第十九章一次函数 教学目标 能根据具体问题中的数量关系和变化规律体会一次函数的意义,并根据已知条件确定一次 函数的表达式 2.会画一次函数图象,根据一次函数图象和解析表达式理解其性质 3能运用类比思想比较一次函数和正比例函数的异同点,初步体会数形结合思想,并能运用 数形结合的方法解决有关实际问题,并尝试用函数的方法描述有关实际问题,对变量的变化 规律进行初步预测。 本章知识梳理 .一般的若卫=kx+b(k,b是常数,且k≠0,那么y叫做x的一次函数, 当b=0时,一次函数y=kx也叫正比例函数。 2正比例函数y=kx(k≠0)是一次函数的特殊形式,当x=0时,y=0,故正比例函数图像 过原点(0,0) 3.一次函数的图像和性质 函数 y=+b(k≠ k0 b=0 图象 性质十y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 说明:(1)与坐标轴交点(0,b)和(b ,0),b的几何意义: k (2)增减性:k>0,y随x的增大而增大:k0时,将直线y=kx的图象向上平移b个单位可得y=kx+b的 图像 当b0时,将直线y-kx的图象向下平移b个单位可得y=kx+b的 图像 4.直线b1=k1x+b与直线y2=k2x+b2(k≠0,k2≠0)的位置关系 ①k≠k2分y1与y2相交; 2(1→与》相交于轴上同一点(0b成(0b
第十九章 一次函数 教学目标 1.能根据具体问题中的数量关系和变化规律体会一次函数的意义，并根据已知条件确定一次 函数的表达式。 2.会画一次函数图象，根据一次函数图象和解析表达式理解其性质。 3.能运用类比思想比较一次函数和正比例函数的异同点，初步体会数形结合思想，并能运用 数形结合的方法解决有关实际问题，并尝试用函数的方法描述有关实际问题，对变量的变化 规律进行初步预测。 一、本章知识梳理 1.一般的若 y kx b = + （ k ，b 是常数，且 k 0 ），那么 y 叫做 x 的一次函数， 当 b=0 时，一次函数 y=kx 也叫正比例函数。 2.正比例函数 y = kx （ k 0 ）是一次函数的特殊形式,当 x=0 时，y=0,故正比例函数图像 过原点（0,0). 3.一次函数的图像和性质： 一次 函数 y kx b = + ( k 0 ) k ，b 符号 k 0 k 0 b 0 b 0 b = 0 b 0 b 0 b = 0 图象 O x y y O x O x y y O x O x y y O x 性质 y 随 x 的增大而增大 y 随 x 的增大而减小 说明：（1）与坐标轴交点（0，b）和（- k b ，0）, b 的几何意义：_____________________ （2）增减性： k>0，y 随 x 的增大而增大；k0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位可得 y=kx+b 的 图像； 当 b<0 时，将直线 y=kx 的图象向下平移 b 个单位可得 y=kx+b 的 图像. 4.直线 b1=k1x+b1 与直线 y2=k2x+b2（k1≠0 ，k2≠0）的位置关系． ①k1≠k2 y1 与 y2 相交； ② = 1 2 1 2 b b k k y1 与 y2 相交于 y 轴上同一点（0，b1）或（0，b2）；
∫k=k2 与y2平行 b≠b2 ④ b=b.y与y重合 5.一次函数解析式的确定,主要有三种方法 (1)由己知函数推导或推证 (2)由实际问题列出二元方程,再转化为函数解析式。 3)用待定系数法求函数解析式。 二、典例糟析 题型一:一次函数的概念 例1.已知函数y=(m2)xm2-3+3,当m为何值时,y是x的一次函数? 解析:根据一次函数的定义,x的次数必须为1,系数不为0,即可求出m的值。 练习:1.已知函数y=(m-1)x+m是一次函数,求m的范围。 2已知函数y=(k-1)x+k2-1,当k_ 时,它是一次函数,当k 时,它是正比例函数。 答案:1.m≠1 题型二:一次函数的图像与性质 例2.对于一次函数y=-2x+4,下列结论错误的是() A.函数值随自变量的增大而减小 B.函数的图象不经过第三象限 C.函数的图象向下平移4个单位长度得y=-2x的图象 D.函数的图象与x轴的交点坐标是(0,4) 解析:这是探究型题目,考查一次函数的性质:一次函数图象与几何变换。 分别根据一次函数的性质及函数图象平移的法则进行解答即可 答:选D
③ = 1 2 1 2 , b b k k y1 与 y2 平行； ④ = = 1 2 1 2 , b b k k y1 与 y2 重合. 5.一次函数解析式的确定，主要有三种方法： (1)由已知函数推导或推证 (2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式。 (3)用待定系数法求函数解析式。 二、典例精析 题型一：一次函数的概念 例 1.已知函数 y=(m-2) 3 2 m − x +3,当 m 为何值时，y 是 x 的一次函数？ 解析：根据一次函数的定义，x 的次数必须为 1，系数不为 0，即可求出 m 的值。 练习：1.已知函数 y=(m-1)x+m 是一次函数，求 m 的范围。 2.已知函数 y=(k-1)x+k 2 -1,当 k____________时，它是一次函数，当 k__________ 时，它是正比例函数。 答案：1.m≠1 2. ≠1, -1 题型二：一次函数的图像与性质 例 2.对于一次函数 y=﹣2x+4，下列结论错误的是（ ） A． 函数值随自变量的增大而减小 B． 函数的图象不经过第三象限 C． 函数的图象向下平移 4 个单位长度得 y=﹣2x 的图象 D． 函数的图象与 x 轴的交点坐标是（0，4） 解析：这是探究型题目，考查一次函数的性质；一次函数图象与几何变换。 分别根据一次函数的性质及函数图象平移的法则进行解答即可． 答：选 D
A.∵一次函数y=-2x+4中k=-20,∴此函数的图象经过 四象限, 不经过第三象限,故本选项正确 C.由“上加下减”的原则可知,函数的图象向下平移4个单位长度得y=-2x的图象, 故本选项正确: D.∵令y=0,则x=2,∴函数的图象与ⅹ轴的交点坐标是(2,0),故本选项错误 练习:1如图,两直线1=kx+b和y2=bx+k在同一坐标系内图象的位置可能是() 2.一次函数y=kx+2经过点(1,1),那么这个一次函数()B (A)y随ⅹ的增大而增大(B)y随x的增大而减小 (C)图像经过原点 (D)图像不经过第二象限 3.如果ab>0,一<0,则直线 x+-不通过() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 题型三:一次函数解析式和图象的确定 例3.直线与x轴交于点A(-4,0),与y轴交于点B,若点B到x轴的距离为2,求直线的 解析式。 分析:确定一次函数解析式问题,用待定系数法,同时要寻求隐含条件,从而确定k 和b的值 解∵点B到x轴的距离为2, ∴点B的坐标为(0,±2) 设直线的解析式为y=kx±2, ∵直线过点A(-4,0) ∴0=-4k±2, 解得:k=士一, 直线AB的解析式为y=x+2或y1
A．∵一次函数 y=﹣2x+4 中 k=﹣2＜0，∴函数值随 x 的增大而减小，故本选项正确； B．∵一次函数 y=﹣2x+4 中 k=﹣2＜0，b=4＞0，∴此函数的图象经过一．二．四象限， 不经过第三象限，故本选项正确； C．由“上加下减”的原则可知，函数的图象向下平移 4 个单位长度得 y=﹣2x 的图象， 故本选项正确； D．∵令 y=0，则 x=2，∴函数的图象与 x 轴的交点坐标是（2，0），故本选项错误． 练习：1.如图，两直线 1 y kx b = + 和 2 y bx k = + 在同一坐标系内图象的位置可能是（ ） 2.一次函数 y=kx+2 经过点（1，1），那么这个一次函数（ ）B （A）y 随 x 的增大而增大 （B）y 随 x 的增大而减小 （C）图像经过原点 （D）图像不经过第二象限 3.如果 ab 0， 0 a c ，则直线 a c y x b b = − + 不通过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型三：一次函数解析式和图象的确定 例 3.直线与 x 轴交于点 A（-4，0），与 y 轴交于点 B，若点 B 到 x 轴的距离为 2，求直线的 解析式。 分析：确定一次函数解析式问题，用待定系数法，同时要寻求隐含条件，从而确定 k 和 b 的值。 解 ∵点 B 到 x 轴的距离为 2， ∴点 B 的坐标为（0，±2）， 设直线的解析式为 y=kx±2, ∵直线过点 A（-4，0）， ∴0=-4k±2, 解得：k=± , ∴直线 AB 的解析式为 y= x+2 或 y=- x-2
例4.小明骑自行车上学,开始以正常速度匀速行驶,但行至中途时,自行车出了故障,只 好停下来修车,车修好后,因怕耽误上课,他比修车前加快了速度继续匀速行驶,下面是行 驶路程s(m)关于时间t(min)的函数图象,那么符合小明行驶情况的大致图象是 A 答:选C 练习 1.如图,直线AB与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0, (1)求直线AB的解析式 (2)若直线AB上的点C在第一象限,且S△BC=2,求点C的坐标 分析:待定系数法求一次函数解析式。本题考査了待定系数法求函数解析式,解答此题不仅 要熟悉函数图象上点的坐标特征,还要熟悉三角形的面积公式 解答:解:(1)直线AB的解析式为y=2x-2 (2)点C的坐标是(2,2). 2.周一的升旗仪式上,同学们看到匀速上升的旗子,能反应其高度与时间关系的图象大致是 A.个h米 B.个/米 C.个米 D.∧/米
例 4.小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途时，自行车出了故障，只 好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶，下面是行 驶路程 s（m）关于时间 t（min）的函数图象，那么符合小明行驶情况的大致图象是（ ） A． B． C． D． 答：选 C． 练习： 1.如图，直线 AB 与 x 轴交于点 A（1，0），与 y 轴交于点 B（0，﹣ 2）． （1）求直线 AB 的解析式 （2）若直线 AB 上的点 C 在第一象限，且 S△BOC=2，求点 C 的坐标． 分析：待定系数法求一次函数解析式。本题考查了待定系数法求函数解析式，解答此题不仅 要熟悉函数图象上点的坐标特征，还要熟悉三角形的面积公式 解答：解：（1）直线 AB 的解析式为 y=2x﹣2． （2）点 C 的坐标是（2，2）． 2.周一的升旗仪式上，同学们看到匀速上升的旗子，能反应其高度与时间关系的图象大致是 （ D ） A． B． C． D．
分析:本题是一次函数的应用题,考查了函数图象,根据题意判断出旗子的高度与时间是 次函数关系,并且随着时间的增大高度在不断增大是解题的关键. 题型四:一次函数的实际应用 例5.随着人们生活水平的提高,轿车已进入平常百姓家,我市家庭轿车的拥有量也逐年增 加.某汽车经销商计划用不低于228万元且不高于240万元的资金订购30辆甲、乙两种新 款轿车.两种轿车的进价和售价如下表: 类别 进价(万元冶台)10.56 售价(万元冶)126 (1)请你帮助经销商算一算共有哪几种进货方案? (2)如果按表中售价全部卖出,哪种进货方案获利最多?并求出最大利润 (注:其他费用不计,利润=售价-进价) 考点:一次函数的应用:一元一次不等式组的应用 分析:(1)设购进甲款轿车ⅹ辆,则购进乙款轿车(30-x)辆,根据:用不低于228 万元且不高于240万元的资金订购30辆甲、乙两种新款轿车,列不等式组,求x的取值范 围,再求正整数ⅹ的值,确定方案 (2)根据:利润=(售价-进价)×辆数,总利润=甲轿车的利润+乙轿车的利润,列出 函数关系式,根据x的取值范围求最大利润 解:(1)设购进甲款轿车ⅹ辆,则购进乙款轿车(30-x)辆,依题意,得 228<10.5x+6(30-x)<240 解得10-≤X<13-,∴整数x=11,12,13, 有三种进货方案:购进甲款轿车11辆,购进乙款轿车19辆; 购进甲款轿车12辆,购进乙款轿车18辆: 购进甲款轿车13辆,购进乙款轿车17辆 (2)设总利润为W(万元),则W=(11.2-10.5)x+(68-6)(30-x)=-0.1x+24 0.1<0,W随ⅹ的减小而增大 ∴当ⅹ=l1时,即购进甲款轿车11辆,购进乙款轿车19辆,利润最大 最大利润为W=-0.1×11+24=29万元 点评:本题考查了一次函数的应用.关键是明确进价,售价,购进费用,销售利润之间的关 系,利用一次函数的增减性求解
分析：本题是一次函数的应用题，考查了函数图象，根据题意判断出旗子的高度与时间是一 次函数关系，并且随着时间的增大高度在不断增大是解题的关键. 题型四：一次函数的实际应用 例 5.随着人们生活水平的提高，轿车已进入平常百姓家，我市家庭轿车的拥有量也逐年增 加．某汽车经销商计划用不低于 228 万元且不高于 240 万元的资金订购 30 辆甲、乙两种新 款轿车．两种轿车的进价和售价如下表： 类别 甲 乙 进价（万元/台） 10.5 6 售价（万元/台） 11.2 6.8 （1）请你帮助经销商算一算共有哪几种进货方案？ （2）如果按表中售价全部卖出，哪种进货方案获利最多？并求出最大利润． （注：其他费用不计，利润=售价﹣进价） 考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用。 分析：（1）设购进甲款轿车 x 辆，则购进乙款轿车（30﹣x）辆，根据：用不低于 228 万元且不高于 240 万元的资金订购 30 辆甲、乙两种新款轿车，列不等式组，求 x 的取值范 围，再求正整数 x 的值，确定方案； （2）根据：利润=（售价﹣进价）×辆数，总利润=甲轿车的利润+乙轿车的利润，列出 函数关系式，根据 x 的取值范围求最大利润． 解：（1）设购进甲款轿车 x 辆，则购进乙款轿车（30﹣x）辆，依题意，得 228≤10.5x+6（30﹣x）≤240， 解得 10 2 3 ≤x≤13 1 3 ，∴整数 x=11，12，13， 有三种进货方案：购进甲款轿车 11 辆，购进乙款轿车 19 辆； 购进甲款轿车 12 辆，购进乙款轿车 18 辆； 购进甲款轿车 13 辆，购进乙款轿车 17 辆． （2）设总利润为 W（万元），则 W=（11.2﹣10.5）x+（6.8﹣6）（30﹣x）=﹣0.1x+24， ∵﹣0.1＜0，W 随 x 的减小而增大， ∴当 x=11 时，即购进甲款轿车 11 辆，购进乙款轿车 19 辆，利润最大， 最大利润为 W=﹣0.1×11+24=22.9 万元． 点评：本题考查了一次函数的应用．关键是明确进价，售价，购进费用，销售利润之间的关 系，利用一次函数的增减性求解．
三.师生小结 1.熟悉一次函数的一般形式,会判断一次函数。 2.一次函数的图像和性质是中考重点。 3.用待定系数法求一次函数的解析式的方法可归纳为:一设、二列、三解、四还原。 4.会简单的一次函数应用题:(1)建立函数数学模型的方法;(2)分段函数思想的应用
三．师生小结 1.熟悉一次函数的一般形式，会判断一次函数。 2.一次函数的图像和性质是中考重点。 3.用待定系数法求一次函数的解析式的方法可归纳为：一设、二列、三解、四还原。 4.会简单的一次函数应用题：（1）建立函数数学模型的方法;(2)分段函数思想的应用