第2课时勾股定理的逆定理的应用 教学目标一 方法总结:本题考查了等边三角形的判 1.进一步理解勾股定理的逆定理;(重 定与性质以及勾股定理的逆定理.解决问题 2.灵活运用勾股定理及逆定理解决实 际问题.(难点) 的关键是根据题意构造△APE为直角三角 形 数学心程 【类型二】运用勾股定理的逆定理求 边长 、情境导入 某港口位于东西方向的海岸线上,“远 望号”“海天号”两艘轮船同时离开港口, 各自沿一固定的方向航行,“远望号”每小 时航行16海里,“海天号”每小时航行12 团2在△ABC中,D为BC边上的点, 海里,它们离开港口1个半小时后相距30AB=13,AD=12,CD=9,AC=15,求BD 海里,如果知道“远望号”沿东北方向航的长 行,能知道“海天号”沿哪个方向航行吗? 解析:根据勾股定理的逆定理可判断 、合作探究 △ACD为直角三角形,即∠ADC=∠ADB 探究点:勾股定理的逆定理的应用 =90°在Rt△ABD中利用勾股定理可得出 【类型一】运用勾股定理的逆定理求BD的长度 角度 解:∵在△ADC中,AD=12,CD=9, AC=15,∴AC2=AD2+CD2,∴△ADC是 直角三角形,∠ADC=∠ADB=90°, ∴△ADB是直角三角形.在Rt△ADB中 :AD=12,AB=13,.BD=VAB2-AD2 例卫如图,已知点P是等边△ABC内5,∴BD的长为5 点,PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的 度数 方法总结:解题时可先通过勾股定理的 解析:将△BPC绕点B逆时针旋转60° 得△BEA,连接EP,判断△APE为直角三逆定理证明一个三角形是直角三角形,然后 角形,且∠APE=90°,即可得到∠APB的 度数 再进行转化,最后求解,这种方法常用在解 解:∵△ABC为等边三角形,∴BA BC可将△BPC绕点B逆时针旋转60得有公共直角或两直角互为邻补角的两个直 △BEA,连EP,∴BE=BP=4,AE=PC=5 ∠PBE=60°,∴△BPE为等边三角形,∴PE角三角形的图形中 =PB=4,∠BPE=60在△AEP中,AE=5, 【类型三】勾股定理逆定理的实际应 AP=3,PE=4,AE2=PE2+PA2,∴△APE用 为直角三角形,且∠APE=90°,∴∠APB 90°+60°=150°
第 2 课时 勾股定理的逆定理的应用 1．进一步理解勾股定理的逆定理；(重 点) 2．灵活运用勾股定理及逆定理解决实 际问题．(难点) 一、情境导入 某港口位于东西方向的海岸线上，“远 望号”“海天号”两艘轮船同时离开港口， 各自沿一固定的方向航行，“远望号”每小 时航行 16 海里，“海天号”每小时航行 12 海里，它们离开港口 1 个半小时后相距 30 海里，如果知道“远望号”沿东北方向航 行，能知道“海天号”沿哪个方向航行吗？ 二、合作探究 探究点：勾股定理的逆定理的应用 【类型一】 运用勾股定理的逆定理求 角度 如图，已知点 P 是等边△ABC 内 一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB 的 度数． 解析：将△BPC 绕点 B 逆时针旋转 60° 得△BEA，连接 EP，判断△APE 为直角三 角形，且∠APE＝90°，即可得到∠APB 的 度数． 解：∵△ABC 为等边三角形，∴BA＝ BC.可将△BPC 绕点 B 逆时针旋转 60°得 △BEA，连 EP，∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5， ∠PBE＝60°，∴△BPE 为等边三角形，∴PE ＝PB＝4，∠BPE＝60°.在△AEP 中，AE＝5， AP＝3，PE＝4，∴AE2＝PE2＋PA2，∴△APE 为直角三角形，且∠APE＝90°，∴∠APB＝ 90°＋60°＝150°. 方法总结：本题考查了等边三角形的判 定与性质以及勾股定理的逆定理．解决问题 的关键是根据题意构造△APE 为直角三角 形． 【类型二】 运用勾股定理的逆定理求 边长 在△ABC 中，D 为 BC 边上的点， AB＝13，AD＝12，CD＝9，AC＝15，求 BD 的长． 解析：根据勾股定理的逆定理可判断出 △ACD 为直角三角形，即∠ADC＝∠ADB ＝90°.在 Rt△ABD 中利用勾股定理可得出 BD 的长度． 解：∵在△ADC 中，AD＝12，CD＝9， AC＝15，∴AC2＝AD2＋CD2，∴△ADC 是 直角三角形， ∠ADC ＝ ∠ADB ＝ 90°， ∴△ADB 是直角三角形．在 Rt△ADB 中， ∵AD＝12，AB＝13，∴BD＝ AB2－AD2＝ 5，∴BD 的长为 5. 方法总结：解题时可先通过勾股定理的 逆定理证明一个三角形是直角三角形，然后 再进行转化，最后求解，这种方法常用在解 有公共直角或两直角互为邻补角的两个直 角三角形的图形中． 【类型三】 勾股定理逆定理的实际应 用
所走的路程即可得出走私船所用的时间,即 可得出走私船何时能进入我国领海.解题的 关键是得出走私船所走的路程,根据题意, D CE即为走私船所走的路程.由题意可知 例3]如图,是一农民建房时挖地基的△ABE和△ABC均为直角三角形,可分别解 平面图,按标准应为长方形,他在挖完后测这两个直角三角形即可得出 量了一下,发现AB=DC=8m,AD=BC= 解:设MN与AC相交于E,则∠BEC 6m,AC=9m,请你运用所学知识帮他检验=90°∵AB2+BC2=52+122=132=AC2 下挖的是否合格? ∴△ABC为直角三角形,且∠ABC 解析:把实际问题转化成数学问题来解90°∴∵MN⊥CE,∴走私艇C进入我国领海 决,运用直角三角形的判别条件,验证它是 否为直角三角形. 的最短距离是CE.由S△ABC=ABBC 解:∵AB=DC=8m,AD=BC=6m, 4B2+BC2=82+62=64+36=100又ACBE,得BE=1海里.由CE2+BE2=12 ∴AC2=92=81,∴AB2+BC2≠AC 144 144 ∴∠ABC≠90°,∴该农民挖的不合格 得 海里 13=14≈0.85(小 方法总结:解答此类问题,一般是根据 时)=51(分钟),9时50分+51分=10时41 分 已知的数据先运用勾股定理的逆定理判断 答:走私艇C最早在10时41分进入我 国领海 一个三角形是否是直角三角形,然后再作进 方法总结:用数学几何知识解决实际问 一步解答 题的关键是建立合适的数学模型,注意提炼 【类型四】运用勾股定理的逆定理题干中的有效信息,并转化成数学语言 决方位角问题 三、板书设计 利用勾股定理逆定理求角的度数 2.利用勾股定理逆定理求线段的长 3.利用勾股定理逆定理解决实际问题 教学反思 在本节课的教学活动中,尽量给学生充 4如图,南北向MN为我国领海线,足的时间和空间,让学生以平等的身份参与 即MN以西为我国领海,以东为公海,上午到学习活动中去,教师要帮助、指导学生进 9时50分,我国反走私A艇发现正东方有行实践活动,这样既锻炼了学生的实践、观 一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海察能力,又在教学中渗透了人文和探究精 开来,便立即通知正在MN线上巡逻的我国神,体现了“数学源于生活、寓于生活、用 反走私艇B密切注意.反走私艇A和走私艇于生活”的教育思想 C的距离是13海里,A、B两艇的距离是5 海里:反走私艇B测得距离C艇12海里 若走私艇C的速度不变,最早会在什么时候 进入我国领海? 解析:已知走私船的速度,求出走私船
如图，是一农民建房时挖地基的 平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测 量了一下，发现 AB＝DC＝8m，AD＝BC＝ 6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验 一下挖的是否合格？ 解析：把实际问题转化成数学问题来解 决，运用直角三角形的判别条件，验证它是 否为直角三角形． 解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m， ∴AB2 ＋BC2 ＝8 2 ＋6 2 ＝64＋36＝100. 又 ∵AC2 ＝ 9 2 ＝ 81 ， ∴AB2 ＋ BC2≠AC2 ， ∴∠ABC≠90°，∴该农民挖的不合格． 方法总结：解答此类问题，一般是根据 已知的数据先运用勾股定理的逆定理判断 一个三角形是否是直角三角形，然后再作进 一步解答． 【类型四】 运用勾股定理的逆定理解 决方位角问题 如图，南北向 MN 为我国领海线， 即 MN 以西为我国领海，以东为公海，上午 9 时 50 分，我国反走私 A 艇发现正东方有 一走私艇以 13 海里/时的速度偷偷向我领海 开来，便立即通知正在 MN 线上巡逻的我国 反走私艇 B 密切注意．反走私艇 A 和走私艇 C 的距离是 13 海里，A、B 两艇的距离是 5 海里；反走私艇 B 测得距离 C 艇 12 海里， 若走私艇 C 的速度不变，最早会在什么时候 进入我国领海？ 解析：已知走私船的速度，求出走私船 所走的路程即可得出走私船所用的时间，即 可得出走私船何时能进入我国领海．解题的 关键是得出走私船所走的路程，根据题意， CE 即为走私船所走的路程．由题意可知， △ABE 和△ABC 均为直角三角形，可分别解 这两个直角三角形即可得出． 解：设 MN 与 AC 相交于 E，则∠BEC ＝90°.∵AB2＋BC2＝5 2＋122＝132＝AC2， ∴△ABC 为 直 角 三 角 形 ， 且 ∠ABC ＝ 90°.∵MN⊥CE，∴走私艇 C 进入我国领海 的最短距离是 CE.由 S△ABC＝ 1 2 AB·BC＝ 1 2 AC·BE，得 BE＝ 60 13海里．由 CE2＋BE2＝122， 得 CE＝ 144 13 海里，∴ 144 13 ÷13＝ 144 169≈0.85(小 时)＝51(分钟)，9 时 50 分＋51 分＝10 时 41 分． 答：走私艇 C 最早在 10 时 41 分进入我 国领海． 方法总结：用数学几何知识解决实际问 题的关键是建立合适的数学模型，注意提炼 题干中的有效信息，并转化成数学语言． 三、板书设计 1．利用勾股定理逆定理求角的度数 2．利用勾股定理逆定理求线段的长 3．利用勾股定理逆定理解决实际问题 在本节课的教学活动中，尽量给学生充 足的时间和空间，让学生以平等的身份参与 到学习活动中去，教师要帮助、指导学生进 行实践活动，这样既锻炼了学生的实践、观 察能力，又在教学中渗透了人文和探究精 神，体现了“数学源于生活、寓于生活、用 于生活”的教育思想．