第2课时菱形的判定 教学目标一 方法总结:菱形必须满足两个条件:一 1.掌握菱形的判定方法:(重点) 2.探究菱形的判定条件并合理利用它是平行四边形;二是一组邻边相等 进行论证和计算.(难点) 【类型二】利用“对角线互相垂直的 平行四边形是菱形”判定四边形是菱形 一、情境导入 我们已经知道,有一组邻边相等的平行 2如图,AE∥BF,AC平分∠BAD, 四边形是菱形.这是菱形的定义,我们可以且交BF于点C,BD平分∠ABC,且交AE 根据定义来判定一个四边形是菱形.除此之于点D,连接CD求证: 外,还能找到其他的判定方法吗? (1)AC⊥BD 菱形是一个中心对称图形,也是一个轴 (2)四边形ABCD是菱形 对称图形,具有如下的性质: 解析:(1)证得△BAC是等腰三角形后 1.两条对角线互相垂直平分; 利用“三线合一”的性质得到AC⊥BD即 2.四条边都相等 可;(2)首先证得四边形ABCD是平行四边 3.每条对角线平分一组对角 形,然后根据“对角线互相垂直”得到平行 这些性质,对我们寻找判定菱形的方法四边形是菱形 有什么启示呢? 证明:(1)∵AE∥BF,∴∠BCA 合作探究 ∠CAD∴AC平分∠BAD,∴∠BAC= 探究点一:菱形的判定 ∠CAD,∴∠BCA=∠BAC,∴△BAC是等 【类型一】利用“有一组邻边相等的腰三角形.∵BD平分∠ABC,∴AC⊥BD; 行四边形是萎形”判定四边形是菱形 (2)∵△BAC是等腰三角形,∴AB= CB.∵BD平分∠ABC ∴∠CBD ∠ABD.∵AE∥BF,∴∠CBD=∠BDA, ∠ABD=∠BDA,∴AB=AD,∴DA= CB.∵BC∥DA,∴四边形ABCD是平行四边 团例卫如图,在△ABC中,D、E分别是形.∵AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形. AB、AC的中点,BE=2DE,延长DE到点 F,使得EF=BE,连接CF 方法总结:用判定方法“对角线互相垂 求证:四边形BCFE是菱形 解析:由题意易得,EF与BC平行且相直的平行四边形是菱形”证明四边形是菱形 等,∴四边形BCFE是平行四边形.又∵EF =BE,∴四边形BCFE是菱形 的前提条件是该四边形是平行四边形;对角 证明:∵BE=2DE,EF=BE,∴EF 2DE.∵D、E分别是AB、AC的中点,∴BC 线互相垂直的四边形不一定是菱形 2DE且DE∥BC EF=BC.又 【类型三】利用“四条边相等的四边 ∵EF∥BC,∴四边形BCFE是平行四边形是菱形”判定四边形是菱形 形.又∵EF=BE,∴四边形BCFE是菱形
第 2 课时 菱形的判定 1．掌握菱形的判定方法；(重点) 2．探究菱形的判定条件并合理利用它 进行论证和计算．(难点) 一、情境导入 我们已经知道，有一组邻边相等的平行 四边形是菱形．这是菱形的定义，我们可以 根据定义来判定一个四边形是菱形．除此之 外，还能找到其他的判定方法吗？ 菱形是一个中心对称图形，也是一个轴 对称图形，具有如下的性质： 1．两条对角线互相垂直平分； 2．四条边都相等； 3．每条对角线平分一组对角． 这些性质，对我们寻找判定菱形的方法 有什么启示呢？ 二、合作探究 探究点一：菱形的判定 【类型一】 利用“有一组邻边相等的 平行四边形是菱形”判定四边形是菱形 如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BE＝2DE，延长 DE 到点 F，使得 EF＝BE，连接 CF. 求证：四边形 BCFE 是菱形． 解析：由题意易得，EF 与 BC 平行且相 等，∴四边形 BCFE 是平行四边形．又∵EF ＝BE，∴四边形 BCFE 是菱形． 证明：∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝ 2DE.∵D、E 分别是 AB、AC 的中点，∴BC ＝ 2DE 且 DE∥BC ， ∴EF ＝ BC. 又 ∵EF∥BC，∴四边形 BCFE 是平行四边 形．又∵EF＝BE，∴四边形 BCFE 是菱形． 方法总结：菱形必须满足两个条件：一 是平行四边形；二是一组邻边相等． 【类型二】 利用“对角线互相垂直的 平行四边形是菱形”判定四边形是菱形 如图，AE∥BF，AC 平分∠BAD， 且交 BF 于点 C，BD 平分∠ABC，且交 AE 于点 D，连接 CD.求证： (1)AC⊥BD； (2)四边形 ABCD 是菱形． 解析：(1)证得△BAC 是等腰三角形后 利用“三线合一”的性质得到 AC⊥BD 即 可；(2)首先证得四边形 ABCD 是平行四边 形，然后根据“对角线互相垂直”得到平行 四边形是菱形． 证明： (1)∵AE∥BF ， ∴∠BCA ＝ ∠CAD.∵AC 平 分 ∠BAD ， ∴∠BAC ＝ ∠CAD，∴∠BCA＝∠BAC，∴△BAC 是等 腰三角形．∵BD 平分∠ABC，∴AC⊥BD； (2)∵△BAC 是等腰三角形，∴AB ＝ CB.∵BD 平 分 ∠ABC ， ∴∠CBD ＝ ∠ABD.∵AE∥BF ， ∴∠CBD ＝ ∠BDA ， ∴∠ABD＝∠BDA ，∴AB ＝AD，∴DA ＝ CB.∵BC∥DA，∴四边形 ABCD 是平行四边 形．∵AC⊥BD，∴四边形 ABCD 是菱形． 方法总结：用判定方法“对角线互相垂 直的平行四边形是菱形”证明四边形是菱形 的前提条件是该四边形是平行四边形；对角 线互相垂直的四边形不一定是菱形． 【类型三】 利用“四条边相等的四边 形是菱形”判定四边形是菱形
(2)以平行四边形为起点进行判定 探究点二:菱形的判定的应用 【类型一】菱形判定中的开放性问题 例3如图,已知△ABC,按如下步骤 团4如图,平行四边形ABCD中,AF 作图: CE分别是∠BAD和∠BCD的平分线,根据 ①分别以A,C为圆心,大于C的长现有的图形,请添加一个条件,使四边形 AECF为菱形,则添加的一个条件可以是 为半径画弧,两弧交于P,Q两点 (只需写出一个即可,图中不能 ②作直线PQ,分别交AB,AC于点E,再添加别的“点”和“线”) 连接CE 解析:∵AD∥BC,∴∠FAD= ③过C作CF∥AB交PQ于点F,连接∠AFB∴4F是∠BAD的平分线,∴∠BAF AF ∠FAD,∴∠BAF=∠AFB,∴AB=BF (1)求证:△AED≌△CFD 同理ED=CD∵AD=BC,AB=CD,∴AE (2)求证:四边形AECF是菱形 CF.又∵AE∥CF,∴四边形AECF是平行 解析:(1)由作图知PQ为线段AC的垂四边形.∵对角线互相垂直的平行四边形是 直平分线,从而得到AE=CE,AD=CD然菱形,则添加的一个条件可以是AC⊥EF. 后根据CF∥AB得到∠EAC=∠FCA ∠CFD=∠AED,利用“AAS”证得两三角形 方法总结:菱形的判定方法常用的是三 全等即可;(2)根据(1)中全等得到AE=CF. 然后根据EF为线段AC的垂直平分线,得种:(定义;2四边相等的四边形是菱形 到EC=EA,FC=FA从而得到EC=EA=FC FA,利用“四边相等的四边形是菱形”判 (3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形 定四边形AECF为菱形 【类型二】菱形的性质和判定的综合 证明:(1)由作图知PQ为线段AC的垂应用 直平分线,∴AE=CE,AD=CD∵CF∥AB, ∠EAC=∠FCA,∠CFD=∠AED在 ∠EAC=∠FCA △AED与△CFD中,1∠AED=∠CFD, AD=CD 5如图,在四边形ABCD中,AB △AED≌△CFD(AAS) AD,CB=CD,E是CD上一点,BE交AC (2)∵△AED≌△CFD,∴AE=CF.∴EF于F,连接DF 为线段AC的垂直平分线,∴EC=EA,FC (1)求证:∠BAC=∠DAC,∠AFD =FA,∴EC=EA=FC=FA,∴四边形AECF∠CFE 为菱形 (2)若AB∥CD,试证明四边形ABCD是 菱形 方法总结:判定一个四边形是菱形把握 (3)在(2)的条件下,试确定E点的位置 使得∠EFD=∠BCD,并说明理由 以下两起点:(1)以四边形为起点进行判定 解析:(1)首先利用“SSS”证明
如图，已知△ABC，按如下步骤 作图： ①分别以 A，C 为圆心，大于1 2 AC 的长 为半径画弧，两弧交于 P，Q 两点； ②作直线 PQ，分别交 AB，AC 于点 E， D，连接 CE； ③过 C 作 CF∥AB 交 PQ 于点 F，连接 AF. (1)求证：△AED≌△CFD； (2)求证：四边形 AECF 是菱形． 解析：(1)由作图知 PQ 为线段 AC 的垂 直平分线，从而得到 AE＝CE，AD＝CD.然 后根据 CF∥AB 得到∠EAC＝∠FCA ， ∠CFD＝∠AED，利用“AAS”证得两三角形 全等即可；(2)根据(1)中全等得到 AE＝CF. 然后根据 EF 为线段 AC 的垂直平分线，得 到 EC＝EA，FC＝FA.从而得到 EC＝EA＝FC ＝FA，利用“四边相等的四边形是菱形”判 定四边形 AECF 为菱形． 证明：(1)由作图知 PQ 为线段 AC 的垂 直平分线，∴AE＝CE，AD＝CD.∵CF∥AB， ∴∠EAC ＝ ∠FCA ， ∠CFD ＝ ∠AED. 在 △AED 与△CFD 中， ∠EAC＝∠FCA， ∠AED＝∠CFD， AD＝CD， ∴△AED≌△CFD(AAS)； (2)∵△AED≌△CFD，∴AE＝CF.∵EF 为线段 AC 的垂直平分线，∴EC＝EA，FC ＝FA，∴EC＝EA＝FC＝FA，∴四边形 AECF 为菱形． 方法总结：判定一个四边形是菱形把握 以下两起点：(1)以四边形为起点进行判定； (2)以平行四边形为起点进行判定． 探究点二：菱形的判定的应用 【类型一】 菱形判定中的开放性问题 如图，平行四边形 ABCD 中，AF、 CE 分别是∠BAD 和∠BCD 的平分线，根据 现有的图形，请添加一个条件，使四边形 AECF 为菱形，则添加的一个条件可以是 __________(只需写出一个即可，图中不能 再添加别的“点”和“线”)． 解析： ∵AD∥BC ， ∴∠FAD ＝ ∠AFB.∵AF 是∠BAD 的平分线，∴∠BAF ＝∠FAD，∴∠BAF＝∠AFB，∴AB＝BF. 同理 ED＝CD.∵AD＝BC，AB＝CD，∴AE ＝CF.又∵AE∥CF，∴四边形 AECF 是平行 四边形．∵对角线互相垂直的平行四边形是 菱形，则添加的一个条件可以是 AC⊥EF. 方法总结：菱形的判定方法常用的是三 种：(1)定义；(2)四边相等的四边形是菱形； (3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 【类型二】 菱形的性质和判定的综合 应用 如图，在四边形 ABCD 中，AB＝ AD，CB＝CD，E 是 CD 上一点，BE 交 AC 于 F，连接 DF. (1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝ ∠CFE； (2)若 AB∥CD，试证明四边形 ABCD 是 菱形； (3)在(2)的条件下，试确定 E 点的位置， 使得∠EFD＝∠BCD，并说明理由． 解析： (1) 首 先 利 用 “SSS” 证 明
△ABC≌△ADC,可得∠BAC=∠DAC再证 明△ABF≌△ADF,可得∠AFD=∠AFB 等三角形的判定是结合全等三角形的性质 进而得到∠AFD=∠CFE;(2)首先证明证明线股和角相等的重要工具 ∠CAD=∠ACD,再根据“等角对等边” 可得AD=CD再由条件AB=AD,CB=CD 三、板书设计 可得AB=CB=CD=AD,可得四边形ABCD 菱形的判定 是菱形;(3)首先证明△BCF≌△DCF,可得 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∠CBF=∠CDF,再根据BE⊥CD可得 对角线互相垂直的平行四边形是菱形; ∠BEC=∠DEF=90°,进而得到∠EFD= 四条边相等的四边形是菱形 ∠BCD 2.菱形的性质和判定的综合运用 (1)证明:在△ABC和△ADC中, 教学反思 AB=AD, BC=DC 在运用判定时,要遵循先易后难的原 则,让学生先会运用判定解决简单的证明 AC=AC, 题,再由浅入深,学会灵活运用.通过做不 △ABC≌△ 1DC(SSS),∴∠BAC 同形式的练习题,让学生能准确掌握菱形的 ∠DAC.在△ABF和△ADF中 判定并会灵活运用 AB=AD ∠BAF=∠DAF, ∴△ABF≌△ADF(SAS) ∠AFD ∠AFB.∴∠AFB=∠CFE,∴∠AFD ∠CFE; (2)证明:∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD 又∵∠BAC=∠DAC,∴∠CAD=∠ACD ∴AD=CD.AB=AD,CB=CD,∴AB CB=CD=AD,∴四边形ABCD是菱形 (3)解:当EB⊥CD于E时,∠EFD= ∠BCD理由如下:∵四边形ABCD为菱形, ∴BC=CD,∠BCF=∠DCF在△BCF和 BC=CD △DCF中,{∠BCF=∠DCF C=CF, △BCF≌△DCF(SAS) CBF ∠CDF.∵BE⊥CD,∴∠BEC=∠DEF 90°,则∠BCD+∠CBF=∠EFD+∠CDF 0°,∴∠EFD=∠BCD. 方法总结:此题主要考查了全等三角形 的判定与性质,以及菱形的判定与性质,全
△ABC≌△ADC，可得∠BAC＝∠DAC.再证 明△ABF≌△ADF，可得∠AFD＝∠AFB， 进而得到∠AFD＝∠CFE ；(2) 首先证明 ∠CAD＝∠ACD，再根据“等角对等边”， 可得 AD＝CD.再由条件 AB＝AD，CB＝CD， 可得 AB＝CB＝CD＝AD，可得四边形 ABCD 是菱形；(3)首先证明△BCF≌△DCF，可得 ∠CBF ＝∠CDF ，再根据 BE⊥CD 可得 ∠BEC＝∠DEF＝90°，进而得到∠EFD＝ ∠BCD. (1) 证明 ： 在 △ABC 和 △ADC 中 ， AB＝AD， BC＝DC， AC＝AC， ∴△ABC≌△ADC(SSS) ， ∴∠BAC ＝ ∠DAC. 在 △ABF 和 △ADF 中 ， AB＝AD， ∠BAF＝∠DAF， AF＝AF， ∴△ABF≌△ADF(SAS) ， ∴∠AFD ＝ ∠AFB.∵∠AFB ＝ ∠CFE ， ∴∠AFD ＝ ∠CFE； (2)证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD. 又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠CAD＝∠ACD， ∴AD＝CD.∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝ CB＝CD＝AD，∴四边形 ABCD 是菱形； (3)解：当 EB⊥CD 于 E 时，∠EFD＝ ∠BCD.理由如下：∵四边形 ABCD 为菱形， ∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF.在△BCF 和 △DCF 中， BC＝CD， ∠BCF＝∠DCF， CF＝CF， ∴△BCF≌△DCF(SAS) ，∴∠CBF ＝ ∠CDF.∵BE⊥CD ， ∴∠BEC ＝ ∠DEF ＝ 90°，则∠BCD＋∠CBF＝∠EFD＋∠CDF ＝90°，∴∠EFD＝∠BCD. 方法总结：此题主要考查了全等三角形 的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全 等三角形的判定是结合全等三角形的性质 证明线段和角相等的重要工具． 三、板书设计 1．菱形的判定 有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 四条边相等的四边形是菱形． 2．菱形的性质和判定的综合运用 在运用判定时，要遵循先易后难的原 则，让学生先会运用判定解决简单的证明 题，再由浅入深，学会灵活运用．通过做不 同形式的练习题，让学生能准确掌握菱形的 判定并会灵活运用．