第十八章平行四边形 【教学目标】 1、通过对几种平行四边形的回顾与思考,使学生梳理所学的知识,系统地复习 平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定方法 2、正确理解平行四边形与各种特殊平行四边形的联系与区别,在反思和交流过 程中,逐渐建立知识体系; 3、引导学生独立思考,通过归纳、概括、实践等系统数学活动,感受获得成功 的体验,形成科学的学习习惯。 教学重点】 1、平行四边形与各种特殊平行四边形的区别。 2、梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识体系及应用方法。 【教学难点】 平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定的综合运用 【教学模式】 以题代纲,梳理知识-—变式训练,查漏补缺一——综合训练,总结规律- 测试练习,提高效率 【教具准备】三角板、实物投影仪、电脑、自制课件。 【教学过程】 、以题代纲,梳理知识 (一)开门见山,直奔主题 同学们,今天我们一起来复习《平行四边形》的相关知识,先请同学们迅速地完 成下面几道练习题,请看大屏幕。 (二)诊断练习 1、根据条件判定它是什么图形,并在括号内填出,在四边形ABCD中,对角线 AC和BD相交于点0: (1)AB=CD, AD=BC (平行四边形) (2)∠A=∠B=∠C=90° (矩形)
第十八章 平行四边形 【教学目标】 1、通过对几种平行四边形的回顾与思考，使学生梳理所学的知识，系统地复习 平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定方法； 2、正确理解平行四边形与各种特殊平行四边形的联系与区别，在反思和交流过 程中，逐渐建立知识体系； 3、引导学生独立思考，通过归纳、概括、实践等系统数学活动，感受获得成功 的体验，形成科学的学习习惯。 【教学重点】 1、平行四边形与各种特殊平行四边形的区别。 2、梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识体系及应用方法。 【教学难点】 平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定的综合运用。 【教学模式】 以题代纲，梳理知识-----变式训练，查漏补缺 -----综合训练，总结规律----- 测试练习，提高效率 【教具准备】三角板、实物投影仪、电脑、自制课件。 【教学过程】 一、以题代纲，梳理知识 （一）开门见山，直奔主题 同学们，今天我们一起来复习《平行四边形》的相关知识，先请同学们迅速地完 成下面几道练习题，请看大屏幕。 （二）诊断练习 1、根据条件判定它是什么图形，并在括号内填出，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O： (1) AB＝CD,AD＝BC （平行四边形） (2)∠A＝∠B＝∠C＝90° （ 矩形 ）
(3)AB=BC,四边形ABCD是平行四边形 (菱形) (4)0A=OC=OB=OD, AC_LBD (正方形) (5)AB=CD,∠A=∠C 2、菱形的两条对角线长分别是6厘米和8厘米,则菱形的边长为_5厘米 3、顺次连结矩形ABCD各边中点所成的四边形是菱形 4、若正方形ABCD的对角线长10厘米,那么它的面积是50平方厘米 5、平行四边形、矩形、菱形、正方形中,轴对称图形有:矩形、菱形、正方形, 中心对称图形的有:平行四边形、矩形、菱形、正方形_,既是轴对称图形, 又是中心对称图形的是:矩形、菱形、正方形— (二)归纳整理,形成体系 l、性质判定,列表归纳 平行四边形 矩形 菱形 正方形 边对边平行且相等|边平行且相 对边平行,四边相等对边平行,四边相等 角对角相等 四个角都是直 角 对角相等 四个角都是直角 对角线 互相平分 互相平分且相5相垂直平分,且每互相垂直平分且祖 条对角线平分一组等每条对角线平分 对角 组对角 两组对边分别平 行 1、有三个角是|1、四边相等的四边1、有一个角是直角 2、两组对边分别粗|直角的四边形;2、对角线互相垂直2、对角线相等的菱 形 的菱形 等 判定|3、一组对边平在/2、有二个角是 直角的平行四 的平行四边形; 形 相等 3、有一组邻边相等|3、有一组邻边相等 两组对角分别粗 边形; 3、角线相拿/的平行四边形。 的矩形; 等 两条对角线互相 的平行四边形 4、每条对角线平分4、对角线互相垂直 组对角的四边形。的矩形 平分 对称 性|只是中心对称图形 既是轴对称图形,又是中心对称图形 面积 S=ab d,d2 2、基础练习: (1)矩形、菱形、正方形都具有的性质是(C A.对角线相等(距、正)B.对角线平分一组对角(菱、正) C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直(菱、正) (2)、正方形具有,矩形也具有的性质是(A)
(3)AB＝BC，四边形 ABCD 是平行四边形 （ 菱形 ） (4)OA＝OC＝OB＝OD ，AC⊥BD （ 正方形 ） (5) AB＝CD, ∠A＝∠C ( ？ ) 2、菱形的两条对角线长分别是 6 厘米和 8 厘米，则菱形的边长为 5 厘米。 3、顺次连结矩形 ABCD 各边中点所成的四边形是 菱形 。 4、若正方形 ABCD 的对角线长 10 厘米，那么它的面积是 50 平方厘米。 5、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，轴对称图形有： 矩形、菱形、正方形 ， 中心对称图形的有： 平行四边形、矩形、菱形、正方形 ，既是轴对称图形， 又是中心对称图形的是： 矩形、菱形、正方形 。 （二）归纳整理，形成体系 1、性质判定，列表归纳 平行四边形 矩形 菱形 正方形 性 质 边 对 边 平行且相等 对 边 平行且相 等 对 边 平行，四 边 相等 对 边 平行，四 边 相等 角 对 角 相等 四个角 都是直 角 对 角 相等 四个角 都是直角 对 角 线 互相平 分 互相平分且相 等 互相垂直平分 ，且每 条对角线平分一组 对 角 互相垂直平分 且相 等 ,每条对角线平分 一组对 角 判定 1、两组对边分别平 行 ； 2、两组对边分别相 等 ； 3、一组对边平 行 且 相 等 ; 4、两组对角分别相 等 ； 5、两条对角线互相 平 分 . 1、有三 个 角是 直角的四边形; 2、有一 个 角是 直角 的平行四 边 形 ; 3、对角线 相等 的平行四边形 . 1、四边相 等 的四边 形； 2、对角线互相垂 直 的平行四边形； 3、有一组邻边相 等 的平行四边形。 4、每条对角线平 分 一组对角的四边形。 1、有一个角是直 角 的菱形； 2、对角线相 等 的菱 形； 3、有一组邻边相 等 的矩形； 4、对角线互相垂 直 的矩形； 对称 性 只是中心对称 图形 既是轴对称 图形，又是中心对称 图形 面积 S= ah S=ab S= 1 2 2 1 d d S= a 2 2、基础练习： （1）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ C ） A．对角线相等 （距、正） B. 对角线平分一组对角 （菱、正） C．对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 （菱、正） （2）、正方形具有，矩形也具有的性质是（ A ）
A.对角线相等且互相平分 B.对角线相等且互相垂直 C.对角线互相垂直且互相平分D.对角线互相垂直平分且相等 (3)、如果一个四边形是中心对称图形,那么这个四边形一定(D) A.正方形 B.菱形 C.矩形D.平行四边形 都是中心对称图形,A、B、C都是平行四边形 (4)、矩形具有,而菱形不一定具有的性质是(B) A.对角线互相平分B.对角线相等C.对边平行且相等 D.内角 和为360 问:菱形的对角线一定不相等吗?错,因为正方形也是菱形。 (5)、正方形具有而矩形不具有的特征是(D) A.内角为360°B.四个角都是直角C.两组对边分别相等D.对角线 平分对角 问:那么正方形具有而菱形不具有的特征是什么?对角线相等 2、集合表示,突出关系 平行四边 矩(正方)菱 、査漏补缺,讲练结合 (一)一题多变,培养应变能力 〖例题1〗 已知:如图1,ABCD的对角线AC、BD交于点0 D EF过点0与AB、CD分别交于点E、F 求证:OE=OF B 图 变式1.在图1中,连结哪些线段可以构成新的平行四边形?为什么? D
A．对角线相等且互相平分 B. 对角线相等且互相垂直 C. 对角线互相垂直且互相平分 D. 对角线互相垂直平分且相等 （3）、如果一个四边形是中心对称图形，那么这个四边形一定（ D ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形 都是中心对称图形，A、B、C 都是平行四边形 （4）、矩形具有，而菱形不一定具有的性质是（ B ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对边平行且相等 D. 内角 和为 3600 问：菱形的对角线一定不相等吗？错，因为正方形也是菱形。 （5）、正方形具有而矩形不具有的特征是（ D ） A. 内角为 3600 B. 四个角都是直角 C. 两组对边分别相等 D. 对角线 平分对角 问：那么正方形具有而菱形不具有的特征是什么？对角线相等 2、集合表示，突出关系 二、查漏补缺，讲练结合 （一）一题多变，培养应变能力 〖例题 1〗 已知：如图 1，□ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O， EF 过点 O 与 AB、CD 分别交于点 E、F． 求证：OE=OF． 证明: ∵ 变式 1．在图 1 中，连结哪些线段可以构成新的平行四边形？为什么？ 正 方 形 平 行 四边 矩 形 形 菱 形 图 1 A B C D O E F A B C D O E F 1-1 A B C D O E F 1-2
对角线互相平分的四边形是平行四边形。 变式2.在图1中,如果过点0再作GH,分别交AD、BC于G、H,你又能得到哪 些新的平行四边形?为什么? H C B 变式2 2-2 对角线互相平分的四边形是平行四边形 变式3.在图1中,若EF与AB、CD的延长线分别交于点E、F,这时仍有OE=OF 吗?你还能构造出几个新的平行四边形? 变式3 3-1 对角线互相平分的四边形是平行四边形 变式4.在图1中,若改为过A作AH⊥BC,垂足为H,连结HO并延长交AD于G, 连结GC,则四边形AHCG是什么四边形?为什么? 可由变式1可知四边形AHCG是平行四边形, 再由一个直角可得四边形AHCG是矩形 B H 变式4 变式5.在图1中,若H⊥BD,GH分别交AD、BC于G、H,则四边形BGDH是什 B
对角线互相平分的四边形是平行四边形。 变式 2．在图 1 中，如果过点 O 再作 GH，分别交 AD、BC 于 G、H，你又能得到哪 些新的平行四边形？为什么？ 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 变式 3．在图 1 中，若 EF 与 AB、CD 的延长线分别交于点 E、F，这时仍有 OE=OF 吗？你还能构造出几个新的平行四边形？ 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 变式 4．在图 1 中，若改为过 A 作 AH⊥BC，垂足为 H，连结 HO 并延长交 AD 于 G， 连结 GC，则四边形 AHCG 是什么四边形？为什么？ 可由变式 1 可知四边形 AHCG 是平行四边形， 再由一个直角可得四边形 AHCG 是矩形。 变式 5．在图 1 中，若 GH⊥BD，GH 分别交 AD、BC 于 G、H，则四边形 BGDH 是什 A B D C O H G 变式 4 A B C D O G H 变式 5 A B C D O E F G H 变式 2 A B C D O E F G H 2-3 A B C D O E F G H 2-1 A B C D O E F G H 2-2 A B C D O E F 变式 3 A B C D O E F 3-1 A B C D O E F 3-2
么四边形?为什么? 可由变式1可知四边形BGDH是平行四边形, 再由对角线互相垂直可得四边形BGDH是菱形 变式6.在变式5中,若将“□ABCD”改为“矩形ABCD”,GH分别交AD、BC于G H,则四边形BGDH是什么四边形?若AB=6,BC=8,你能求出GH的长吗?(这 问题相当于将矩形ABCD对折,使B、D重合,求折痕GH的长。) 略解:∵AB=6,BC=8∴BD=AC=10。 D 设OG=x,则BG=GD=√x2+25 在Rt△ABG中,则勾股定理得 即62 变式6 解得x GH=2x=7.5 (二)一题多解,培养发散思维 〖例题2〗 已知:如图,在正方形ABCD,E是BC边上一点, F是CD的中点,且AE=DC+CE 求证:AF平分∠DAE 证法一:(延长法)延长EF,交AD的延长线于G(如图2-1)。 例2 ∴四边形ABCD是正方形, ∴AD=CD,∠C=∠ADC=90°(正方形四边相等,四个角都是直角) ∠GDF=90°, G ∠C=∠GDF ∠C=∠GDF 在△EC和△GFD中∠1=∠2 CF=DE 2-1 ∴△EFC≌△GFD(ASA) ∴CE=DG,EF=GF
么四边形？为什么？ 可由变式 1 可知四边形 BGDH 是平行四边形， 再由对角线互相垂直可得四边形 BGDH 是菱形。 变式 6．在变式 5 中，若将“□ABCD”改为“矩形 ABCD”，GH 分别交 AD、BC 于 G、 H，则四边形 BGDH 是什么四边形？若 AB=6，BC=8，你能求出 GH 的长吗？（这一 问题相当于将矩形 ABCD 对折，使 B、D 重合，求折痕 GH 的长。） 略解：∵AB=6，BC=8 ∴BD=AC=10。 设 OG = x，则 BG = GD= 25 2 x + ． 在 Rt△ABG 中，则勾股定理得： AB2 + AG2 = BG2 ， 即 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 6 + 8 − x + 25 = x + 25 ， 解得 4 15 x = ． ∴GH = 2 x = 7.5． （二）一题多解，培养发散思维 〖例题 2〗 已知：如图，在正方形 ABCD，E 是 BC 边上一点， F 是 CD 的中点，且 AE = DC + CE． 求证：AF 平分∠DAE． 证法一：（延长法）延长 EF，交 AD 的延长线于 G（如图 2-1）。 ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD=CD，∠C=∠ADC=90°（正方形四边相等，四个角都是直角） ∴∠GDF=90°， ∴∠C =∠GDF 在△EFC 和△GFD 中 = = = CF DF C GDF 1 2 ∴△EFC≌△GFD（ASA） ∴CE=DG，EF=GF B A D C F E 例 2 2-1 B A D C F E G 1 2 O B H C A G D 变式 6
AD+ DG =AG ∴AF平分∠DAE 证法二:(延长法)延长BC,交AF的延长线于G(如图2-2) ∵四边形ABCD是正方形, ∴AD//BC,DA=DC,∠FCG=∠D=90° (正方形对边平行,四边相等,四个角都是直角) ∴∠3=∠G,∠FCG=90 ∴∠FCG=∠D F ∠FCG=∠D 在△FCG和△FDA中∠1=∠2 ∴△△FCG和△FDA(ASA) ∴CG=DA AE DC CE ∴AE=CG+CE=GE, ∠4=∠G ∴∠3=∠4, AF平分∠DAE 思考:如果用“截取法”,即在AE上取点G, 使AG=AD,再连结GF、EF(如图2-3),这样能证明吗? 2-3 三、综合训练,总结规律 (一)综合练习,提高解题能力 1.在例2中,若将条件“AE=DC+CE”和结论 “AF平分∠DAE”对换, 所得命题正确吗?为什么?你有几种证法?
∵AE = DC + CE， ∴AE = AD + DG = AG， ∴AF 平分∠DAE． 证法二：（延长法）延长 BC，交 AF 的延长线于 G（如图 2-2） ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD // BC，DA=DC，∠FCG=∠D=90° （正方形对边平行，四边相等，四个角都是直角） ∴∠3=∠G，∠FCG=90°， ∴∠FCG =∠D 在△FCG 和△FDA 中 = = = CF DF FCG D 1 2 ∴△△FCG 和△FDA（ASA） ∴CG=DA ∵AE = DC + CE， ∴AE = CG + CE = GE， ∴∠4 =∠G， ∴∠3 =∠4， ∴AF 平分∠DAE． 思考：如果用“截取法”，即在 AE 上取点 G， 使 AG=AD，再连结 GF、EF（如图 2-3），这样能证明吗？ 三、综合训练，总结规律 （一）综合练习，提高解题能力 1． 在例 2 中，若将条件“AE = DC + CE”和结论 “AF 平分∠DAE”对换， 所得命题正确吗？为什么？你有几种证法？ A B D C F E G 1 2 3 4 2-2 A B D C F E G 2-3
2.已知:如图,在□ABCD中,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F G、H分别是BC、AD的中点 求证:四边形EGFH是平行四边形.(用两种方法) 作2 (二)课堂小结,领悟思想方法 1.一题多变,举一反三。 经常在解题之后进行反思——改变命题的条件,或将命题的结论延伸,或将 条件和结论互换,往往会有意想不到的收获。也只有这样,才能做到举一反三, 提高应变能力 2.一题多解,触类旁通。 在平时的作业或练习中,通过一题多解,你不仅可以从中对比选出最优方法, 提高自己在应考中的解题效率,而且还能开阔你的思维,达到触类旁通的目的。 3.善于总结,领悟方法。 数学题目本身蕴含着许多数学思想方法,只要你善于总结,就能真正掌握、提炼 出其中的数学方法,才能不断提高自己分析问题、解决问题的能力。 四、课后反思
2．已知：如图，在□ABCD 中，AE⊥BD 于 E，CF⊥BD 于 F， G、H 分别是 BC、AD 的中点． 求证：四边形 EGFH 是平行四边形．（用两种方法） （二）课堂小结，领悟思想方法 1．一题多变，举一反三。 经常在解题之后进行反思——改变命题的条件，或将命题的结论延伸，或将 条件和结论互换，往往会有意想不到的收获。也只有这样，才能做到举一反三， 提高应变能力。 2．一题多解，触类旁通。 在平时的作业或练习中，通过一题多解，你不仅可以从中对比选出最优方法， 提高自己在应考中的解题效率，而且还能开阔你的思维，达到触类旁通的目的。 3．善于总结，领悟方法。 数学题目本身蕴含着许多数学思想方法，只要你善于总结，就能真正掌握、提炼 出其中的数学方法，才能不断提高自己分析问题、解决问题的能力。 四、课后反思 A B D C E F G H 作 2