18.2.2菱形 第1课时菱形的性质 教学目标一 方法总结:菱形的两条对角线互相垂 1.掌握的定义和性质及菱形面积的求 法:(重点) 直,并且每一条对角线平分一组对角;角平 2.灵活运用菱形的性质解决问题.(难 分线的性质:角的平分线上的点到角的两边 的距离相等 教学过程 【类型二】利用菱形的性质进行有关 的计算 情境导入 C 将一张矩形的纸对折再对折,然后沿着 图中的虚线剪下,打开,你发现这是一个什 2如图,O是菱形ABCD对角线AC 么样的图形呢?这就是另一类特殊的平行与BD的交点,CD=5cm,OD=3cm过点C 四边形,即菱形 作CE∥DB,过点B作BE∥AC,CE与BE 、合作探究 相交于点E 探究点一:菱形的性质 (1)求OC的长 【类型一】利用菱形的性质证明线段 (2)求四边形OBEC的面积 解析:(1)在直角三角形OCD中,利用 1如图,四边形ABCD是菱形,勾股定理即可求解:(2)利用矩形的定义即可 CE⊥AB交AB延长线于E,CF⊥AD交AD证明四边形OBEC为矩形,再利用矩形的面 延长线于F求证:CE=CF 积公式即可直接求解 解:(1)∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD在直角三角形OCD中,OC= 32=4(cm) (2)∵CE∥DB,BE∥AC,∴四边形 解析:连接AC根据菱形的性质可得 AC OBEC为平行四边形.又∵AC⊥BD,即 平分 ∠COB=90°,∴平行四边形OBEC为矩 ∠DAB,再根据角平分线的性质可得形.∵OB=OD,∴S矩形OBEC=OBOC=4×3 CE=FC 12(cm2 证明:连接AC,∵四边形ABCD是菱 形,∴AC平分∠DAB.∵CE⊥AB,CF⊥AD 方法总结:菱形的对角线互相垂直,则 CE=CF 菱形对角线将菱形分成四个直角三角形,所
18.2.2 菱 形 第 1 课时 菱形的性质 1．掌握的定义和性质及菱形面积的求 法；(重点) 2．灵活运用菱形的性质解决问题．(难 点) 一、情境导入 将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着 图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什 么样的图形呢？这就是另一类特殊的平行 四边形，即菱形． 二、合作探究 探究点一：菱形的性质 【类型一】 利用菱形的性质证明线段 相等 如图，四边形 ABCD 是菱形， CE⊥AB 交 AB 延长线于 E，CF⊥AD 交 AD 延长线于 F.求证：CE＝CF. 解析：连接 AC.根据菱形的性质可得 AC 平分 ∠DAB，再根据角平分线的性质可得 CE＝FC. 证明：连接 AC，∵四边形 ABCD 是菱 形，∴AC 平分∠DAB.∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CE＝CF. 方法总结：菱形的两条对角线互相垂 直，并且每一条对角线平分一组对角；角平 分线的性质：角的平分线上的点到角的两边 的距离相等． 【类型二】 利用菱形的性质进行有关 的计算 如图，O 是菱形 ABCD 对角线 AC 与 BD 的交点，CD＝5cm，OD＝3cm.过点 C 作 CE∥DB，过点 B 作 BE∥AC，CE 与 BE 相交于点 E. (1)求 OC 的长； (2)求四边形 OBEC 的面积． 解析：(1)在直角三角形 OCD 中，利用 勾股定理即可求解；(2)利用矩形的定义即可 证明四边形 OBEC 为矩形，再利用矩形的面 积公式即可直接求解． 解 ： (1)∵ 四边 形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD.在直角三角形 OCD 中，OC＝ CD2－OD2＝ 5 2－3 2＝4(cm)； (2)∵CE∥DB ，BE∥AC ， ∴ 四边形 OBEC 为平行四边形．又∵AC⊥BD，即 ∠COB＝90°，∴平行四边形 OBEC 为矩 形．∵OB＝OD，∴S 矩形 OBEC＝OB·OC＝4×3 ＝12(cm2 )． 方法总结：菱形的对角线互相垂直，则 菱形对角线将菱形分成四个直角三角形，所
全等,请证明:如果不全等,请说明理由 以可以利用勾股定理解决一些计算问题 拓展:如图③,在ABCD中,AD=BD 【类型三】运用菱形的性质证明角祖点O是AD边的垂直平分线与BD的交点, 等 点E、F分别在OA、AD的延长线上.若AE =DF,∠ADB=50°,∠AFB=32°,求∠ADE 的度数 例3如图,四边形ABCD是菱形,对 角线AC、BD相交于点O,DH⊥AB于H, 图① 连接OH,求证:∠DHO=∠DCO 解析:根据“菱形的对角线互相平分” 可得OD=OB,再根据“直角三角形斜边上 O 的中线等于斜边的一半”可得OH=OB ∠OHB=∠OBH,根据“两直线平行,内错 角相等”求出∠OBH=∠ODC,然后根据 解析:探究:△ADE与△DBF全等, “等角的余角相等”证明即可 利用菱形的性质首先证明三角形ABD为等 证明:∵四边形ABCD是菱形,∴OD边三角形,再利用全等三角形的判定方法即 OB,∠COD=90.∵:DH⊥AB,∴O∥=1可证明△ADE≌△DBF;拓展:因为点O在 2AD的垂直平分线上,所以OA=OD,再通 BD=OB,∴∠OHB=∠OBH又∵AB∥CD,过证明△ADE≌△DBF,利用全等三角形的 ∠OBH=∠ODC,∴∠OHB=∠ODC在性质即可求出∠ADE的度数 Rt△COD中,∠ODC+∠DCO=90°在 解:探究:△ADE与△DBF全等 R△DHB中,∠DHO+∠OHB=90°,四边形ABCD是菱形,∴AB=AD.∴AB= ∴∠DHO=∠DCO BD,∴AB=AD=BD,∴△ABD为等边三 方法总结:本题考查了菱形的对角线互角形,∴∠DAB=∠ADB=60°,∴∠EAD ∠FDB 120°∵AE DE △ADE≌△DBF 相垂直平分的性质,直角三角形斜边上的中 拓展:∵点O在AD的垂直平分线上 线等于斜边的一半的性质,以及等角的余角 OA=OD.∴∠DAO=∠ADB=50° ∠EAD=∠FDB=130°∵AE=DF,AD 相等,熟记各性质并理清图中角度的关系是 DB,∴△ADE≌△DBF,∴∠DEA=∠AFB 32°,∴∠EDA=∠OAD-∠DEA=18° 解题的关键 方法总结:本题考查了菱形的性质、等 【类型四】运用菱形的性质解决探究 性问题 边三角形的判定和性质以及全等三角形的 团4感知:如图①,在菱形ABCD中 AB=BD,点E、F分别在边AB、AD上.若 判定和性质的综合运用,解题时一定要熟悉 AE=DF,易知△ADE≌△DBF 探究:如图②,在菱形ABCD中,AB相关的基础知识并进行联想 =BD,点E、F分别在BA、AD的延长线上若 探究点二:菱形的面积 AE=DF,△ADE与△DBF是否全等?如果 例5已知菱形ABCD中,对角线AC
以可以利用勾股定理解决一些计算问题． 【类型三】 运用菱形的性质证明角相 等 如图，四边形 ABCD 是菱形，对 角线 AC、BD 相交于点 O，DH⊥AB 于 H， 连接 OH，求证：∠DHO＝∠DCO. 解析：根据“菱形的对角线互相平分” 可得 OD＝OB，再根据“直角三角形斜边上 的中线等于斜边的一半”可得 OH＝OB， ∠OHB＝∠OBH，根据“两直线平行，内错 角相等”求出∠OBH＝∠ODC，然后根据 “等角的余角相等”证明即可． 证明：∵四边形 ABCD 是菱形，∴OD ＝OB，∠COD＝90°.∵DH⊥AB，∴OH＝ 1 2 BD＝OB，∴∠OHB＝∠OBH.又∵AB∥CD， ∴∠OBH＝∠ODC，∴∠OHB＝∠ODC.在 Rt△COD 中，∠ODC＋∠DCO ＝90°. 在 Rt△DHB 中 ， ∠DHO ＋ ∠OHB ＝ 90°， ∴∠DHO＝∠DCO. 方法总结：本题考查了菱形的对角线互 相垂直平分的性质，直角三角形斜边上的中 线等于斜边的一半的性质，以及等角的余角 相等，熟记各性质并理清图中角度的关系是 解题的关键． 【类型四】 运用菱形的性质解决探究 性问题 感知：如图①，在菱形 ABCD 中， AB＝BD，点 E、F 分别在边 AB、AD 上．若 AE＝DF，易知△ADE≌△DBF. 探究：如图②，在菱形 ABCD 中，AB ＝BD，点E、F 分别在BA、AD的延长线上．若 AE＝DF，△ADE 与△DBF 是否全等？如果 全等，请证明；如果不全等，请说明理由． 拓展：如图③，在▱ABCD 中，AD＝BD， 点 O 是 AD 边的垂直平分线与 BD 的交点， 点 E、F 分别在 OA、AD 的延长线上．若 AE ＝DF，∠ADB＝50°，∠AFB＝32°，求∠ADE 的度数． 解析：探究：△ADE 与△DBF 全等， 利用菱形的性质首先证明三角形 ABD 为等 边三角形，再利用全等三角形的判定方法即 可证明△ADE≌△DBF；拓展：因为点 O 在 AD 的垂直平分线上，所以 OA＝OD，再通 过证明△ADE≌△DBF，利用全等三角形的 性质即可求出∠ADE 的度数． 解：探究：△ADE 与△DBF 全等．∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴AB＝AD.∵AB＝ BD，∴AB＝AD＝BD，∴△ABD 为等边三 角形，∴∠DAB＝∠ADB＝60°，∴∠EAD ＝ ∠FDB ＝ 120°.∵AE ＝ DF ， ∴△ADE≌△DBF； 拓展：∵点 O 在 AD 的垂直平分线上， ∴OA ＝ OD.∴∠DAO ＝ ∠ADB ＝ 50°， ∴∠EAD＝∠FDB＝130°.∵AE＝DF，AD＝ DB，∴△ADE≌△DBF，∴∠DEA＝∠AFB ＝32°，∴∠EDA＝∠OAD－∠DEA＝18°. 方法总结：本题考查了菱形的性质、等 边三角形的判定和性质以及全等三角形的 判定和性质的综合运用，解题时一定要熟悉 相关的基础知识并进行联想． 探究点二：菱形的面积 已知菱形 ABCD 中，对角线 AC
与BD相交于点O,∠BAD=120°,AC=4,识的信心和勇气 则该菱形的面积是( 85 解析:∵四边形ABCD是菱形,∴AB =BC, OA=AC=2, OB==BD, ACIBD, ∠BAD+∠ABC=180°∵∠BAD=120°, ∴∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形, AB=AC=4,∴OB=√AB2-O2 42-2=23,∴BD=2OB=43,∴Sx 0=1CcBD=×4x45=85故选B 方法总结:菱形的面积有三种计算方 法:①将其看成平行四边形,用底与高的积 来求;②对角线分得的四个全等三角形面积 之和;③两条对角线的乘积的 三、板书设计 1.菱形的性质 菱形的四边条都相等 菱形的两条对角线互相垂直平分,并且 每一条对角线平分一组对角 2.菱形的面积 S菱形=边长×对应高=ab(a,b分别是 两条对角线的长) 教学反思 通过剪纸活动让学生主动探索菱形的 性质,大多数学生能全部得到结论,少数需 要教师加以引导.但是学生得到的结论,有 些是他们的猜想,是否正确还需要证明 因此问题就上升到证明这个环节.在整个新 知生成过程中,探究活动起了重要的作 用.课堂中学生始终处于观察、比较、概括、 总结和积极思维状态,切身感受到自己是学 习的主人.为学生今后获取知识、探索发现 和创造打下了良好的基础,更增强了敢于实 践,勇于探索,不断创新和努力学习数学知
与 BD 相交于点 O，∠BAD＝120°，AC＝4， 则该菱形的面积是( ) A．16 3 B．8 3 C．4 3 D．8 解析：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AB ＝BC，OA＝ 1 2 AC＝2，OB＝ 1 2 BD，AC⊥BD， ∠BAD＋∠ABC＝180°.∵∠BAD＝120°， ∴∠ABC＝60°，∴△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝ AC ＝ 4 ， ∴OB ＝ AB2－OA2 ＝ 4 2－2 2＝2 3，∴BD＝2OB＝4 3，∴S 菱形 ABCD＝ 1 2 AC·BD＝ 1 2 ×4×4 3＝8 3.故选 B. 方法总结：菱形的面积有三种计算方 法：①将其看成平行四边形，用底与高的积 来求；②对角线分得的四个全等三角形面积 之和；③两条对角线的乘积的一半． 三、板书设计 1．菱形的性质 菱形的四边条都相等； 菱形的两条对角线互相垂直平分，并且 每一条对角线平分一组对角． 2．菱形的面积 S 菱形＝边长×对应高＝1 2 ab(a，b 分别是 两条对角线的长) 通过剪纸活动让学生主动探索菱形的 性质，大多数学生能全部得到结论，少数需 要教师加以引导．但是学生得到的结论，有 一些是他们的猜想，是否正确还需要证明， 因此问题就上升到证明这个环节．在整个新 知生成过程中，探究活动起了重要的作 用．课堂中学生始终处于观察、比较、概括、 总结和积极思维状态，切身感受到自己是学 习的主人．为学生今后获取知识、探索发现 和创造打下了良好的基础，更增强了敢于实 践，勇于探索，不断创新和努力学习数学知 识的信心和勇气．