|(2≤x≤4) 零;当函数的表达式是偶次根式时,自变量 的取值范围必须使被开方数不小于零 解:(1)全体实数 (2)分母1-x≠0,即x≠1 B C (3)被开方数4-x≥0,即x≤4 解析:∵x=时,在2≤x≤4之间,∴ (4)由题意得 jx-1≥0 2≠0,解得x≥1且 将x=代入函数y=,得y=5故选B x≠2 方法总结:根据所给的自变量的值结合 方法总结:本题考查了函数自变量的取 各个函数关系式所对应的自变量的取值范值范围:有分母的要满足分母不能为0,有 围,确定其对应的函数关系式再代入计算.根号的要满足被开方数为非负数. 【类型二】根据实际问题求函数值 【类型二】确定实际问题中函数解杬 囹4小强想给爷爷买双鞋,爷爷说他式的取值范围 的脚长255cm,若用x(单位:cm)表示脚长 例6水箱内原有水200升,7:30打开 用y(单位:码)表示鞋码,则有2x-y=10,水龙头,以2升/分的速度放水,设经t分钟 根据上述关系式,小强应给爷爷买 时,水箱内存水y升 码的鞋 (1)求y关于t的函数关系式和自变量的 解析:∵用x表示脚长,用y表示鞋码,取值范围; 则有2x-y=10,而x=25.5,则51-y=10 (2)7:55时,水箱内还有多少水? 解得y=41 (3)几点几分水箱内的水恰好放完 解析:(1)根据水箱内还有的水等于原有 方法总结:当已知函数解析式时,求函水减去放掉的水列式整理即可,再根据剩余 数值就是求代数式的值;当已知函数解析 水量不小于0列不等式求出t的取值范围 (2)当7:55时,1=55-30=25(分钟),将t 式,给出函数值时,求相应的自变量的值 =25分钟代入(1)中的关系式即可;(3)令y 0,求出t的值即可 是解方程 解:(1)∵水箱内存有的水=原有水一放 掉的水,∴y=200-21∴y≥0,∴200 探究点三:确定自变量的取值范围 21≥0,解得1≤100,∴0≤1≤100,∴y关 【类型一】确定函数解析式中自变量于1的函数关系式为y=200
那个字母表示自变量的函数． 探究点二：自变量的值与函数值 【类型一】 根据解析式求函数值 根据如图所示程序计算函数值， 若输入 x 的值为5 2 ，则输出的函数值为( ) A.3 2 B.2 5 C. 4 25 D.25 4 解析：∵x＝ 5 2 时，在 2≤x≤4 之间，∴ 将 x＝ 5 2 代入函数 y＝ 1 x ，得 y＝ 2 5 .故选 B. 方法总结：根据所给的自变量的值结合 各个函数关系式所对应的自变量的取值范 围，确定其对应的函数关系式，再代入计算． 【类型二】 根据实际问题求函数值 小强想给爷爷买双鞋，爷爷说他 的脚长 25.5cm，若用 x(单位：cm)表示脚长， 用 y(单位：码)表示鞋码，则有 2x－y＝10， 根据上述关系式，小强应给爷爷买________ 码的鞋． 解析：∵用 x 表示脚长，用 y 表示鞋码， 则有 2x－y＝10，而 x＝25.5，则 51－y＝10， 解得 y＝41. 方法总结：当已知函数解析式时，求函 数值就是求代数式的值；当已知函数解析 式，给出函数值时，求相应的自变量的值就 是解方程． 探究点三：确定自变量的取值范围 【类型一】 确定函数解析式中自变量 的取值范围 写出下列函数中自变量 x 的取值 范围： (1)y＝2x－3；(2)y＝ 3 1－x ； (3)y＝ 4－x；(4)y＝ x－1 x－2 . 解析：当表达式的分母不含有自变量 时，自变量取全体实数；当表达式的分母中 含有自变量时，自变量取值要使分母不为 零；当函数的表达式是偶次根式时，自变量 的取值范围必须使被开方数不小于零． 解：(1)全体实数； (2)分母 1－x≠0，即 x≠1； (3)被开方数 4－x≥0，即 x≤4； (4)由题意得 x－1≥0， x－2≠0， 解得 x≥1 且 x≠2. 方法总结：本题考查了函数自变量的取 值范围：有分母的要满足分母不能为 0，有 根号的要满足被开方数为非负数． 【类型二】 确定实际问题中函数解析 式的取值范围 水箱内原有水 200 升，7：30 打开 水龙头，以 2 升/分的速度放水，设经 t 分钟 时，水箱内存水 y 升． (1)求 y 关于 t 的函数关系式和自变量的 取值范围； (2)7：55 时，水箱内还有多少水？ (3)几点几分水箱内的水恰好放完？ 解析：(1)根据水箱内还有的水等于原有 水减去放掉的水列式整理即可，再根据剩余 水量不小于 0 列不等式求出 t 的取值范围； (2)当 7：55 时，t＝55－30＝25(分钟)，将 t ＝25 分钟代入(1)中的关系式即可；(3)令 y ＝0，求出 t 的值即可． 解：(1)∵水箱内存有的水＝原有水－放 掉的水，∴y＝200－2t.∵y≥0，∴200－ 2t≥0，解得 t≤100，∴0≤t≤100，∴y 关 于 t 的函数关系式为 y ＝ 200 －
2(0≤1≤100) 7:30=25(分钟),∴当 25分钟时,y=200-2=200-50 50(升),∴7:55时,水箱内还有水150升; (3)当y=0时,200-21=0,解得t=100 而100分钟=1小时40分钟,7点30分+1 小时40分钟=9点10分,故9点10分水箱 内的水恰好放完 板书设计 1.函数的概念 2.函数自变量的取值范围 使函数有意义的自变量取值的全体,叫 做函数自变量的取值范围 3.函数值 教学反思 在教学过程中,注意通过对以前学过的 “常量与变量”的回顾与思考,提供生动有 趣的问题情境,激发学生的学习兴趣;并通 过层层深入的问题设计,引导学生进行观 察、操作、交流、归纳等数学活动,在活动 中归纳、概括出函数的概念:并通过师生交 流、生生交流、辨析识别等加深学生对函数 概念的理解
2t(0≤t≤100)； (2)∵7：55－7：30＝25(分钟)，∴当 t ＝25 分钟时，y＝200－2t＝200－50＝ 150(升)，∴7：55 时，水箱内还有水 150 升； (3)当 y＝0 时，200－2t＝0，解得 t＝100， 而 100 分钟＝1 小时 40 分钟，7 点 30 分＋1 小时 40 分钟＝9 点 10 分，故 9 点 10 分水箱 内的水恰好放完． 三、板书设计 1．函数的概念 2．函数自变量的取值范围 使函数有意义的自变量取值的全体，叫 做函数自变量的取值范围． 3．函数值 在教学过程中，注意通过对以前学过的 “常量与变量”的回顾与思考，提供生动有 趣的问题情境，激发学生的学习兴趣；并通 过层层深入的问题设计，引导学生进行观 察、操作、交流、归纳等数学活动，在活动 中归纳、概括出函数的概念；并通过师生交 流、生生交流、辨析识别等加深学生对函数 概念的理解．