第2课时二次根式的性质 教学目标 解:(1)a2-13=a2-(V13)2=(a+√13)a 1.经历二次根式的性质的发现过程, (2)4a2-5=(2a)2-(52=(2a+52a 体验归纳、猜想的思想方法;(重点) 2.了解并掌握二次根式的性质,会运 (3)x-4x2+4=(x2-2)2=(x+V2)(x 用其进行有关计算.(重点,难点) √22=(x+V(x-v2 方法总结:一些式子在有理数的范围内 数学心程 无法分解因式,可是在实数范围内就可以继 、情境导入 等于什么? 续分解因式.这就需要把一个非负数表示成 我们不妨取a的一些值,如2,-2,3, 3,…分别计算出对应的的值,看看有平方的形式 什么规律 探究点二:二次根式性质的综合应用 p2==2:√(-2)2=√=2 【类型一】结合数轴利用二次根式的 32=√=3:√(-3)2=9 性质求值或化简 你能概括一下G的值吗? 3已知实数a,b在数轴上的位置如 作探究 图所示,化简:y(a+1) 探究点一:二次根式的性质 la-bl 【类型一】利用=NVl2=q进 例1化简: 解析:根据数轴确定a和b的取值范围, 进而确定a十1、b-1和a-b的取值范围 再根据二次根式的性质和绝对值的意义化 解析:根据二次根式的性质进行计算 简求解 解:从数轴上a,b的位置关系可知-2 解:(1)X√5)=5:(2)√5=5:a,故a+10,a-b<0.原式=a+1+2b-1-k 方法总结:利用=进行计算与化b=-(a+1)+2(b-1)+(a-b)=b-3 方法总结:结合数轴利用二次根式的性 简,幂的运算法则仍然适用,同时要注意二 质求值或化简,解题的关键是根据数轴判断 次根式的被开方数要为非负数 【类型三】如=mn2的有关应用字母的取值范围和熟练运用二次根式的性 囹2在实数范围内分解因式 (1)a2-13:(2)4a2-5;(3)x4-4x2+4 质 解析:由于任意一个非负数都可以写成 【类型二】二次根式的化简与三角形 个数的平方的形式,利用这个即可将以上三边关系的综合 几个式子在实数范围内分解因式 囹4己知a、b、c是△ABC的三边长
第 2 课时 二次根式的性质 1．经历二次根式的性质的发现过程， 体验归纳、猜想的思想方法；(重点) 2．了解并掌握二次根式的性质，会运 用其进行有关计算．(重点，难点) 一、情境导入 a 2等于什么？ 我们不妨取 a 的一些值，如 2，－2，3， －3，…分别计算出对应的 a 2的值，看看有 什么规律． 2 2＝ 4＝2； （－2）2＝ 4＝2； 3 2＝ 9＝3； （－3）2＝ 9＝3；… 你能概括一下 a 2的值吗？ 二、合作探究 探究点一：二次根式的性质 【类型一】 利用 a 2＝|a|、( a) 2＝a 进 行计算 化简： (1)( 5) 2 ；(2) 5 2 ；(3) （－5）2 ；(4)(－ 5) 2 . 解析：根据二次根式的性质进行计算即 可． 解 ： (1)( 5 ) 2 ＝ 5 ； (2) 5 2 ＝ 5 ； (3) （－5）2＝5；(4)(－ 5) 2＝5. 方法总结：利用 a 2＝|a|进行计算与化 简，幂的运算法则仍然适用，同时要注意二 次根式的被开方数要为非负数． 【类型二】 ( a) 2＝a(a≥0)的有关应用 在实数范围内分解因式． (1)a 2－13；(2)4a 2－5；(3)x 4－4x 2＋4. 解析：由于任意一个非负数都可以写成 一个数的平方的形式，利用这个即可将以上 几个式子在实数范围内分解因式． 解：(1)a 2－13＝a 2－( 13) 2＝(a＋ 13)(a － 13)； (2)4a 2－5＝(2a) 2－( 5) 2＝(2a＋ 5)(2a － 5)； (3)x 4－4x 2＋4＝(x 2－2)2＝[(x＋ 2)(x－ 2)]2＝(x＋ 2) 2 (x－ 2) 2 . 方法总结：一些式子在有理数的范围内 无法分解因式，可是在实数范围内就可以继 续分解因式．这就需要把一个非负数表示成 平方的形式． 探究点二：二次根式性质的综合应用 【类型一】 结合数轴利用二次根式的 性质求值或化简 已知实数 a，b 在数轴上的位置如 图所示，化简： （a＋1）2＋2 （b－1）2－ |a－b|. 解析：根据数轴确定 a 和 b 的取值范围， 进而确定 a＋1、b－1 和 a－b 的取值范围， 再根据二次根式的性质和绝对值的意义化 简求解． 解：从数轴上 a，b 的位置关系可知－2 ＜a＜－1，1＜b＜2，且 b＞a，故 a＋1＜0， b－1＞0，a－b＜0.原式＝|a＋1|＋2|b－1|－|a －b|＝－(a＋1)＋2(b－1)＋(a－b)＝b－3. 方法总结：结合数轴利用二次根式的性 质求值或化简，解题的关键是根据数轴判断 字母的取值范围和熟练运用二次根式的性 质． 【类型二】 二次根式的化简与三角形 三边关系的综合 已知 a、b、c 是△ABC 的三边长
化简y(a+b+c) (b+c-a)2+ (c-b-a)2 (V22+1=3,S= 2 解析:根据三角形的三边关系得出b十c >a,b十a>c.根据二次根式的性质得出含有 (√ 绝对值的式子,最后去绝对值符号合并即 解:∵a、b、c是△ABC的三边长,∴b c>a,b+a>c,∴原式=ka+b+d-|b+ -al+lc-b-al=a+b+c-(b+c-a)+(b ta-c)=a+bte-b-ctatbta-c=3a +b-c 法总结:解答本题的关键是根据三角述变化规律 (1)请用含m是正整数)的等式表示上 形的三边关系得出不等关系,再进行变换 (2)推算出OA10的长 (3)求出S+竖+S+…+S的值 解析:利用直角三角形的面积公式,观 后,结合二次根式的性质进行化简 察上述结论,会发现第n个三角形的一直角 【类型三】利用分类讨论的思想对二边长就是V,另一条直角边长为1,然后利 次根式进行化简 用面积公式可得 例5己知x为实数时,化简2-2x+ 解:(1)m2+1=n+1,Sn=(n是正 解析:根据=l,结合绝对值的性整数) 质,将x的取值范围分段进行讨论解答 (2)∵O41 O43= 解:-2x+1+√=√(x-1)2+√,…∴OAo=√10 x2={x-1+x当x≤0时,x-11时,x >0,原式=x-1+x=2x-1 =(1+2+3+…+10) 方法总结:利用二次根式的性质进行化= 简时,要结合具体问题,先确定出被开方数 方法总结:解题时通过分析找到各部分 的正负,对于式子=回,当a的符号无的变化规律后直接利用规律求解.探寻规律 法判断时,就需要分类讨论,分类时要做到要认真观察、仔细思考,善用联想 不重不漏 探究点三:代数式的定义及简单应用 囹刀按照下列程序计算,表格内应输 【类型四】二次根式的规律探究忄 出的代数式是 题 囹6细心观察,认真分析下列各式 团 一立方→+n→ 然后解答问题 答案 解析:根据程序所给的运算,用代数式
化 简 （a＋b＋c）2 － （b＋c－a）2 ＋ （c－b－a）2 . 解析：根据三角形的三边关系得出 b＋c ＞a，b＋a＞c.根据二次根式的性质得出含有 绝对值的式子，最后去绝对值符号合并即 可． 解：∵a、b、c 是△ABC 的三边长，∴b ＋c＞a，b＋a＞c，∴原式＝|a＋b＋c|－|b＋ c－a|＋|c－b－a|＝a＋b＋c－(b＋c－a)＋(b ＋a－c)＝a＋b＋c－b－c＋a＋b＋a－c＝3a ＋b－c. 方法总结：解答本题的关键是根据三角 形的三边关系得出不等关系，再进行变换 后，结合二次根式的性质进行化简． 【类型三】 利用分类讨论的思想对二 次根式进行化简 已知 x 为实数时，化简 x 2－2x＋1 ＋ x 2 . 解析：根据 a 2＝|a|，结合绝对值的性 质，将 x 的取值范围分段进行讨论解答． 解： x 2－2x＋1＋ x 2＝ （x－1）2＋ x 2＝|x－1|＋|x|.当 x≤0 时，x－1＜0，原式 ＝1－x＋(－x)＝1－2x；当 0＜x≤1 时，x－ 1≤0，原式＝1－x＋x＝1；当 x＞1 时，x－1 ＞0，原式＝x－1＋x＝2x－1. 方法总结：利用二次根式的性质进行化 简时，要结合具体问题，先确定出被开方数 的正负，对于式子 a 2＝|a|，当 a 的符号无 法判断时，就需要分类讨论，分类时要做到 不重不漏． 【类型四】 二次根式的规律探究性问 题 细心观察，认真分析下列各式， 然后解答问题． ( 1) 2＋1＝2，S1＝ 1 2 ， ( 2) 2＋1＝3，S2＝ 2 2 ， ( 3) 2＋1＝4，S3＝ 3 2 . (1)请用含 n(n 是正整数)的等式表示上 述变化规律； (2)推算出 OA10 的长； (3)求出 S 2 1＋S 2 2＋S 2 3＋…＋S 2 10的值． 解析：利用直角三角形的面积公式，观 察上述结论，会发现第 n 个三角形的一直角 边长就是 n，另一条直角边长为 1，然后利 用面积公式可得． 解：(1)( n) 2＋1＝n＋1，Sn＝ n 2 (n 是正 整数)； (2)∵OA1 ＝ 1 ， OA2 ＝ 2 ， OA3 ＝ 3，…∴OA10＝ 10； (3)S 2 1＋S 2 2＋S 2 3＋…＋S 2 10＝ 1 2 2 ＋ 2 2 2 ＋ 3 2 2 ＋…＋ 10 2 2 ＝ 1 4 (1＋2＋3＋…＋10) ＝ 55 4 . 方法总结：解题时通过分析找到各部分 的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律 要认真观察、仔细思考，善用联想． 探究点三：代数式的定义及简单应用 按照下列程序计算，表格内应输 出的代数式是____________． n → 立方 → ＋n → ÷n → －n → 答案 解析：根据程序所给的运算，用代数式
表示即可, 根据程序所给的运算可得输出的代数 7+n 式为—一n.故答案为 方法总结:根据实际问题列代数式的一 般步骤:(1)认真审题,对语言或图形中所代 表的意思进行仔细辨析2)分清语言和图形 表述中各种数量的关系“3)根据各数量间的 运算关系及运算顺序写出代数式 三、板书设计 1.二次根式的性质1:(√a)2=a(a≥0) 2.二次根式的性质2:√a2=a(a≥0) 3.代数式的定义 用基本运算符号(基本运算符号包括 加、减、乘、除、乘方和开方把数或表示 数的字母连接起来的式子叫做代数式 数学反思 新的教学理念要求教师在课堂教学中 注意引导学生进行探究学习,在课堂教学 中,对学生探索求知作出了引导,并且鼓励 学生自由发言,但在师生互动方面做得还不 够,小组间的合作不够融洽,今后的教学中 应多培养学生合作交流的意识,这样有助于 他们今后的学习和生活
表示即可， 根据程序所给的运算可得输出的代数 式为n 3＋n n －n.故答案为n 3＋n n －n. 方法总结：根据实际问题列代数式的一 般步骤：(1)认真审题，对语言或图形中所代 表的意思进行仔细辨析；(2)分清语言和图形 表述中各种数量的关系；(3)根据各数量间的 运算关系及运算顺序写出代数式． 三、板书设计 1．二次根式的性质 1：( a) 2＝a(a≥0)； 2．二次根式的性质 2： a 2＝a(a≥0)． 3．代数式的定义 用基本运算符号( 基本运算符号包括 加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示 数的字母连接起来的式子叫做代数式． 新的教学理念要求教师在课堂教学中 注意引导学生进行探究学习，在课堂教学 中，对学生探索求知作出了引导，并且鼓励 学生自由发言，但在师生互动方面做得还不 够，小组间的合作不够融洽，今后的教学中 应多培养学生合作交流的意识，这样有助于 他们今后的学习和生活．