19.2一次函数 1921正比例函数 数学目标 件是:k为常数且k≠0,自变量次数为 理解正比例函数的概念,并掌握正 【类型二】确定正比例函数中字母的 比例函数图象和性质:(重点) 2.运用正比例函数解决简单的问 2若函数y=(m-3)x2是正比例 题.(难点) 函数,则m的值为() A.3B.-3C.±3D.不 能确定 教学过程 解析:由题意得m-2=1,且m-3≠0, 解得 3.故选B 情境导入 鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套 方法总结:正比例函数自变量的指数为 上标志环;大约128天后,人们在256万千 米外的澳大利亚发现了它 1,系数不能为0 (1)这只百余克重的小鸟大约平均每天 探究点二:正比例函数的图象和性质 飞行多少千米? 【类型一】正比例函数的图象 (2)这只燕鸥飞行一个半月(一个月按30 例3]在下列各图象中,表示函数y 天计算)的行程大约是多少千米? kx(k0,∴函数y= kα(k0时,图象过第 含义,正确.故选D 三象限;当k<0时,图象过第二、四象限 方法总结:正比例函数y=kx成立的条 【类型二】正比例函数的性质
19．2 一次函数 19.2.1 正比例函数 1．理解正比例函数的概念，并掌握正 比例函数图象和性质；(重点) 2．运用正 比例函 数解决简 单的问 题．(难点) 一、情境导入 鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套 上标志环；大约 128 天后，人们在 2.56 万千 米外的澳大利亚发现了它． (1)这只百余克重的小鸟大约平均每天 飞行多少千米？ (2)这只燕鸥飞行一个半月(一个月按 30 天计算)的行程大约是多少千米？ (3)这只燕鸥的行程 y(单位：千米)与飞 行时间 x(单位：天)之间有什么关系？ 二、合作探究 探究点一：正比例函数 【类型一】 辨别正比例函数 下列式子中，表示 y 是 x 的正比 例函数的是( ) A．y＝ 2 x B．y＝x＋2 C．y＝x 2 D．y ＝2x 解析：选项 A，y＝ 2 x ，自变量次数不为 1，错误；选项 B，y＝x＋2，是和的形式， 错误；选项 C，y＝x 2，自变量次数不为 1， 错误；选项 D，y＝2x，符合正比例函数的 含义，正确．故选 D. 方法总结：正比例函数 y＝kx 成立的条 件是：k 为常数且 k≠0，自变量次数为 1. 【类型二】 确定正比例函数中字母的 值 若函数 y＝(m－3)x |m|－2 是正比例 函数，则 m 的值为( ) A．3 B．－3 C．±3 D．不 能确定 解析：由题意得|m|－2＝1，且 m－3≠0， 解得 m＝－3.故选 B. 方法总结：正比例函数自变量的指数为 1，系数不能为 0. 探究点二：正比例函数的图象和性质 【类型一】 正比例函数的图象 在下列各图象中，表示函数 y＝－ kx(k＜0)的图象的是( ) 解析：∵k＜0，∴－k＞0，∴函数 y＝ －kx(k＜0)的值随自变量 x 的增大而增大， 且函数为正比例函数．故选 C. 方法总结：要知道正比例函数的图象是 过原点的直线，且当 k＞0 时，图象过第一、 三象限；当 k＜0 时，图象过第二、四象限． 【类型二】 正比例函数的性质
例关于函数y=1x,下列结论中,正 x上,则y与y的关系是() A.≥B. C VIy2 A.函数图象经过点(1,3) 解析:∵点A(5,y)和B(2,y2)都在直 B.不论x为何值,总有y>0 线 5,y2=-2 C.y随x的增大而减小 2,∴y10时,p>0,故B选项坐标一定适合此函数的解析式是解答此题 错误;C.∵k=>0,∴y随x的增大而增大,的关键 故C选项错误;D∴∵k=>0,∴函数图象 探究点三:求正比例函数的解析式 【类型一】用定义求正比例函数的解 经过第一、三象限,故D选项正确.故选析式 例7已知y=y+y2,y与x2成正比例, 方法总结:解题的关键是了解正比例函1与x-2成正比例,当x=1时,y=5:当 x=-1时,y=11,求y与x之间的函数表 数的比例系数的符号与正比例函数的关系 达式,并求当x=2时y的值 解析:设n=kx2,y=a(x-2),得出y 及其增减性 kx2+a(x-2),把x=1,y=5和x=-1, y=11代入得出方程组,求出方程组的解即 【类型三】正比例函数的图象与系数可,把x=2代入函数解析式,即可得出答 的关系 案 65]已知正比例函数y=(m-1)x的图 解:设n=k2,y2=a(x-2),则y=kx 象上两点A(x1,y),Bx2,y2),当xy,那么m的取值范围是() A.m1C.m0时,直线必经过解析式是解题的关键一步 第一、三象限,y随x的增大而增大;kx,比较y,y2的大小
关于函数 y＝ 1 3 x，下列结论中，正 确的是( ) A．函数图象经过点(1，3) B．不论 x 为何值，总有 y＞0 C．y 随 x 的增大而减小 D．函数图象经过第一、三象限 解析：A.当 x＝1 时，y＝ 1 3 ，故 A 选项 错误；B.只有当 x＞0 时，y＞0，故 B 选项 错误；C.∵k＝ 1 3 ＞0，∴y 随 x 的增大而增大， 故 C 选项错误；D.∵k＝ 1 3 ＞0，∴函数图象 经过第一、三象限，故 D 选项正确．故选 D. 方法总结：解题的关键是了解正比例函 数的比例系数的符号与正比例函数的关系 及其增减性． 【类型三】 正比例函数的图象与系数 的关系 已知正比例函数 y＝(m－1)x 的图 象上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，当 x1＜x2 时， 有 y1＞y2，那么 m 的取值范围是( ) A．m＜1 B．m＞1 C．m＜2 D．m＞0 解析：根据题意，y 随 x 的增大而减小， 则 m－1＜0，即 m＜1.故选 A. 方法总结：直线 y＝kx 所在的位置与 k 的符号有直接的关系：k＞0 时，直线必经过 第一、三象限，y 随 x 的增大而增大；k＜0 时，直线必经过第二、四象限，y 随 x 的增 大而减小． 【类型四】 正比例函数图象上点的坐 标特征 点 A(5，y1)和 B(2，y2)都在直线 y ＝－x 上，则 y1 与 y2 的关系是( ) A．y1≥y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．y1 ＞y2 解析：∵点 A(5，y1)和 B(2，y2)都在直 线 y＝－x 上，∴y1＝－5，y2＝－2.∵－5＜ －2，∴y1＜y2.故选 C. 方法总结：熟知一次函数图象上各点的 坐标一定适合此函数的解析式是解答此题 的关键． 探究点三：求正比例函数的解析式 【类型一】 用定义求正比例函数的解 析式 已知 y＝y1＋y2，y1 与 x 2 成正比例， y2 与 x－2 成正比例，当 x＝1 时，y＝5；当 x＝－1 时，y＝11，求 y 与 x 之间的函数表 达式，并求当 x＝2 时 y 的值． 解析：设 y1＝kx2，y2＝a(x－2)，得出 y ＝kx2＋a(x－2)，把 x＝1，y＝5 和 x＝－1， y＝11 代入得出方程组，求出方程组的解即 可，把 x＝2 代入函数解析式，即可得出答 案． 解：设 y1＝kx2，y2＝a(x－2)，则 y＝kx2 ＋a(x－2)，把 x＝1，y＝5 和 x＝－1，y＝11 代入得 k－a＝5， k－3a＝11， 解得 a＝－3， k＝2， ∴y 与 x 之间的函数表达式是 y＝2x 2－3(x－2)．把 x ＝2 代入得 y＝2×2 2－3×(2－2)＝8. 方法总结：用定义求函数解析式，设出 解析式是解题的关键一步． 【类型二】 用待定系数法求正比例函 数的解析式 已知正比例函数 y＝kx 图象经过 点(3，－6)，求： (1)这个函数的解析式； (2)判断点 A(4，－2)是否在这个函数图 象上； (3)图象上两点 B(x1，y1)、C(x2，y2)，如 果 x1＞x2，比较 y1，y2 的大小．
解析:(1)利用待定系数法把(3,-6)代 入正比例函数y=kx中计算出k即可得到解 析式;(2)将A点的横坐标代入正比例函数 关系式,计算函数值,若函数值等于-2, 则A点在这个函数图象上,否则不在这个函 数图象上;(3)根据正比例函数的性质:当k 0时,y随x的增大而减小,即可判断 解:(1)∵正比例函数y=kx经过点(3, 6),∴-6=3k,解得k=-2,∴这个正 比例函数的解析式为y=-2x; (2)将x=4代入y=-2x得y=-8≠ 2,∴点A(4,-2)不在这个函数图象上 (3)∵k=-2x2,∵y<y2 方法总结:将A点的横坐标代入正比例 函数关系式,求出函数值,再进一步判定是 解决问题的关键 三、板书设计 1.正比例函数的图象 2.正比例函数的性质 3.正比例函数解析式的确定 教学反思 本节课在教师引导下使学生通过自己 的观察、研究、自学和小组的探索、讨论来 发现问题、解决问题,再通过教师的点拨、 总结进行知识归纳,理论提升的教学方 法.由学生亲自来发现事物的特征和规律, 更能使学生产生兴奋感、自信心,激发学生 兴趣,产生自主学习的内在动力,更有利于 发展学生的创造性思维能力
解析：(1)利用待定系数法把(3，－6)代 入正比例函数 y＝kx 中计算出 k 即可得到解 析式；(2)将 A 点的横坐标代入正比例函数 关系式，计算函数值，若函数值等于－2， 则 A 点在这个函数图象上，否则不在这个函 数图象上；(3)根据正比例函数的性质：当 k ＜0 时，y 随 x 的增大而减小，即可判断． 解：(1)∵正比例函数 y＝kx 经过点(3， －6)，∴－6＝3·k，解得 k＝－2，∴这个正 比例函数的解析式为 y＝－2x； (2)将 x＝4 代入 y＝－2x 得 y＝－8≠－ 2，∴点 A(4，－2)不在这个函数图象上； (3)∵k＝－2＜0，∴y 随 x 的增大而减 小．∵x1＞x2，∴y1＜y2. 方法总结：将 A 点的横坐标代入正比例 函数关系式，求出函数值，再进一步判定是 解决问题的关键． 三、板书设计 1．正比例函数的图象 2．正比例函数的性质 3．正比例函数解析式的确定 本节课在教师引导下使学生通过自己 的观察、研究、自学和小组的探索、讨论来 发现问题、解决问题，再通过教师的点拨、 总结进行知识归纳，理论提升的教学方 法．由学生亲自来发现事物的特征和规律， 更能使学生产生兴奋感、自信心，激发学生 兴趣，产生自主学习的内在动力，更有利于 发展学生的创造性思维能力．