第2课时勾股定理的应用 距离为(12-53)米 教学目标 方法总结:本题直接考查勾股定理在实 1.熟练运用勾股定理解决实际问题 (重点) 际生活中的运用,可建立合理的数学模型, 2.掌握勾股定理的简单应用,探究最 短距离问题.(难点 将已知条件转化到同一直角三角形中求解 【类型二】利用勾股定理解决方位鱼 数学心程 例2如图所示,在一次夏令营活动中 小明坐车从营地A点出发,沿北偏东60°方 、情境导入 向走了103km到达B点,然后再沿北偏 西30°方向走了100km到达目的地C点,求 出A、C两点之间的距离 解析:根据所走的方向可判断出△ABC 是直角三角形,根据勾股定理可求出解. 如图,在一个圆柱石凳上,若小明在吃 东西时留下了一点食物在B处,恰好一只在 A处的蚂蚁捕捉到这一信息,于是它想从A 处爬向B处,你们想一想,蚂蚁怎么走最 合作探究 东 探究点一:勾股定理的实际应用 解:∵AD∥BE,∴∠ABE=∠DAB= 【类型一】勾股定理在实际问题中的60°∴∵∠CBF=30° ∠ABC=180° 应用 ∠ABE一∠CBF=180°-60°-30°=90°在 Rt△ABC中,AB=1003km,BC=100km AC=√AB2+BC=√(1003)2+10 =200km),∴A、C两点之间的距离为 团例1如图,在离水面高度为5米的岸200km 上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC 的长为13米,此人以0.5米每秒的速度收 方法总结:先确定△ABC是直角三角 绳.问6秒后船向岸边移动了多少米(假设 绳子始终是直的,结果保留根号)? 形,再根据各边长,用勾股定理可求出AC 解析:开始时,AC=5米,BC=13米 即可求得AB的值,6秒后根据BC,AC 的长 度即可求得AB的值,然后解答即可 【类型三】利用勾股定理解决立体图 解:在Rt△ABC中,BC=13米,AC形最短距离问题 5米,则AB=BC2一AC=12米6秒后 BC=13-0.5×6=10米,则AB √BC-AC=5米),则船向岸边移动的
第 2 课时 勾股定理的应用 1．熟练运用勾股定理解决实际问题； (重点) 2．掌握勾股定理的简单应用，探究最 短距离问题．(难点) 一、情境导入 如图，在一个圆柱石凳上，若小明在吃 东西时留下了一点食物在 B 处，恰好一只在 A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从 A 处爬向 B 处，你们想一想，蚂蚁怎么走最 近？ 二、合作探究 探究点一：勾股定理的实际应用 【类型一】 勾股定理在实际问题中的 应用 如图，在离水面高度为 5 米的岸 上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子 BC 的长为 13 米，此人以 0.5 米每秒的速度收 绳．问 6 秒后船向岸边移动了多少米(假设 绳子始终是直的，结果保留根号)? 解析：开始时，AC＝5 米，BC＝13 米， 即可求得 AB 的值，6 秒后根据 BC，AC 长 度即可求得 AB 的值，然后解答即可． 解：在 Rt△ABC 中，BC＝13 米，AC ＝5 米，则 AB＝ BC2－AC2＝12 米.6 秒后， B′C ＝ 13 － 0.5×6 ＝ 10 米，则 AB′ ＝ B′C 2－AC2＝5 3(米)，则船向岸边移动的 距离为(12－5 3)米． 方法总结：本题直接考查勾股定理在实 际生活中的运用，可建立合理的数学模型， 将已知条件转化到同一直角三角形中求解． 【类型二】 利用勾股定理解决方位角 问题 如图所示，在一次夏令营活动中， 小明坐车从营地 A 点出发，沿北偏东 60°方 向走了 100 3km 到达 B 点，然后再沿北偏 西 30°方向走了 100km 到达目的地 C 点，求 出 A、C 两点之间的距离． 解析：根据所走的方向可判断出△ABC 是直角三角形，根据勾股定理可求出解． 解：∵AD∥BE，∴∠ABE＝∠DAB＝ 60°.∵∠CBF ＝ 30°， ∴∠ABC ＝ 180°－ ∠ABE－∠CBF＝180°－60°－30°＝90°.在 Rt△ABC 中，AB＝100 3km，BC＝100km， ∴AC ＝ AB2＋BC2 ＝ （100 3）2＋1002 ＝200(km)，∴A、C 两点之间的距离为 200km. 方法总结：先确定△ABC 是直角三角 形，再根据各边长，用勾股定理可求出 AC 的长． 【类型三】 利用勾股定理解决立体图 形最短距离问题
团4如图,四边形ABCD是边长为9 的正方形纸片,将其沿MN折叠,使点B落 在CD边上的B处,点A的对应点为A,且 BC=3,则AM的长是() x 圆3如图,长方体的长BE=15cm,宽 AB=10cm,高AD=20cm,点M在CH上 且CM=5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体 的表面从点A爬到点M,需要爬行的最短距 B N C 离是多少? A.1.5 B.2 C.2.25 解:分两种情况比较最短距离: D.2.5 解析:连接BM,MB!设AM=x,在 Rt△ABM中,AB2+AMF=BM在Rt△MDB 10 cmC cm 中,MD2+DB2.∵MB=MB,∴AB2+AM BM=B'M=MD+DB2, Bp 92+x=(9 x)2+(9-3)2,解得x=2,即AM=2故选 方法总结:解题的关键是设出适当的线 如图①所示,蚂蚁爬行最短路线为AM, 段的长度为x,然后用含有x的式子表示其 AM=02+(20+5)2=529(cm),如图他线段然后在直角三角形中利用勾股定理 ②所示,蚂蚁爬行最短路线为AM,AM= 202+(10+5)2=25(cm).∵5V29>25 第二种短些,此时最短距离为25cm 列方程解答 答:需要爬行的最短距离是25cm 【类型五】勾股定理与方程思想 方法总结:因为长方体的展开图不止一 形结合思想的应用 种情况,故对长方体相邻的两个面展开时, D 考虑要全面,不要有所遗漏.不过要留意展 开时的多种情况,虽然看似很多,但由于长 5如图,在树上距地面10m的D处 方体的对面是相同的所以归纳起来只需讨有两只猴子,它们同时发现地面上C处有 筐水果,一只猴子从D处向上爬到树顶A 处,然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处 论三种情况:前面和右面展开,前面和上面 另一只猴子从D处先滑到地面B,再由B跑 到C,已知两猴子所经过的路程都是15m, 展开,左面和上面展开,从而比较取其最小求树高AB 解析:在Rt△ABC中,∠B=90°,则 值即可 满足AB2+BC2=AC2.设BC=cm,AC=bm, 【类型四】运用勾股定理解决折叠中AD=m,根据两只猴子经过的路程一样可 的有关计算 列方程组,从而求出x的值,即可计算树高
如图，长方体的长 BE＝15cm，宽 AB＝10cm，高 AD＝20cm，点 M 在 CH 上， 且 CM＝5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体 的表面从点 A 爬到点 M，需要爬行的最短距 离是多少？ 解：分两种情况比较最短距离： 如图①所示，蚂蚁爬行最短路线为 AM， AM＝ 102＋（20＋5）2＝5 29(cm)，如图 ②所示，蚂蚁爬行最短路线为 AM，AM＝ 202＋（10＋5）2＝25(cm)．∵5 29＞25， ∴第二种短些，此时最短距离为 25cm. 答：需要爬行的最短距离是 25cm. 方法总结：因为长方体的展开图不止一 种情况，故对长方体相邻的两个面展开时， 考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展 开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长 方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨 论三种情况：前面和右面展开，前面和上面 展开，左面和上面展开，从而比较取其最小 值即可． 【类型四】 运用勾股定理解决折叠中 的有关计算 如图，四边形 ABCD 是边长为 9 的正方形纸片，将其沿 MN 折叠，使点 B 落 在 CD 边上的 B′处，点 A 的对应点为 A′，且 B′C＝3，则 AM 的长是( ) A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5 解析：连接 BM，MB′.设 AM＝x，在 Rt△ABM 中，AB2＋AM2＝BM2 .在 Rt△MDB′ 中，MD2＋DB′ 2 .∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2 ＝BM2＝B′M2＝MD2＋DB′ 2，即 9 2＋x 2＝(9 －x) 2＋(9－3)2，解得 x＝2，即 AM＝2.故选 B. 方法总结：解题的关键是设出适当的线 段的长度为 x，然后用含有 x 的式子表示其 他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理 列方程解答． 【类型五】 勾股定理与方程思想、数 形结合思想的应用 如图，在树上距地面 10m 的 D 处 有两只猴子，它们同时发现地面上 C 处有一 筐水果，一只猴子从 D 处向上爬到树顶 A 处，然后利用拉在 A 处的滑绳 AC 滑到 C 处， 另一只猴子从 D 处先滑到地面 B，再由 B 跑 到 C，已知两猴子所经过的路程都是 15m， 求树高 AB. 解析：在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，则 满足 AB2＋BC2＝AC2 .设 BC＝am，AC＝bm， AD＝xm，根据两只猴子经过的路程一样可 列方程组，从而求出 x 的值，即可计算树高．
解:在Rt△ABC中,∠B=90°,设BC分类比较能力、讨论交流能力和空间想象能 am,AC=bm,AD=xm∴两猴子所经过力,让学生充分体验到了数学思想的魅力和 的路程都是15m,则10+a=x+b=15m∴a知识创新的乐趣,突现教学过程中的师生互 5,b=15-x又∵在R△ABC中,由勾股动,使学生真正成为主动学习者 定理得(10+x)2+a2=b2,∴(10+x)2+52 (15-x)2,解得x=2,即AD=2米.∴AB AD+DB=2+10=12(米) 答:树高AB为12米 方法总结:勾股定理表达式中有三个 量,如果条件中只有一个己知量,通常需要 巧设未知数,灵活地寻找题中的等量关系 然后利用勾股定理列方程求解 探究点二:勾股定理与数轴 团例6如图所示,数轴上点A所表示的 数为a,则a的值是() A√5+1B.-5+ D 解析:先根据勾股定理求出三角形的斜 边长,再根据两点间的距离公式即可求出A 、的坐标.图中的直角三角形的两直角边为 1和2,∴斜边长为√12+2=√5,∴-1到 A的距离是√那么点A所表示的数为5 1.故选C 方法总结:本题考查的是勾股定理及两 点间的距离公式,解答此题时要注意,确定 点A的位置再根据A的位置来确定a的值 板书设计 1.勾股定理的应用 方位角问题;路程最短问题;折叠问题 数形结合思想. 2.勾股定理与数轴 教学反思 本节课充分锻炼了学生动手操作能力
解：在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，设 BC ＝am，AC＝bm，AD＝xm.∵两猴子所经过 的路程都是 15m，则 10＋a＝x＋b＝15m.∴a ＝5，b＝15－x.又∵在 Rt△ABC 中，由勾股 定理得(10＋x) 2＋a 2＝b 2，∴(10＋x) 2＋5 2＝ (15－x) 2，解得 x＝2，即 AD＝2 米．∴AB ＝AD＋DB＝2＋10＝12(米)． 答：树高 AB 为 12 米． 方法总结：勾股定理表达式中有三个 量，如果条件中只有一个己知量，通常需要 巧设未知数，灵活地寻找题中的等量关系， 然后利用勾股定理列方程求解． 探究点二：勾股定理与数轴 如图所示，数轴上点 A 所表示的 数为 a，则 a 的值是( ) A. 5＋1 B．－ 5＋1 C. 5－1 D. 5 解析：先根据勾股定理求出三角形的斜 边长，再根据两点间的距离公式即可求出 A 点的坐标．图中的直角三角形的两直角边为 1 和 2，∴斜边长为 1 2＋2 2＝ 5，∴－1 到 A 的距离是 5.那么点 A 所表示的数为 5－ 1.故选 C. 方法总结：本题考查的是勾股定理及两 点间的距离公式，解答此题时要注意，确定 点A 的位置，再根据A 的位置来确定a的值． 三、板书设计 1．勾股定理的应用 方位角问题；路程最短问题；折叠问题； 数形结合思想． 2．勾股定理与数轴 本节课充分锻炼了学生动手操作能力、 分类比较能力、讨论交流能力和空间想象能 力，让学生充分体验到了数学思想的魅力和 知识创新的乐趣，突现教学过程中的师生互 动，使学生真正成为主动学习者．