第3课时用待定系数法求一次函数解析式 教学目标一 (2)∵点C(m,2)在y=2x-1上,∴2 1.用待定系数法求一次函数的解析式:2m-1,…∴m=,∴点C的坐标G,2) (重点) 2.从题目中获取待定系数法所需要的 方法总结:解答此题时,要注意一次函 两个点的条件.(难点) 数的一次项系数k≠0这一条件,所以求出 结果要注意检验一下 数学心程 【类型二】由函数图象确定一次函数 、情境导入 解析式 已知弹簧的长度y(厘米)在一定的限度 内是所挂重物质量x(千克)的一次函数.现 已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米,挂 4千克质量的重物时,弹簧的长度是72厘 米.求这个一次函数的关系式 次函数解析式怎样确定?需要几个 例2如图,一次函数的图象与x轴、y 条件? 轴分别相交于A,B两点,如果A点的坐标 、合作探究 为(2,0),且OA=OB,试求一次函数的解 探究点:用待定系数法求一次函数解析析式 式 解析:先求出点B的坐标,再根据待定 【类型一】已知两点确定一次函数解系数法即可求得函数解析式 析式 解:∵OA=OB,A点的坐标为(2,0), 例卫已知一次函数图象经过点A(3,5)∴点B的坐标为(0,-2)设直线AB的解 和点B(-4,-9) 2k+b=0, (1)求此一次函数的解析式 析式为y=kx+M(k≠0),则 解得 (2)若点Cm,2)是该函数图象上一点 求C点坐标 解析:(1)将点A(3,5和点B(-4 次函数的解析式为y= 9)分别代入一次函数y=kx+b(k≠0),列出 关于k、b的二元一次方程组,通过解方程 方法总结:本题考查用待定系数法求函 组求得k、b的值;(2)将点C的坐标代入(1) 中的一次函数解析式,即可求得m的值. 解:(1)设一次函数的解析式为y=k+数解析式,解题关键是利用所给条件得到关 3k+b b(k、b是常数,且k≠0), 键点的坐标,进而求得函数解析式 9=-4k+b, 【类型三】由三角形的面积确定一次 k=2 函数解析式 次函数的解析式为y=2
第 3 课时 用待定系数法求一次函数解析式 1．用待定系数法求一次函数的解析式； (重点) 2．从题目中获取待定系数法所需要的 两个点的条件．(难点) 一、情境导入 已知弹簧的长度 y(厘米)在一定的限度 内是所挂重物质量 x(千克)的一次函数．现 已测得不挂重物时弹簧的长度是 6 厘米，挂 4 千克质量的重物时，弹簧的长度是 7.2 厘 米．求这个一次函数的关系式． 一次函数解析式怎样确定？需要几个 条件？ 二、合作探究 探究点：用待定系数法求一次函数解析 式 【类型一】 已知两点确定一次函数解 析式 已知一次函数图象经过点 A(3，5) 和点 B(－4，－9)． (1)求此一次函数的解析式； (2)若点 C(m，2)是该函数图象上一点， 求 C 点坐标． 解析：(1)将点 A(3，5)和点 B(－4，－ 9)分别代入一次函数 y＝kx＋b(k≠0)，列出 关于 k、b 的二元一次方程组，通过解方程 组求得 k、b 的值；(2)将点 C 的坐标代入(1) 中的一次函数解析式，即可求得 m 的值． 解：(1)设一次函数的解析式为 y＝kx＋ b(k、b 是常数，且 k≠0)，则 5＝3k＋b， －9＝－4k＋b， ∴ k＝2， b＝－1， ∴一次函数的解析式为 y＝2x －1； (2)∵点 C(m，2)在 y＝2x－1 上，∴2＝ 2m－1，∴m＝ 3 2 ，∴点 C 的坐标为( 3 2 ，2)． 方法总结：解答此题时，要注意一次函 数的一次项系数 k≠0 这一条件，所以求出 结果要注意检验一下． 【类型二】 由函数图象确定一次函数 解析式 如图，一次函数的图象与 x 轴、y 轴分别相交于 A，B 两点，如果 A 点的坐标 为(2，0)，且 OA＝OB，试求一次函数的解 析式． 解析：先求出点 B 的坐标，再根据待定 系数法即可求得函数解析式． 解：∵OA＝OB，A 点的坐标为(2，0)， ∴点 B 的坐标为(0，－2)．设直线 AB 的解 析式为 y＝kx＋b(k≠0)，则 2k＋b＝0， b＝－2， 解得 k＝1， b＝－2， ∴一次函数的解析式为 y＝x－2. 方法总结：本题考查用待定系数法求函 数解析式，解题关键是利用所给条件得到关 键点的坐标，进而求得函数解析式． 【类型三】 由三角形的面积确定一次 函数解析式
的解析式为y=kx+b+ 【类型五】由实际问题确定一次函数 解析式 65已知水银体温计的读数℃)与水 银柱的长度x(cm)之间是一次函数关系.现 圆例3如图,点B的坐标为(-2,0), 有一支水银体温计,其部分刻度线不清晰 AB垂直x轴于点B,交直线l于点A,如果(如图),表中记录的是该体温计部分清晰刻 △ABO的面积为3,求直线l的解析式 度线及其对应水银柱的长度 解析:△AOB面积等于OB与AB乘积 的一半.根据OB与已知面积求出AB的长, 确定出A点坐标设直线l解析式为y=kx,水银柱的长度x(cm)42…8298 将A点坐标代入求出k的值,即可确定直体温计的读数℃ 35.0 0.042.0 线l的解析式 (1)求y关于x的函数关系式(不需要写 解:∵点B的坐标为(-2,0),∴OB出函数自变量的取值范围) 2.∴S△AOB=2OBAB=3,、1×2×AB=3 (2)用该体温计测体温时,水银柱的长度 为62cm,求此时体温计的读数 ∴AB=3,即A(-2,一3).设直线l的解析 解析:(1)设y关于x的函数关系式为y 式为y=kx,将A点坐标代入得一3=-2k,=kx+b,由统计表的数据建立方程组求出 即k=,则直线l的解析式为八=3 k,b即可;(2)当x=62时,代入(1)的解析 式就可以求出y的值 方法总结:解决本题的关键是根据直线 解:(1)设y关于x的函数关系式为y= 与坐标轴围成三角形的面积确定另一个点+b,由题意,/350=42k+b,解得 l40.0=82k+b 的坐标 【类型四】利用图形变换确定一次函 2975,=125x+2975∴y关于x的 数解析式 函数关系式为y=1.25x+2975 A己知一次函数y=kx+b的图象过 (2)当x=62时,y=1.25×62+29.75 点(1,2),且其图象可由正比例函数y=kx=37.5 向下平移4个单位得到,求一次函数的解析 答:此时体温计的读数为375℃ 解析:根据题设得到关于k,b的方程 方法总结:本题考查了待定系数法求 组,然后求出k的值即可 解:把(1,2)代入=kx+b得k+b=次函数的解析式的运用,由解析式根据自变 2∴y=kx向下平移4个单位得到y=kx+b, b=-4,∴k-4=2,解得k=6∴一次函量的值求函数值的运用,解答时求出函数的 数的解析式为y=6x-4 解析式是关键 方法总结:一次函数y=kx+b(k、b为 【类型六】与确定函数解析式有关的 常数,k≠0)的图象为直线,当直线平移时k 综合性问 不变,当向上平移m个单位,则平移后直线
如图，点 B 的坐标为(－2，0)， AB 垂直 x 轴于点 B，交直线 l 于点 A，如果 △ABO 的面积为 3，求直线 l 的解析式． 解析：△AOB 面积等于 OB 与 AB 乘积 的一半．根据 OB 与已知面积求出 AB 的长， 确定出 A 点坐标．设直线 l 解析式为 y＝kx， 将 A 点坐标代入求出 k 的值，即可确定出直 线 l 的解析式． 解：∵点 B 的坐标为(－2，0)，∴OB ＝2.∵S△AOB＝ 1 2 OB·AB＝3，∴ 1 2 ×2×AB＝3， ∴AB＝3，即 A(－2，－3)．设直线 l 的解析 式为 y＝kx，将 A 点坐标代入得－3＝－2k， 即 k＝ 3 2 ，则直线 l 的解析式为 y＝ 3 2 x. 方法总结：解决本题的关键是根据直线 与坐标轴围成三角形的面积确定另一个点 的坐标． 【类型四】 利用图形变换确定一次函 数解析式 已知一次函数 y＝kx＋b 的图象过 点(1，2)，且其图象可由正比例函数 y＝kx 向下平移 4 个单位得到，求一次函数的解析 式． 解析：根据题设得到关于 k，b 的方程 组，然后求出 k 的值即可． 解：把(1，2)代入 y＝kx＋b 得 k＋b＝ 2.∵y＝kx 向下平移 4 个单位得到 y＝kx＋b， ∴b＝－4，∴k－4＝2，解得 k＝6.∴一次函 数的解析式为 y＝6x－4. 方法总结：一次函数 y＝kx＋b(k、b 为 常数，k≠0)的图象为直线，当直线平移时 k 不变，当向上平移 m 个单位，则平移后直线 的解析式为 y＝kx＋b＋m. 【类型五】 由实际问题确定一次函数 解析式 已知水银体温计的读数 y(℃)与水 银柱的长度 x(cm)之间是一次函数关系．现 有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰 (如图)，表中记录的是该体温计部分清晰刻 度线及其对应水银柱的长度． 水银柱的长度 x(cm) 4.2 … 8.2 9.8 体温计的读数 y(℃) 35.0 … 40.0 42.0 (1)求 y 关于 x 的函数关系式(不需要写 出函数自变量的取值范围)； (2)用该体温计测体温时，水银柱的长度 为 6.2cm，求此时体温计的读数． 解析：(1)设 y 关于 x 的函数关系式为 y ＝kx＋b，由统计表的数据建立方程组求出 k，b 即可；(2)当 x＝6.2 时，代入(1)的解析 式就可以求出 y 的值． 解：(1)设 y 关于 x 的函数关系式为 y＝ kx＋b，由题意，得 35.0＝4.2k＋b， 40.0＝8.2k＋b， 解得 k＝1.25， b＝29.75， ∴y＝1.25x＋29.75.∴y 关于 x 的 函数关系式为 y＝1.25x＋29.75； (2)当 x＝6.2 时，y＝1.25×6.2＋29.75 ＝37.5. 答：此时体温计的读数为 37.5℃. 方法总结：本题考查了待定系数法求一 次函数的解析式的运用，由解析式根据自变 量的值求函数值的运用，解答时求出函数的 解析式是关键． 【类型六】 与确定函数解析式有关的 综合性问题
为BD的中点,∴B点坐标为(4,0),D点 坐标为(0,5)设直线BD的解析式为y= kx+b,把B(4,0),D(0,)代入得 6如图,A、B是分别在x轴上位于 4k+b'=0, 6 解得 直线BD 原点左右侧的点,点P(2,m)在第一象限内,|b 直线PA交y轴于点C(0,2),直线PB交y 轴于点D,S△AOP=12 (1)求点A的坐标及m的值 解析式为八6x (2)求直线AP的解析式 (3)若S△BOP=S△DOP,求直线BD的解析 板书设计 1.待定系数法的定义 解析:(1)S△POA=S△AOC+S△COP,根据三 2.用待定系数法求一次函数解析式 角形面积公式得到×OA×2+×2×2 教学反思 12,可计算出OA=10,则A点坐标为(-10, 教学中,要让学生通过自主讨论、交流, 0),然后再利用SAP=2×10×m=12求出来探究学习中碰到的问题,教师从中点拨、 引导,并和学生一起学习,探讨,真正做到 m;(2)已知A点和C点坐标,可利用待定系教学相长 数法确定直线AP的解析式;(3)利用三角形 面积公式由S△BOP=S△DOP得PB=PD,即点 P为BD的中点,则可确定B点坐标为(4, 0),D点坐标为(0,),然后利用待定系数 法确定直线BD的解析式 解:(1)∵S△POA=S△Aoc+S△Cop,∴ OA4×2+×2×2=12,∴OA=10,∴A 点坐标为(-10,0).∵S△AOP=×10×m= (2)设直线AP的解析式为y=kx+b,把 10k+b=0, 0),C(0,2)代入 b=2 解得5∴直线AP的解析式为y=x+ 2 (3)∵S△BOP=S△DOP,∴PB=PD,即点P
如图，A、B 是分别在 x 轴上位于 原点左右侧的点，点 P(2，m)在第一象限内， 直线 PA 交 y 轴于点 C(0，2)，直线 PB 交 y 轴于点 D，S△AOP＝12. (1)求点 A 的坐标及 m 的值； (2)求直线 AP 的解析式； (3)若 S△BOP＝S△DOP，求直线 BD 的解析 式． 解析：(1)S△POA＝S△AOC＋S△COP，根据三 角形面积公式得到1 2 ×OA×2＋ 1 2 ×2×2＝ 12，可计算出 OA＝10，则 A 点坐标为(－10， 0)，然后再利用 S△AOP＝ 1 2 ×10×m＝12 求出 m；(2)已知 A 点和 C 点坐标，可利用待定系 数法确定直线 AP 的解析式；(3)利用三角形 面积公式由 S△BOP＝S△DOP得 PB＝PD，即点 P 为 BD 的中点，则可确定 B 点坐标为(4， 0)，D 点坐标为(0， 24 5 )，然后利用待定系数 法确定直线 BD 的解析式． 解：(1)∵S△POA＝S△AOC＋S△COP ，∴ 1 2 ×OA×2＋ 1 2 ×2×2＝12，∴OA＝10，∴A 点坐标为(－10，0)．∵S△AOP＝ 1 2 ×10×m＝ 12，∴m＝ 12 5 ； (2)设直线 AP 的解析式为 y＝kx＋b，把 A(－10，0)，C(0，2)代入得 －10k＋b＝0， b＝2， 解得 k＝ 1 5 ， b＝2， ∴直线 AP 的解析式为 y＝ 1 5 x＋ 2； (3)∵S△BOP＝S△DOP，∴PB＝PD，即点 P 为 BD 的中点，∴B 点坐标为(4，0)，D 点 坐标为 0， 24 5 .设直线 BD 的解析式为 y＝ k′x＋b′ ，把 B(4，0) ，D 0， 24 5 代入得 4k′＋b′＝0， b′＝ 24 5 ， 解得 k′＝－ 6 5 ， b′＝ 24 5 ， ∴直线 BD 的 解析式为 y＝－ 6 5 x＋ 24 5 . 三、板书设计 1．待定系数法的定义 2．用待定系数法求一次函数解析式 教学中，要让学生通过自主讨论、交流， 来探究学习中碰到的问题，教师从中点拨、 引导，并和学生一起学习，探讨，真正做到 教学相长．