人教版_八年级下册_数学_八数下(RJ)--3.教案_17.1 第1课时勾股定理.doc_大学文库

17．1 勾股定理第 1 课时勾股定理 1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点) 2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题；(重点) 3．了解利用拼图验证勾股定理的方法．(难点) 一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？二、合作探究探究点一：勾股定理【类型一】直接运用勾股定理如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°， AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB 于 D，求： (1)AC 的长； (2)S△ABC； (3)CD 的长．解析：(1)由于在△ABC 中，∠ACB＝ 90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可求出 AC 的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出 S△ABC；(3)根据面积公式得到 CD·AB＝BC·AC 即可求出 CD. 解：(1)∵在△ABC 中，∠ACB＝90°， AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝ AB2－BC2＝ 12cm； (2)S△ABC ＝ 1 2 CB·AC ＝ 1 2 ×5×12 ＝ 30(cm2 )； (3)∵S△ABC＝ 1 2 AC·BC＝ 1 2 CD·AB，∴CD ＝ AC·BC AB ＝ 60 13cm. 方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．【类型二】分类讨论思想在勾股定理中的应用在△ABC 中，AB＝15，AC＝13， BC 边上的高 AD＝12，试求△ABC 的周长．解析：本题应分△ABC 为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论．解：此题应分两种情况说明： (1)当△ABC 为锐角三角形时，如图① 所示．在 Rt△ABD 中，BD＝ AB2－AD2＝ 152－122 ＝ 9. 在 Rt△ACD 中， CD ＝ AC2－AD2＝ 132－122＝5，∴BC＝5＋9 ＝14，∴△ABC 的周长为 15＋13＋14＝42；

解答;方法2:根据△ABC和Rt△ACD的面积之和等于Rt△ABD和△BCD的面积之和解答解:方法1:S正方形ACFD=S四边形ABFE=S△BAE (2)当△ABC为钝角三角形时,如图② +S 即b2=22+(b+a)(b-a,整理所示.在Rt△ABD中,BD=AB2-AD2=得2b2=c2+b2-a2,∴a2+b2=c2 152-122=9.在Rt△ACD中,CD= 方法2:此图也可以看成Rt△BEA绕其 AC2-AD2=yl32-122=5,∴BC=9-5直角顶点E顺时针旋转90°,再向下平移得 4,∴△ABC的周长为15+13+4=32∴到.∵S四边形ABCD=S△ABC+十S△ACD,S四边形ABCD 当△ABC为锐角三角形时,△ABC的周长=S△ABD+S△BCD,∴S△ABC+S△ACD=S△ABD+ 为42:当△ABC为钝角三角形时,△ABC 的周长为32 S△BCD,即b2+ab=2+a(b-a,整理得方法总结:解题时要考虑全面,对存b2+ab=c2+a(b-a),b2+ab=c2+ab-a, ∵.a2+b2= 在的可能情况,可作出相应的图形,判断是方法总结:证明勾股定理时,用几个全否符合题意等的直角三角形拼成一个规则的图形,然后【类型三】勾股定理的证明 3探索与研究: 利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理探究点二:勾股定理与图形的面积例4如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都对任意的符合条件的直角三角形ABC是直角三角形,若正方形A、B、C、D的面绕其顶点A旋转90°得直角三角形AED,所积分别为2,5,1,2.则最大的正方形E的以∠BAE=90°,且四边形ACFD是一个正面积是方形,它的面积和四边形ABFE的面积相等, 而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和 Rt△BFE的面积之和.根据图示写出证明勾股定理的过程解析:根据勾股定理的几何意义,可得 E 正方形A、B的面积和为S1,正方形C、D 的面积和为S2,S1+S2=S3,即S3=2+5+1 方法2:如图: 2=10.故答案为10 该图形是由任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的,你能根方法总结:能够发现正方形A、B、C、据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗? D的边长正好是两个直角三角形的四条直解析:方法1:根据四边形ABFE面积等于R△BAE和R△BFE的面积之和进行角边根据勾股定理最终能够证明正方形A

(2)当△ABC 为钝角三角形时，如图② 所示．在 Rt△ABD 中，BD＝ AB2－AD2＝ 152－122 ＝ 9. 在 Rt△ACD 中， CD ＝ AC2－AD2＝ 132－122＝5，∴BC＝9－5 ＝4，∴△ABC 的周长为 15＋13＋4＝32.∴ 当△ABC 为锐角三角形时，△ABC 的周长为 42；当△ABC 为钝角三角形时，△ABC 的周长为 32. 方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意．【类型三】勾股定理的证明探索与研究：方法 1 ：如图：对任意的符合条件的直角三角形 ABC 绕其顶点 A 旋转 90°得直角三角形 AED，所以∠BAE＝90°，且四边形 ACFD 是一个正方形，它的面积和四边形ABFE 的面积相等，而四边形 ABFE 的面积等于 Rt△BAE 和 Rt△BFE 的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；方法 2：如图：该图形是由任意的符合条件的两个全等的 Rt△BEA 和 Rt△ACD 拼成的，你能根据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗？解析：方法 1：根据四边形 ABFE 面积等于 Rt△BAE 和 Rt△BFE 的面积之和进行解答；方法 2：根据△ABC 和 Rt△ACD 的面积之和等于 Rt△ABD 和△BCD 的面积之和解答．解：方法1：S 正方形ACFD＝S 四边形ABFE＝S△BAE ＋S△BFE，即 b 2＝ 1 2 c 2＋ 1 2 (b＋a)(b－a)，整理得 2b 2＝c 2＋b 2－a 2，∴a 2＋b 2＝c 2 ；方法 2：此图也可以看成 Rt△BEA 绕其直角顶点 E 顺时针旋转 90°，再向下平移得到．∵S 四边形 ABCD＝S△ABC＋S△ACD，S 四边形 ABCD ＝S△ABD＋S△BCD，∴S△ABC＋S△ACD＝S△ABD＋ S△BCD，即1 2 b 2＋ 1 2 ab＝ 1 2 c 2＋ 1 2 a(b－a)，整理得 b 2＋ab＝c 2＋a(b－a)，b 2＋ab＝c 2＋ab－a 2， ∴a 2＋b 2＝c 2 . 方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理．探究点二：勾股定理与图形的面积如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形 A、B、C、D 的面积分别为 2，5，1，2.则最大的正方形 E 的面积是________．解析：根据勾股定理的几何意义，可得正方形 A、B 的面积和为 S1，正方形 C、D 的面积和为 S2，S1＋S2＝S3，即 S3＝2＋5＋1 ＋2＝10.故答案为 10. 方法总结：能够发现正方形 A、B、C、 D 的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A

人教版_八年级下册_数学_八数下(RJ)--3.教案_17.1 第1课时 勾股定理

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