第4课时次函数与实际问题 教学目标 产的水果共140千克,进而利用该水果店预 计进货款为1000元,列出等式求出即可 1.根据问题及条件找出能反映出实际(2)利用两种水果每千克的利润表示出总利 问题的函数:(重点) 润,再利用一次函数增减性得出最大值即 2.能利用一次函数图象解决简单的实可 际问题,能够将实际问题转化为一次函数的 解:(1)设购进甲种水果x千克,则购进 问题,(重点) 乙种水果(140-x)千克,根据题意可得5x+ 9(140-x)=1000,解得x=65,∴140-x 75(千克) 答:购进甲种水果65千克,乙种水果 数学过程 75千克 (2)由图表可得甲种水果每千克利润为 、情境导入 3元,乙种水果每千克利润为4元.设总利 联通公司手机话费收费有A套餐(月租润为W,由题意可得W=3x+4(140-x)= 费15元,通话费每分钟0.1元)和B套餐(月x+560∴该水果店决定乙种水果的进货量 租费0元,通话费每分钟0.15元)两种.设不超过甲种水果的进货量的3倍,∴140 A套餐每月话费为y(元),B套餐每月话费x≤3x,解得x≥35∴-1<0,∴W随x的增 为y(元),月通话时间为x(分钟) 大而减小,则x越小W越大.∴当x=35 (1)分别表示出y与x,y2与x的函数关时,W最大=-35+560=525(元),140-35 系式 105(千克) (2)月通话时间为多长时,A、B两种套 答:当购进甲种水果35千克,购进乙 餐收费一样? 种水果105千克时,此时利润最大为525元 (3)什么情况下A套餐更省钱 二、合作探究 方法总结:利用一次函数增减性得出函 探究点:一次函数与实际问题 【类型一】利用二次函数解决最值问 数最值是解题关键 【类型二】利用一次函数解决有关路 】广安某水果店计划购进甲、乙两程问题 种新出产的水果共140千克,这两种水果的 135}r 进价、售价如表所示 D自行车 邮政车 进价(元千克)售价(元千克) 甲种 8 3.5 例2为倡导低碳生活,绿色出行,某 (1)若该水果店预计进货款为1000元,自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行” 则这两种水果各购进多少千克? 活动.自行车队从甲地出发,途经乙地短 (2)若该水果店决定乙种水果的进货量休息完成补给后,继续骑行至目的地丙地, 不超过甲种水果的进货量的3倍,应怎样安自行车队出发1h后,恰有一辆邮政车从甲 排进货才能使水果店在销售完这批水果时地出发,沿自行车队行进路线前往丙地,在 获利最多?此时利润为多少元? 丙地完成2h装卸工作后按原路返回甲地, 解析:(1)根据计划购进甲、乙两种新出自行车队与邮政车行驶速度均保持不变,并
第 4 课时 一次函数与实际问题 1．根据问题及条件找出能反映出实际 问题的函数；(重点) 2．能利用一次函数图象解决简单的实 际问题，能够将实际问题转化为一次函数的 问题．(重点) 一、情境导入 联通公司手机话费收费有 A 套餐(月租 费 15 元，通话费每分钟 0.1 元)和 B 套餐(月 租费 0 元，通话费每分钟 0.15 元)两种．设 A 套餐每月话费为 y1(元)，B 套餐每月话费 为 y2(元)，月通话时间为 x(分钟)． (1)分别表示出 y1 与 x，y2与 x 的函数关 系式； (2)月通话时间为多长时，A、B 两种套 餐收费一样？ (3)什么情况下 A 套餐更省钱？ 二、合作探究 探究点：一次函数与实际问题 【类型一】 利用一次函数解决最值问 题 广安某水果店计划购进甲、乙两 种新出产的水果共 140 千克，这两种水果的 进价、售价如表所示： 进价(元/千克) 售价(元/千克) 甲种 5 8 乙种 9 13 (1)若该水果店预计进货款为 1000 元， 则这两种水果各购进多少千克？ (2)若该水果店决定乙种水果的进货量 不超过甲种水果的进货量的 3 倍，应怎样安 排进货才能使水果店在销售完这批水果时 获利最多？此时利润为多少元？ 解析：(1)根据计划购进甲、乙两种新出 产的水果共 140 千克，进而利用该水果店预 计进货款为 1000 元，列出等式求出即可； (2)利用两种水果每千克的利润表示出总利 润，再利用一次函数增减性得出最大值即 可． 解：(1)设购进甲种水果 x 千克，则购进 乙种水果(140－x)千克，根据题意可得 5x＋ 9(140－x)＝1000，解得 x＝65，∴140－x＝ 75(千克)． 答：购进甲种水果 65 千克，乙种水果 75 千克； (2)由图表可得甲种水果每千克利润为 3 元，乙种水果每千克利润为 4 元．设总利 润为 W，由题意可得 W＝3x＋4(140－x)＝－ x＋560.∵该水果店决定乙种水果的进货量 不超过甲种水果的进货量的 3 倍，∴140－ x≤3x，解得 x≥35.∵－1<0，∴W 随 x 的增 大而减小，则 x 越小 W 越大．∴当 x＝35 时，W 最大＝－35＋560＝525(元)，140－35 ＝105(千克)． 答：当购进甲种水果 35 千克，购进乙 种水果 105 千克时，此时利润最大为 525 元． 方法总结：利用一次函数增减性得出函 数最值是解题关键． 【类型二】 利用一次函数解决有关路 程问题 为倡导低碳生活，绿色出行，某 自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行” 活动．自行车队从甲地出发，途经乙地短暂 休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地， 自行车队出发 1h 后，恰有一辆邮政车从甲 地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在 丙地完成 2h 装卸工作后按原路返回甲地， 自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，并
且邮政车行驶速度是自行车队行驶速度的 jk2 的路程km)与自行车队离开甲地的时间b2=-12∴=24x-12.当y=时, 2.5倍,如图表示自行车队、邮政车离甲地 x(h)的函数关系图象,请根据图象提供的信60x+450=24x-12,解得x=5.5y= 息解答下列各题: 60×5.5+450=120 (1)自行车队行驶的速度是答:邮政车在返程途中与自行车队再次 km/h 相遇时的地点距离甲地120km (2)邮政车出发多久与自行车队首次相 遇? 方法总结:本题考查了行程问题的数量 3)邮政车在返程途中与自行车队再次 相遇时的地点距离甲地多远 关系的运用,待定系数法求一次函数的解析 解析:(1)由“速度=路程÷时间”就可 以求出结论:(2)由自行车的速度就可以求出式的运用,一次函数与一元一次方程的运 邮政车的速度,再由追及问题设邮政车出发 h与自行车队首次相遇建立方程求出其解 用,解答时求出函数的解析式是关键 即可;(3)由邮政车的速度可以求出B的坐 【类型三】利用一次函数解决图形面 标和C的坐标,由自行车的速度就可以求出积问题 D的坐标,由待定系数法求出BC,ED的解 团例3如图①,底面积为30cm2的空圆 析式就可以求出结论 柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组 解:(1)由题意得自行车队行驶的速度为成的“几何体”,现向容器内匀速注水,注 满为止,在注水过程中,水面高度hcm)与 (2)由题意得邮政车的速度为24×25=注水时间(s)之间的关系如图②所示 60(km/h).设邮政车出发ah与自行车队首次 相遇,由题意得24(a+1)=60a,解得a-3 答:邮政车出发h与自行车队首次相 遇 图① (3)由题意得邮政车到达丙地的时间为 h/cm 135604h,…邮政车从丙地出发返回甲 地前共用时为2+2 (h),∴B(, 135),C7.5,0),.自行车队到达丙地的时间 1824 42 为135÷24+0545+0.5=8 h), 请根据图中提供的信息,解答下列问 135).设直线BC的解析式为y=k+b,由题 (1)圆柱形容器的高为多少?匀速注水 题意得 135=k+b1 解得 的水流速度(单位:cm)为多少? o=7k1+b1, (2)若“几何体”的下方圆柱的底面积 0x+450设ED的解析式为y=kx为15cm2,求“几何体”上方圆柱的高和底 72=3.5k+b 面积 b2,由题意得 解得 解析:(1)根据图象,分三个部分:注满 135=k+b, “几何体”下方圆柱需18s;注满“几何
且邮政车行驶速度是自行车队行驶速度的 2.5 倍，如图表示自行车队、邮政车离甲地 的路程 y(km)与自行车队离开甲地的时间 x(h)的函数关系图象，请根据图象提供的信 息解答下列各题： (1) 自 行 车 队 行 驶 的 速 度 是 ________km/h； (2)邮政车出发多久与自行车队首次相 遇？ (3)邮政车在返程途中与自行车队再次 相遇时的地点距离甲地多远？ 解析：(1)由“速度＝路程÷时间”就可 以求出结论；(2)由自行车的速度就可以求出 邮政车的速度，再由追及问题设邮政车出发 ah 与自行车队首次相遇建立方程求出其解 即可；(3)由邮政车的速度可以求出 B 的坐 标和 C 的坐标，由自行车的速度就可以求出 D 的坐标，由待定系数法求出 BC，ED 的解 析式就可以求出结论． 解：(1)由题意得自行车队行驶的速度为 72÷3＝24(km/h)． (2)由题意得邮政车的速度为 24×2.5＝ 60(km/h)．设邮政车出发 ah 与自行车队首次 相遇，由题意得 24(a＋1)＝60a，解得 a＝ 2 3 . 答：邮政车出发2 3 h 与自行车队首次相 遇； (3)由题意得邮政车到达丙地的时间为 135÷60＝ 9 4 (h)，∴邮政车从丙地出发返回甲 地前共用时为9 4 ＋2＋1＝ 21 4 (h)，∴B( 21 4 ， 135)，C(7.5，0)．自行车队到达丙地的时间 为 135÷24＋0.5＝ 45 8 ＋0.5＝ 49 8 (h)，∴D( 49 8 ， 135)．设直线 BC 的解析式为 y1＝k1＋b1，由 题意得 135＝ 21 4 k1＋b1， 0＝7.5k1＋b1， 解得 k1＝－60， b1＝450. ∴y1＝－60x＋450.设ED的解析式为y2＝k2x ＋ b2 ， 由 题 意 得 72＝3.5k2＋b2， 135＝ 49 8 k2＋b2， 解 得 k2＝24， b2＝－12， ∴y2＝24x－12.当 y1＝y2 时，－ 60x＋450＝24x－12，解得 x＝5.5.y1＝－ 60×5.5＋450＝120. 答：邮政车在返程途中与自行车队再次 相遇时的地点距离甲地 120km. 方法总结：本题考查了行程问题的数量 关系的运用，待定系数法求一次函数的解析 式的运用，一次函数与一元一次方程的运 用，解答时求出函数的解析式是关键． 【类型三】 利用一次函数解决图形面 积问题 如图①，底面积为 30cm2 的空圆 柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组 成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注 满为止，在注水过程中，水面高度 h(cm)与 注水时间 t(s)之间的关系如图②所示． 请根据图中提供的信息，解答下列问 题： (1)圆柱形容器的高为多少？匀速注水 的水流速度(单位：cm3 /s)为多少？ (2)若“几何体”的下方圆柱的底面积 为 15cm2，求“几何体”上方圆柱的高和底 面积． 解析：(1)根据图象，分三个部分：注满 “几何体”下方圆柱需 18s；注满“几何
体”上方圆柱需24-18=6(s),注满“几何 B超市:买一副羽毛球拍送2个羽毛球 体”上面的空圆柱形容器需42-24= 设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的 8(s),再设匀速注水的水流速度为xcm3/s,费用为y(元,在B超市购买羽毛球拍和羽 根据圆柱的体积公式列方程,再解方程;(2)毛球的费用为yB(元).请解答下列问题: 由图②知几何体下方圆柱的高为acm,根据 (1)分别写出y、yB与x之间的关系式 圆柱的体积公式得a(30-15)=18×5,解得 (2)若该活动中心只在一家超市购买,你 a=6,于是得到“几何体”上方圆柱的高为认为在哪家超市购买更划算? 5cm,设“几何体”上方圆柱的底面积为 (3)若每副球拍配15个羽毛球,请你帮 Scm2,根据圆柱的体积公式得5×(30-S)助该活动中心设计出最省钱的购买方案 =5×(24-18),再解方程即可 解析:(1)根据购买费用=单价×数量建 解:(1)根据函数图象得到圆柱形容器的立关系就可以表示出y4、yB的解析式;(2) 高为14cm,两个实心圆柱组成的“几何分三种情况进行讨论,当y4=yB时,当y 体”的高度为1lm,水从刚满过由两个实y时,当y4yB时,27x+270>30x+ 所以“几何体”上方圆柱的高为11-6=240,得x10: Sm2,根据题意得5×(30-S)=5×(24 当2≤x10时 底面积为24cm2 在A超市购买划算 (3)由题意知x=15,15>10,∴只在一 方法总结:本题考查了一次函数的应家超市购买时,选择A超市划算,y=27×15 +270=675(元).在两家超市购买时,先选 用:把分段函数图象中自变量与对应的函数 择B超市购买10副羽毛球拍,送20个羽毛 值转化为实际问题中的数量关系,然后运用球,然后在A超市购买剩下的羽毛球 (10×15-20)×3×0.9=351(元),共需要费 方程的思想解决实际问题 用10×30+351=651(元).∵651元<675 元,∴最佳方案是先选择B超市购买10副 【类型四】利用一次函数解决销售问羽毛球拍,然后在A超市购买130个羽毛球 例4某社区活动中心准备购买10副某 方法总结:本题考查了一次函数的解析 种品牌的羽毛球拍,每副球拍配x(x≥2)个 羽毛球,供社区居民免费借用.该社区附近 式的运用,分类讨论的数学思想的运用,方 A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和 羽毛球出售,且每副球拍的标价均为30元,案设计的运用,解答时求出函数的解析式是 每个羽毛球的标价为3元,目前两家超市同 关键 时在做促销活动 A超市:所有商品均打九折(按标价的 【类型五】利用图表信息解决实际问 90%)销售
体”上方圆柱需 24－18＝6(s)，注满“几何 体”上面的空圆柱形容器需 42－24＝ 18(s)．再设匀速注水的水流速度为 xcm3 /s， 根据圆柱的体积公式列方程，再解方程；(2) 由图②知几何体下方圆柱的高为 acm，根据 圆柱的体积公式得 a·(30－15)＝18×5，解得 a＝6，于是得到“几何体”上方圆柱的高为 5cm，设“几何体”上方圆柱的底面积为 Scm2，根据圆柱的体积公式得 5×(30－S) ＝5×(24－18)，再解方程即可． 解：(1)根据函数图象得到圆柱形容器的 高为 14cm，两个实心圆柱组成的“几何 体”的高度为 11cm，水从刚满过由两个实 心圆柱组成的“几何体”到注满用了 42－ 24＝18(s)，这段高度为 14－11＝3(cm)．设 匀速注水的水流速度为 xcm3 /s，则 18·x＝ 30×3，解得 x＝5，即匀速注水的水流速度 为 5cm3 /s； (2)由图②知“几何体”下方圆柱的高 为 acm，则 a·(30－15)＝18×5，解得 a＝6， 所以“几何体”上方圆柱的高为 11－6＝ 5(cm)．设“几何体”上方圆柱的底面积为 Scm2，根据题意得 5×(30－S)＝5×(24－ 18)，解得 S＝24，即“几何体”上方圆柱的 底面积为 24cm2 . 方法总结：本题考查了一次函数的应 用：把分段函数图象中自变量与对应的函数 值转化为实际问题中的数量关系，然后运用 方程的思想解决实际问题． 【类型四】 利用一次函数解决销售问 题 某社区活动中心准备购买10副某 种品牌的羽毛球拍，每副球拍配 x(x≥2)个 羽毛球，供社区居民免费借用．该社区附近 A、B 两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和 羽毛球出售，且每副球拍的标价均为 30 元， 每个羽毛球的标价为 3 元，目前两家超市同 时在做促销活动： A 超市：所有商品均打九折(按标价的 90%)销售； B 超市：买一副羽毛球拍送 2 个羽毛球． 设在 A 超市购买羽毛球拍和羽毛球的 费用为 yA(元)，在 B 超市购买羽毛球拍和羽 毛球的费用为 yB(元)．请解答下列问题： (1)分别写出 yA、yB 与 x 之间的关系式； (2)若该活动中心只在一家超市购买，你 认为在哪家超市购买更划算？ (3)若每副球拍配 15 个羽毛球，请你帮 助该活动中心设计出最省钱的购买方案． 解析：(1)根据购买费用＝单价×数量建 立关系就可以表示出 yA、yB 的解析式；(2) 分三种情况进行讨论，当 yA＝yB 时，当 yA ＞yB 时，当 yA＜yB 时，分别求出购买划算的 方案；(3)分两种情况进行讨论计算求出需要 的费用，再进行比较就可以求出结论． 解 ： (1) 由题意得 yA ＝ (10×30 ＋ 3×10x)×0.9＝27x＋270；yB ＝10×30＋ 3(10x－20)＝30x＋240； (2)当 yA＝yB 时，27x＋270＝30x＋240， 得 x＝10；当 yA＞yB 时，27x＋270＞30x＋ 240，得 x＜10.∵x≥2，∴2≤x＜10；当 yA ＜yB 时，27x＋270＜30x＋240，得 x＞10； ∴当 2≤x＜10 时，到 B 超市购买划算，当 x＝10 时，两家超市一样划算，当 x＞10 时， 在 A 超市购买划算； (3)由题意知 x＝15，15＞10，∴只在一 家超市购买时，选择A 超市划算，yA＝27×15 ＋270＝675(元)．在两家超市购买时，先选 择 B 超市购买 10 副羽毛球拍，送 20 个羽毛 球，然后在 A 超市购买剩下的羽毛球： (10×15－20)×3×0.9＝351(元)，共需要费 用 10×30＋351＝651(元)．∵651 元＜675 元，∴最佳方案是先选择 B 超市购买 10 副 羽毛球拍，然后在A 超市购买130个羽毛球． 方法总结：本题考查了一次函数的解析 式的运用，分类讨论的数学思想的运用，方 案设计的运用，解答时求出函数的解析式是 关键． 【类型五】 利用图表信息解决实际问 题
例5某工厂生产甲、乙两种不同的产 品,所需原料为同一种原材料,生产每吨产 问题,根据表格求出两种产品每吨的利润 品所需原材料的数量和生产过程中投入的 生产成本的关系如表所示: 然后列出方程组是解题的关键 三、板书设计 产品 利用一次函数解决最值问题 原材料数量(吨) 2.利用一次函数解决有关路程问题 生产成本(万元 4 3.利用一次函数解决图形面积问题 4.利用一次函数解决销售问题 Y万元↑甲 5.利用图表信息解决实际问题 教学反思 本节课的设计,力求体现新课程改革的 x/吨 理念,结合学生自主探究的时间,为学生营 若该工厂生产甲种产品m吨,乙种产品造宽松、和谐的氛围,让学生学得更主动 n吨,共用原材料160吨,销售甲、乙两种更轻松,力求在探索知识的过程中,培养学 产品的利润v(万元)与销售量x(吨)之间的函生的探索能力和创新能力,激发学生学习的 数关系如图所示,全部销售后获得的总利润积极性.在学生选择解决问题的诸多方法的 为200万元 过程中,不过多地干涉学生的思维,而是通 (1)求m、n的值 过引导学生自己去探究来选择合适的办法 (2)该工厂投入的生产成本是多少万解决问题 元? 解析:(1)求出甲、乙两种产品每吨的利 润,然后根据两种原材料的吨数和全部销售 后的总利润,列出关于m、n的二元一次方 程组,求解即可;(2)根据“生产成本=甲的 成本十乙的成本”,列式计算即可得解 解:(1)由图可知,销售甲、乙两种产品 每吨分别获利6+2=3(万元)、6÷3=2(万 元).根据题意可得 Jm+2n=160 解得 3m+2n=200, =20 (2)由(1)知,甲、乙两种产品分别生产 20吨、70吨,所以投入的生产成本为20×4 +70×2=220(万元) 答:该工厂投入的生产成本为220万元 方法总结:本题考查了一次函数的应 用,主要利用了列二元一次方程组解决实际
某工厂生产甲、乙两种不同的产 品，所需原料为同一种原材料，生产每吨产 品所需原材料的数量和生产过程中投入的 生产成本的关系如表所示： 产 品 甲 乙 原材料数量(吨) 1 2 生产成本(万元) 4 2 若该工厂生产甲种产品 m 吨，乙种产品 n 吨，共用原材料 160 吨，销售甲、乙两种 产品的利润 y(万元)与销售量 x(吨)之间的函 数关系如图所示，全部销售后获得的总利润 为 200 万元． (1)求 m、n 的值； (2) 该工厂投入的生产成本是多少万 元？ 解析：(1)求出甲、乙两种产品每吨的利 润，然后根据两种原材料的吨数和全部销售 后的总利润，列出关于 m、n 的二元一次方 程组，求解即可；(2)根据“生产成本＝甲的 成本＋乙的成本”，列式计算即可得解． 解：(1)由图可知，销售甲、乙两种产品 每吨分别获利 6÷2＝3(万元)、6÷3＝2(万 元) ．根据题意可得 m＋2n＝160， 3m＋2n＝200， 解得 m＝20， n＝70； (2)由(1)知，甲、乙两种产品分别生产 20 吨、70 吨，所以投入的生产成本为 20×4 ＋70×2＝220(万元)． 答：该工厂投入的生产成本为220万元． 方法总结：本题考查了一次函数的应 用，主要利用了列二元一次方程组解决实际 问题，根据表格求出两种产品每吨的利润， 然后列出方程组是解题的关键． 三、板书设计 1．利用一次函数解决最值问题 2．利用一次函数解决有关路程问题 3．利用一次函数解决图形面积问题 4．利用一次函数解决销售问题 5．利用图表信息解决实际问题 本节课的设计，力求体现新课程改革的 理念，结合学生自主探究的时间，为学生营 造宽松、和谐的氛围，让学生学得更主动、 更轻松，力求在探索知识的过程中，培养学 生的探索能力和创新能力，激发学生学习的 积极性．在学生选择解决问题的诸多方法的 过程中，不过多地干涉学生的思维，而是通 过引导学生自己去探究来选择合适的办法 解决问题．