18.1平行四边形 18.11平行四边形的性质 第1课时平行四边形的边、角的特征 数学目标一 ∠D+∠CAD=180°,∠B=∠D,∠1 ∠2,∴∠DAC=∠ACB,∴AD∥BC.∴∠1 1.理解平行四边形的概念;(重点) ∠2,∴AB∥CD,∴四边形ABCD是平行 2.掌握平行四边形边、角的性质;(重四边形 3.利用平行四边形边、角的性质解决 方法总结:平行四边形的定义既是平行 问题,(难点) 四边形的性质,也是判断一个四边形是平行 四边形的重要方法 数学过程 探究点二:平行四边形的边、角特征 、情境导入 【类型一】利用平行四边形的性质求 如图,平行四边形是我们常见的一种图边长 形,它具有十分和谐的对称美.它是什么样 的对称图形呢?它又具有哪些基本性质 呢? 团2如图,在△ABC中,AB=AC=5, 点D,E,F分别是AC,BC,BA延长线上 的点,四边形ADEF为平行四边形,DE=2, 二、合作探究 则AD 探究点一:平行四边形的定义 解析:∵四边形ADEF为平行四边形, DE=AF=2,AD=EF,AD∥EF,∴∠ACB ∠FEB.AB=AC,∴∠ACB=∠B, ∠FEB=∠B,∴EF=BF∴AD=BF 例如图,在四边形ABCD中,∠B∵AB=5,∴BF=5+2=7,AD=7 ∠D,∠1=∠2求证:四边形ABCD是平 行四边形 方法总结:本题考查了平行四边形对边 解析:根据三角形内角和定理求出 ∠DAC=∠ACB,根据平行线的判定推出平行且相等的性质及等腰三角形的性质,熟 AD∥BC,AB∥CD,根据平行四边形的定义 推出即可 练掌握各性质是解题的关键 证明:∵∠1+∠B+∠ACB=180°,∠2 【类型二】利用平行四边形的性质求
18．1 平行四边形 18．1.1 平行四边形的性质 第 1 课时 平行四边形的边、角的特征 1．理解平行四边形的概念；(重点) 2．掌握平行四边形边、角的性质；(重 点) 3．利用平行四边形边、角的性质解决 问题．(难点) 一、情境导入 如图，平行四边形是我们常见的一种图 形，它具有十分和谐的对称美．它是什么样 的对称图形呢？它又具有哪些基本性质 呢？ 二、合作探究 探究点一：平行四边形的定义 如图，在四边形 ABCD 中，∠B ＝∠D，∠1＝∠2.求证：四边形 ABCD 是平 行四边形． 解析：根据三角形内角和定理求出 ∠DAC＝∠ACB，根据平行线的判定推出 AD∥BC，AB∥CD，根据平行四边形的定义 推出即可． 证明：∵∠1＋∠B＋∠ACB＝180°，∠2 ＋∠D＋∠CAD＝180°，∠B＝∠D，∠1＝ ∠2，∴∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC.∵∠1 ＝∠2，∴AB∥CD，∴四边形 ABCD 是平行 四边形． 方法总结：平行四边形的定义既是平行 四边形的性质，也是判断一个四边形是平行 四边形的重要方法． 探究点二：平行四边形的边、角特征 【类型一】 利用平行四边形的性质求 边长 如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5， 点 D，E，F 分别是 AC，BC，BA 延长线上 的点，四边形 ADEF 为平行四边形，DE＝2， 则 AD＝________． 解析：∵四边形 ADEF 为平行四边形， ∴DE＝AF＝2，AD＝EF，AD∥EF，∴∠ACB ＝ ∠FEB.∵AB ＝ AC ， ∴∠ACB ＝ ∠B ， ∴∠FEB ＝∠B ，∴EF ＝BF.∴AD＝BF ， ∵AB＝5，∴BF＝5＋2＝7，∴AD＝7. 方法总结：本题考查了平行四边形对边 平行且相等的性质及等腰三角形的性质，熟 练掌握各性质是解题的关键． 【类型二】 利用平行四边形的性质求
F=cE △PCF和△PCE中,∠FCP=∠ECP, CP=CP ∴△PCF≌△PCE(SAS),∴PF=PE 圆3如图,在平行四边形ABCD中 CE⊥AB于E,若∠A=125°,则∠BCE的度 方法总结:平行四边形性质,等腰三角 数为() A.35° B.55° 形的性质,全等三角形的性质和判定等常综 C.25° D.30° 解析:∵四边形ABCD是平行四边形 合应用,利用平行四边形的性质可以解决一 ∴AD∥BC,∴∠A+∠B=180° 125°,∴∠B=55°CE⊥AB于E,∴∠BEC 些相等的问题,在证明时应用较多 90°,∴∠BCE=90°-55°=35°故选A 【类型四】判断直线的位置关系 方法总结:平行四边形对角相等,邻角 互补,并且已知一个角或已知两个邻角的关 团5如图,在平行四边形ABCD中, AB=2AD,M为AB的中点,连接DM、MC, 系,可求出其他角,所以利用该性质可以解 试问直线DM和MC有何位置关系?请证 明 决和角度有关的问题 解析:由AB=2AD,M是AB的中点的 【类型三】利用平行四边形的性质证位置关系,可得出DM、CM分别是∠AD 明有关结论 与∠BCD的平分线.又由平行线的性质可得 ∠ADC+∠BCD=180°,进而可得出DM与 MC的位置关系 解:DM与MC互相垂直.证明如下: M是AB的中点,∴AB=2AM又∵AB= 2AD,∴AM=AD,∴∠ADM=∠AMD∴∵四 4如图,点G、E、F分别在平行四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD 边形ABCD的边AD、DC和BC上,DG ∠AMD=∠MDC,∴∠ADM=∠MDC, DC,CE=CF,点P是射线GC上一点,连 接FP,EP求证:FP=EP 则∠MDC=1∠ADC,同理∠MCD=1 解析:根据平行四边形的性质推出∠BCD.∵AD∥BC,∴∠ADC+∠DCB= ∠DGC=∠GCB,根据等腰三角形性质求出 ∠DGC=∠DCG,推出∠DCG=∠GCB, 180°,∠MDC+∠MCD=3∠BCD+2 根据“等角的补角相等”求出∠DCP=∠ADC=90°.∵∠MDC+∠MCD+∠DMC ∠FCP,根据“SAS”证出△PCF≌△PCE即=180°,∴∠DMC=90°,∴DM与MC互 可得出结论 相垂直 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, AD∥BC,∴∠DGC=∠GCB.∵DG 方法总结:根据平行四边形的性质,将 DC,∴∠DGC=∠DGG,∴∠DCG ∠GCB.∵∠DCG+∠ECP=180°,∠GCB已知条件转化到同一个三角形中,即可判断 +∠FCP=180°,∴∠ECP=∠FCP.在 两条直线的关系
角 如图，在平行四边形 ABCD 中， CE⊥AB 于 E，若∠A＝125°，则∠BCE 的度 数为( ) A．35° B．55° C．25° D．30° 解析：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠A ＋∠B ＝180°.∵∠A ＝ 125°，∴∠B＝55°.∵CE⊥AB 于 E，∴∠BEC ＝90°，∴∠BCE＝90°－55°＝35°.故选 A. 方法总结：平行四边形对角相等，邻角 互补，并且已知一个角或已知两个邻角的关 系，可求出其他角，所以利用该性质可以解 决和角度有关的问题． 【类型三】 利用平行四边形的性质证 明有关结论 如图，点 G、E、F 分别在平行四 边形 ABCD 的边 AD、DC 和 BC 上，DG＝ DC，CE＝CF，点 P 是射线 GC 上一点，连 接 FP，EP.求证：FP＝EP. 解析：根据平行四边形的性质推出 ∠DGC＝∠GCB，根据等腰三角形性质求出 ∠DGC＝∠DCG，推出∠DCG＝∠GCB， 根据“等角的补角相等”求出∠DCP ＝ ∠FCP，根据“SAS”证出△PCF≌△PCE 即 可得出结论． 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC ， ∴∠DGC ＝ ∠GCB.∵DG ＝ DC ， ∴∠DGC ＝ ∠DCG ， ∴∠DCG ＝ ∠GCB.∵∠DCG＋∠ECP＝180°，∠GCB ＋ ∠FCP ＝ 180°， ∴∠ECP ＝ ∠FCP. 在 △PCF 和△PCE 中，∵ CF＝CE， ∠FCP＝∠ECP， CP＝CP， ∴△PCF≌△PCE(SAS)，∴PF＝PE. 方法总结：平行四边形性质，等腰三角 形的性质，全等三角形的性质和判定等常综 合应用，利用平行四边形的性质可以解决一 些相等的问题，在证明时应用较多． 【类型四】 判断直线的位置关系 如图，在平行四边形 ABCD 中， AB＝2AD，M 为 AB 的中点，连接 DM、MC， 试问直线 DM 和 MC 有何位置关系？请证 明． 解析：由 AB＝2AD，M 是 AB 的中点的 位置关系，可得出 DM、CM 分别是∠ADC 与∠BCD 的平分线．又由平行线的性质可得 ∠ADC＋∠BCD＝180°，进而可得出 DM 与 MC 的位置关系． 解：DM 与 MC 互相垂直．证明如下： ∵M 是 AB 的中点，∴AB＝2AM.又∵AB＝ 2AD，∴AM＝AD，∴∠ADM＝∠AMD.∵四 边形 ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD， ∴∠AMD＝∠MDC，∴∠ADM＝∠MDC， 则 ∠MDC ＝ 1 2 ∠ADC ，同理 ∠MCD ＝ 1 2 ∠BCD.∵AD∥BC， ∴∠ADC＋ ∠DCB ＝ 180°，∴∠MDC＋∠MCD＝ 1 2 ∠BCD＋ 1 2 ∠ADC＝90°.∵∠MDC＋∠MCD＋∠DMC ＝180°，∴∠DMC＝90°，∴DM 与 MC 互 相垂直． 方法总结：根据平行四边形的性质，将 已知条件转化到同一个三角形中，即可判断 两条直线的关系．
探究点三:两平行线间的距离 6如图,已知l1∥l2,点E,F在l 上,点G,H在h2上,试说明△EGO与△FHO 面积相等 解析:结合平行线间的距离相等和三角 形的面积公式即可证明 证明:∵h1∥,∴点E,F到h2之间的 距离都相等,设为h∴S△EGH=GHh,S△FGH GHh,∴S△EGH=S△FGH,∴S△EGH-S△GoH =S△FGH-S△GOH,∴△EGO的面积等于 △FHO的面积 方法总结:根据两平行线间的距离可 知,夹在两条平行线间的任何平行线段都相 等,而后可推出两三角形同底等高,面积相 三、板书设计 1.平行四边形的定义 2.平行四边形的边、角特征 3.两平行线间的距离 数学反思 学生通过观看多媒体课件的演示和动 手操作的过程,得出并掌握平行四边形的性 质,效果比较好.例题能够引导学生用不同 的方法去解决问题并加以变式练习,使教师 能根据学生的掌握情况及时解决学生在练 习的过程中发现问题,并通过投影指出错 误,规范说理过程,极大提高课堂效率
探究点三：两平行线间的距离 如图，已知 l1∥l2，点 E，F 在 l1 上，点 G，H 在 l2 上，试说明△EGO 与△FHO 面积相等． 解析：结合平行线间的距离相等和三角 形的面积公式即可证明． 证明：∵l1∥l2，∴点 E，F 到 l2 之间的 距离都相等，设为 h.∴S△EGH＝ 1 2 GH·h，S△FGH ＝ 1 2 GH·h，∴S△EGH＝S△FGH，∴S△EGH－S△GOH ＝S△FGH －S△GOH ，∴△EGO 的面积等于 △FHO 的面积． 方法总结：根据两平行线间的距离可 知，夹在两条平行线间的任何平行线段都相 等，而后可推出两三角形同底等高，面积相 等． 三、板书设计 1．平行四边形的定义 2．平行四边形的边、角特征 3．两平行线间的距离 学生通过观看多媒体课件的演示和动 手操作的过程，得出并掌握平行四边形的性 质，效果比较好．例题能够引导学生用不同 的方法去解决问题并加以变式练习，使教师 能根据学生的掌握情况及时解决学生在练 习的过程中发现问题，并通过投影指出错 误，规范说理过程，极大提高课堂效率．