第2课时正方形的判定 证明:∵CD平分∠ACB,DE⊥BC 教学目标 DF⊥AC,∴DE=DF,∠DFC=90°,∠DEC =90°又∵∠ACB=90°,∴四边形CEDF是 1.掌握正方形的判定条件;(重点) 矩形.∵DE=DF,∴矩形CEDF是正方形 2.能熟练运用正方形的性质和判定进 行有关的证明和计算.(难点) 方法总结:要注意判定一个四边形是正 方形,必须先证明这个四边形为矩形或菱 数学心程 形 、情境导入 【类型二】利用“有一个角是直角的 老师给学生一个任务:从一张彩色纸中菱形是正方形”证明四边形是正方形 剪出一个正方形 圆2如图,在四边形ABFC中,∠ACB 小明剪完后,这样检验它:比较了边的=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D, 长度,发现4条边是相等的,小明就判定他交AB于点E,且CF=AE 完成了这个任务.这种检验可信吗? (1)试判断四边形BECF是什么四边 小兵用另一种方法检验:量对角线,发形?并说明理由 现对角线是相等的,小兵就认为他正确地剪 (2)当∠A的大小满足什么条件时,四边 出了正方形.这种检验对吗? 形BECF是正方形?请回答并证明你的结 小英剪完后,比较了由对角线相互分成论 的4条线段,发现它们是相等的.按照小英 的意见,这说明剪出的四边形是正方形.你 的意见怎样? 你认为应该如何检验,才能又快又准确 E 呢 二、合作探究 探究点一:正方形的判定 A 【类型一】利用“一组邻边相等的矩 形是正方形”证明四边形是正方形 解析:(1)根据中垂线的性质:中垂线上 的点到线段两个端点的距离相等,有BE= EC,BF=FC.又∵CF=AE,∴可证BE=EC BF=FC根据“四边相等的四边形是菱 形”,∴四边形BECF是菱形 2)菱形对角线平分一组对角,即当 1如图,在Rt△ABC中,∠ACB=∠ABC=45°时,∠EBF=90°,有菱形为正 90°,CD为∠ACB的平分线,DE⊥BC于点方形.根据“直角三角形中两个角锐角互 E,DF⊥AC于点F求证:四边形CEDF是余”得∠A=45° 正方形 解:(1)四边形BECF是菱形.理由如下 解析:要证四边形CEDF是正方形, ∵EF垂直平分BC,∴BF=FC,BE=EC, 要先证明四边形CEDF是矩形,再证明一 ∴∠3=∠1.∵∠ACB=90°,∴∠3+∠4 邻边相等即可 90°,∠1+∠2=90°,∴∠2=∠4,∴EC=
第 2 课时 正方形的判定 1．掌握正方形的判定条件；(重点) 2．能熟练运用正方形的性质和判定进 行有关的证明和计算．(难点) 一、情境导入 老师给学生一个任务：从一张彩色纸中 剪出一个正方形． 小明剪完后，这样检验它：比较了边的 长度，发现 4 条边是相等的，小明就判定他 完成了这个任务．这种检验可信吗？ 小兵用另一种方法检验：量对角线，发 现对角线是相等的，小兵就认为他正确地剪 出了正方形．这种检验对吗？ 小英剪完后，比较了由对角线相互分成 的 4 条线段，发现它们是相等的．按照小英 的意见，这说明剪出的四边形是正方形．你 的意见怎样？ 你认为应该如何检验，才能又快又准确 呢？ 二、合作探究 探究点一：正方形的判定 【类型一】 利用“一组邻边相等的矩 形是正方形”证明四边形是正方形 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝ 90°，CD 为∠ACB 的平分线，DE⊥BC 于点 E，DF⊥AC 于点 F.求证：四边形 CEDF 是 正方形． 解析：要证四边形 CEDF 是正方形，则 要先证明四边形 CEDF 是矩形，再证明一组 邻边相等即可． 证明：∵CD 平分∠ACB，DE⊥BC， DF⊥AC，∴DE＝DF，∠DFC＝90°，∠DEC ＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴四边形 CEDF 是 矩形．∵DE＝DF，∴矩形 CEDF 是正方形． 方法总结：要注意判定一个四边形是正 方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱 形． 【类型二】 利用“有一个角是直角的 菱形是正方形”证明四边形是正方形 如图，在四边形 ABFC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D， 交 AB 于点 E，且 CF＝AE. (1)试判断四边形 BECF 是什么四边 形？并说明理由； (2)当∠A 的大小满足什么条件时，四边 形 BECF 是正方形？请回答并证明你的结 论． 解析：(1)根据中垂线的性质：中垂线上 的点到线段两个端点的距离相等，有 BE＝ EC，BF＝FC.又∵CF＝AE，∴可证 BE＝EC ＝BF＝FC.根据“四边相等的四边形是菱 形”，∴四边形 BECF 是菱形； (2) 菱形对角线平分一组对角，即当 ∠ABC＝45°时，∠EBF＝90°，有菱形为正 方形．根据“直角三角形中两个角锐角互 余”得∠A＝45°. 解：(1)四边形 BECF 是菱形．理由如下： ∵EF 垂直平分 BC，∴BF＝FC，BE＝EC， ∴∠3＝∠1.∵∠ACB＝90°，∴∠3＋∠4＝ 90°，∠1＋∠2＝90°，∴∠2＝∠4，∴EC＝
AE,∴BE=AE.∵CF=AE,∴BE=EC=CF AF=DE=CO=BP 四边形BECF是菱形 2)当∠A=45°时,菱形BECF是正方 △BQP中,{∠A=∠D=∠C=∠B, 形.证明如下:∵∠A=45°,∠ACB=90 AP=DF=CE=BO, 3=45°,∴∠EBF=2∠3=90°,∴菱形 ∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP(S BECF是正方形 AS),∴EF=FP=PQ=QE; 方法总结:正方形的判定方法:①先判 (2)∵EF=PP=PQ 四边形 EFPQ是菱形.∵△APF≌△BQP,∴∠AFP ∠BPO.∵∠AFP+∠APF=90°,∴∠APF 定四边形是矩形,再判定这个矩形有一组邻十∠BPQ=90°,∵∠FP=90°,∴四边形 边相等;②先判定四边形是菱形,再判定这 EFPQ是正方形 方法总结:此题考查了正方形的判定与 个菱形有一个角为直角;③还可以先判定四 性质以及全等三角形的判定与性质注意解 边形是平行四边形,再用判定定理1或判定 题的关键是证得 定理2进行判定 △APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP 探究点二:正方形的判定的应用 【类型二】与正方形的判定有关的综 【类型一】正方形的性质和判定的综合应用题 合应用 例4如图,△ABC中,点O是AC上 的一动点,过点O作直线MN∥BC,设MN 交∠BCA的平 N 3如图,点E,F,P,Q分别是正 分线于点E,交∠BCA的外角∠ACG的 方形ABCD的四条边上的点,并且AF=BP平分线于点F,连接AE、AF CQ=DE求证: (1)求证:∠ECF=90°; (DEF=FP=PO=0E (2)当点O运动到何处时,四边形AECF (2)四边形EFPQ是正方形 是矩形?请说明理由 (3)在(2)的条件下,要使四边形AECF △APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP,即可证为正方形,△ABC应该满足条件 得EF=FP=PQ=QE;(2)由EF=FP=PQ (直接添加条件, QE,可判定四边形EFPQ是菱形,又由无需证明) △APF≌△BQP,易得∠FPQ=90°,即可证 解析:(1)由CE、CF分别平分∠BCO 得四边形EFPQ是正方形 和∠GCO,可推出∠BCE=∠OCE,∠GCF 证明:(1)∵四边形ABCD是正方形, =∠OCF,则∠ECF=1×1809=9°;(2)由 ∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC= CD=AD.∵AF=BP=CQ=DE,∴DF=CEMN∥BC,可得∠BCE=∠OEC,∠GCF =BQ=AP在△APF和△DFE和△CEQ和∠OFC,可推出∠OEC=∠OCE,∠OFC= ∠OCF,得出EO=CO=FO,点O运动到 AC的中点时,则EO=CO=FO=AO,这时
AE，∴BE＝AE.∵CF＝AE，∴BE＝EC＝CF ＝BF，∴四边形 BECF 是菱形； (2)当∠A＝45°时，菱形 BECF 是正方 形．证明如下：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°， ∴∠3＝45°，∴∠EBF＝2∠3＝90°，∴菱形 BECF 是正方形． 方法总结：正方形的判定方法：①先判 定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻 边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这 个菱形有一个角为直角；③还可以先判定四 边形是平行四边形，再用判定定理 1 或判定 定理 2 进行判定． 探究点二：正方形的判定的应用 【类型一】 正方形的性质和判定的综 合应用 如图，点 E，F，P，Q 分别是正 方形 ABCD 的四条边上的点，并且 AF＝BP ＝CQ＝DE.求证： (1)EF＝FP＝PQ＝QE； (2)四边形 EFPQ 是正方形． 解析： (1) 证 明 △APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP，即可证 得 EF＝FP＝PQ＝QE；(2)由 EF＝FP＝PQ ＝QE，可判定四边形 EFPQ 是菱形，又由 △APF≌△BQP，易得∠FPQ＝90°，即可证 得四边形 EFPQ 是正方形． 证明：(1)∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝ CD＝AD.∵AF＝BP＝CQ＝DE，∴DF＝CE ＝BQ＝AP.在△APF 和△DFE 和△CEQ 和 △BQP 中， AF＝DE＝CQ＝BP， ∠A＝∠D＝∠C＝∠B， AP＝DF＝CE＝BQ， ∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP(S AS)，∴EF＝FP＝PQ＝QE； (2)∵EF ＝FP ＝PQ＝QE ，∴四边形 EFPQ 是菱形．∵△APF≌△BQP，∴∠AFP ＝∠BPQ.∵∠AFP＋∠APF＝90°，∴∠APF ＋∠BPQ＝90°，∴∠FPQ＝90°，∴四边形 EFPQ 是正方形． 方法总结：此题考查了正方形的判定与 性质以及全等三角形的判定与性质．注意解 题 的 关 键 是 证 得 △APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP. 【类型二】 与正方形的判定有关的综 合应用题 如图，△ABC 中，点 O 是 AC 上 的一动点，过点 O 作直线 MN∥BC，设 MN 交∠BCA 的平 分线于点 E，交∠BCA 的外角∠ACG 的 平分线于点 F，连接 AE、AF. (1)求证：∠ECF＝90°； (2)当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？请说明理由； (3)在(2)的条件下，要使四边形 AECF 为正方形， △ABC 应该满足条件： ______________________(直接添加条件， 无需证明)． 解析：(1)由 CE、CF 分别平分∠BCO 和∠GCO，可推出∠BCE＝∠OCE，∠GCF ＝∠OCF，则∠ECF＝ 1 2 ×180°＝90°；(2)由 MN∥BC，可得∠BCE＝∠OEC，∠GCF＝ ∠OFC，可推出∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝ ∠OCF，得出 EO＝CO＝FO，点 O 运动到 AC 的中点时，则 EO＝CO＝FO＝AO，这时
四边形AECF是矩形;(3)由已知和(2)得到 的结论,点O运动到AC的中点时,且△ABC 满足∠ACB为直角时,则推出四边形AECF 是矩形且对角线垂直,因而四边形AECF是 正方形 (1)证明:∵CE平分∠BCO,CF平分 ∠GCO,∴∠OCE=∠BCE,∠OCF ∠GCF,∴∠ECF=×180°=90° (2)解:当点O运动到AC的中点时,四 边形AECF是矩形.理由如下:∵MN∥BC ∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠GCF.又 ∴∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠GCF, ∴∠OCE=∠OEC,∠OCF=∠OFC,∴EO CO,FO=CO,∴OE=OF又∵当点O运 动到AC的中点时,AO=CO,∴四边形 AECF是平行四边形.∵∠ECF=90°,∴四 边形AECF是矩形 (3)∠ACB=90° 方法总结:在解决正方形的判定问题 时,可从与其判定有关的其他知识点入手 例如等腰三角形,平行线和角平分线.从中 发现与正方形有关联的条件求解 板书设计 1.正方形的判定方法 一组邻边相等的矩形是正方形 有一个角是直角的菱形是正方形 2.正方形性质和判定的应用 教学反思 本节课采用探究式教学,让学生产生学 习兴趣,通过实践活动调动学生的积极性, 给学生动手操作的机会,变被动为主动学 习,引导通过感官的思维去观察、探究、分 析知识形成的过程,以此深化知识、更深刻 理解知识、主动获取知识,养成良好的学习 习惯
四边形 AECF 是矩形；(3)由已知和(2)得到 的结论，点 O 运动到 AC 的中点时，且△ABC 满足∠ACB 为直角时，则推出四边形 AECF 是矩形且对角线垂直，因而四边形 AECF 是 正方形． (1)证明：∵CE 平分∠BCO，CF 平分 ∠GCO ， ∴∠OCE ＝ ∠BCE ， ∠OCF ＝ ∠GCF，∴∠ECF＝ 1 2 ×180°＝90°； (2)解：当点 O 运动到 AC 的中点时，四 边形 AECF 是矩形．理由如下：∵MN∥BC， ∴∠OEC ＝ ∠BCE ， ∠OFC ＝ ∠GCF. 又 ∵∠OCE ＝ ∠BCE ， ∠OCF ＝ ∠GCF ， ∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，∴EO ＝CO，FO＝CO，∴OE＝OF.又∵当点 O 运 动到 AC 的中点时，AO＝CO，∴四边形 AECF 是平行四边形．∵∠ECF＝90°，∴四 边形 AECF 是矩形． (3)∠ACB＝90°. 方法总结：在解决正方形的判定问题 时，可从与其判定有关的其他知识点入手， 例如等腰三角形，平行线和角平分线．从中 发现与正方形有关联的条件求解． 三、板书设计 1．正方形的判定方法 一组邻边相等的矩形是正方形； 有一个角是直角的菱形是正方形． 2．正方形性质和判定的应用 本节课采用探究式教学，让学生产生学 习兴趣，通过实践活动调动学生的积极性， 给学生动手操作的机会，变被动为主动学 习，引导通过感官的思维去观察、探究、分 析知识形成的过程，以此深化知识、更深刻 理解知识、主动获取知识，养成良好的学习 习惯．