第2课时二次根式的除法 教学目标一 1.掌握二次根式的除法法则和商的算 术平方根的性质,会运用其进行相关运算 (重点) 2.能综合运用已学性质进行二次根式 方法总结:利用二次根式的除法法则进 的化简与运算.(难点 行计算时,可以用“除以一个不为零的数等 于乘这个数的倒数”进行约分化简 数学心程 【类型二】二次根式的乘除混合运算 情境导入 2计算: 计算下列各题,观察有什么规律? (1)945÷3 √ 16 解析:先把系数进行乘除运算,再根据 √9二次根式的乘除法则运算 解:(1)原式=9×××45× 合作探究 探究点一:二次根式的除法 (2)原式=a2b^ab 【类型一】二次根式的除法运算 例1计算 方法总结:二次根式乘除混合运算的方 法与整式乘除混合运算的方法相同,在运算 19 5+-5 时要注意运算符号和运算顺序,若被开方数 解析:本题主要运用二次根式的除法法 则来进行计算,若被开方数是分数,则被开 是带分数,要先将其化为假分数 方数相除时,可先用除以一个数等于乘这个 探究点二:商的算术平方根的性质 数的倒数的方法进行计算,再进行约分. 【类型一】利用商的算术平方根的性 解:(n0=070=2 质确定字母的取值范围 19 圆3 则a的取值 (2) 范围是( A.a<2B.a≤2 C.0≤a<2D.a≥0 x2、厘
第 2 课时 二次根式的除法 1．掌握二次根式的除法法则和商的算 术平方根的性质，会运用其进行相关运算； (重点) 2．能综合运用已学性质进行二次根式 的化简与运算．(难点) 一、情境导入 计算下列各题，观察有什么规律？ (1) 36 49 ＝________； 36 49＝________． (2) 9 16 ＝________； 9 16＝________． 36 49 ________ 36 49 ； 9 16 ________ 9 16. 二、合作探究 探究点一：二次根式的除法 【类型一】 二次根式的除法运算 计算： (1) 0.76 0.19 ；(2)－ 1 2 3 ÷ 5 54； (3) 6a 2b 2ab ；(4) 5÷ －5 1 4 5 . 解析：本题主要运用二次根式的除法法 则来进行计算，若被开方数是分数，则被开 方数相除时，可先用除以一个数等于乘这个 数的倒数的方法进行计算，再进行约分． 解：(1) 0.76 0.19 ＝ 0.76 0.19＝ 4＝2； (2) － 1 2 3 ÷ 5 54 ＝－ 1 2 3 ÷ 5 54＝－ 5 3 × 54 5 ＝－ 18＝－3 2； (3) 6a 2b 2ab ＝ 6a 2b 2ab ＝ 3a； (4) 5÷ －5 1 4 5 ＝－ 5÷5 9 5 ＝－ 5× 1 5 × 5 9 ＝－ 1 5 × 5 3 ＝－ 1 3 . 方法总结：利用二次根式的除法法则进 行计算时，可以用“除以一个不为零的数等 于乘这个数的倒数”进行约分化简． 【类型二】 二次根式的乘除混合运算 计算： (1)9 45÷3 2 1 2 × 3 2 2 2 3 ； (2)a 2· ab·b b a ÷ 9b 2 a . 解析：先把系数进行乘除运算，再根据 二次根式的乘除法则运算． 解：(1)原式＝9× 1 3 × 3 2 × 45× 2 5 × 8 3 ＝ 18 3； (2)原式＝a 2·b· ab· b a · a 9b 2＝ a 2b 3 a. 方法总结：二次根式乘除混合运算的方 法与整式乘除混合运算的方法相同，在运算 时要注意运算符号和运算顺序，若被开方数 是带分数，要先将其化为假分数． 探究点二：商的算术平方根的性质 【类型一】 利用商的算术平方根的性 质确定字母的取值范围 若 a 2－a ＝ a 2－a ，则 a 的取值 范围是( ) A．a＜2 B．a≤2 C．0≤a＜2 D．a≥0
数不含能开得尽方的因数或因式,因此它是 解析:根据题意得 解得0≤a最简二次根式; 0,b≥0),必须主意被开 s,被开方数中含有 分母,因此它不是最简二次根式 方数是非负数且分母不等于零这一条件 方法总结:解决此题的关键是掌握最简 【类型二】利用商的算术平方根的性 次根式的定义,最简二次根式必须满足两 质化简二次根式 4化简 个条件 (2V4ba>0,b>0 c>0) (1)被开方数不含分母 解析:运用商的算术平方根的性质,用 分子的算术平方根除以分母的算术平方根 (2)被开方数不含能开得尽方的因数或 解:( 因式 23 探究点四:二次根式除法的综合运用 例6座钟的摆针摆动一个来回所需的 方法总结:被开方数中的带分数要化为 时间称为一个周期,其周期计算公式为T= 2r2,其中表示周期(单位:秒),1表示 假分数,被开方数中的分母要化去,即被开摆长(单位:米),8=98米/秒2,假若一台 方数不含分母,从而化为最简二次根式 座钟摆长为0.5米,它每摆动一个来回发出 一次滴答声,那么在1分钟内,该座钟大约 探究点三:最简二次根式 发出了多少次滴答声(π≈3.14)? 例5在下列各式中,哪些是最简二次 解析:由给出的公式代入数据计算即 根式?哪些不是?并说明理由 可.要先求出这个钟摆的周期,然后利用时 间除周期得到次数 (2)\;(3)x;(4)V.; T142 ≈42(次),∴在1分钟内,该座钟大约发出 解析:根据满足最简二次根式的两个条了42次滴答声 件判断即可 解:(1)45=3√5,被开方数含有开得 方法总结:解决本题的关键是正确运用 尽方的因数,因此不是最简二次根式 公式.用二次根式的除法进行运算,解这类 (22-￥9,被开方数中含有分母, 因此它不是最简二次根式 问题时要注意代入数据的单位是否统一 三、板书设计 (3),被开方数不含分母,且被开方 1.二次根式的除法运算
解析：根据题意得 a≥0， 2－a＞0， 解得 0≤a ＜2.故选 C. 方法总结：运用商的算术平方根的性 质： b a ＝ b a (a＞0，b≥0)，必须注意被开 方数是非负数且分母不等于零这一条件． 【类型二】 利用商的算术平方根的性 质化简二次根式 化简： (1) 1 7 9 ； (2) 3c 3 4a 4b 2 (a＞0，b＞0， c＞0)． 解析：运用商的算术平方根的性质，用 分子的算术平方根除以分母的算术平方根． 解：(1) 1 7 9 ＝ 16 9 ＝ 16 9 ＝ 4 3 ； (2) 3c 3 4a 4b 2＝ 3c 3 4a 4b 2 ＝ c 2a 2b 3c. 方法总结：被开方数中的带分数要化为 假分数，被开方数中的分母要化去，即被开 方数不含分母，从而化为最简二次根式． 探究点三：最简二次根式 在下列各式中，哪些是最简二次 根式？哪些不是？并说明理由． (1) 45；(2) 1 3 ；(3) 5 2 ；(4) 0.5 ； (5) 1 4 5 . 解析：根据满足最简二次根式的两个条 件判断即可． 解：(1) 45＝3 5，被开方数含有开得 尽方的因数，因此不是最简二次根式； (2) 1 3 ＝ 3 3 ，被开方数中含有分母， 因此它不是最简二次根式； (3) 5 2 ，被开方数不含分母，且被开方 数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是 最简二次根式； (4) 0.5＝ 1 2 ＝ 2 2 ，被开方数含有小 数，因此不是最简二次根式； (5) 1 4 5 ＝ 9 5 ＝ 3 5 5 ，被开方数中含有 分母，因此它不是最简二次根式． 方法总结：解决此题的关键是掌握最简 二次根式的定义，最简二次根式必须满足两 个条件： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数不含能开得尽方的因数或 因式． 探究点四：二次根式除法的综合运用 座钟的摆针摆动一个来回所需的 时间称为一个周期，其周期计算公式为 T＝ 2π l g ，其中 T 表示周期(单位：秒)，l 表示 摆长(单位：米)，g＝9.8 米/秒 2，假若一台 座钟摆长为 0.5 米，它每摆动一个来回发出 一次滴答声，那么在 1 分钟内，该座钟大约 发出了多少次滴答声(π≈3.14)? 解析：由给出的公式代入数据计算即 可．要先求出这个钟摆的周期，然后利用时 间除周期得到次数． 解：∵T＝2π 0.5 9.8≈1.42， 60 T ＝ 60 1.42 ≈42(次)，∴在 1 分钟内，该座钟大约发出 了 42 次滴答声． 方法总结：解决本题的关键是正确运用 公式．用二次根式的除法进行运算，解这类 问题时要注意代入数据的单位是否统一． 三、板书设计 1．二次根式的除法运算
2.商的算术平方根 3.最简二次根式 被开方数不含分母;被开方数中不含能 开得尽方的因数或因式 教学反思 在教学中应注重积和商的互相转换,让 学生通过具体实例再结合积的算术平方根 的性质,对比、归纳得到商的算术平方根的 性质.在此过程中应给予适当的指导,可提 出问题让学生有一定的探索方向.在设计课 堂教学内容时,以提问的方式引出本节课要 解决的问题,让学生自主探究,在探究过程 中观察知识产生发展的全过程,从而让学生 的学习情感和学习品质得到升华,学生的创 新精神得到发展
2．商的算术平方根 3．最简二次根式 被开方数不含分母；被开方数中不含能 开得尽方的因数或因式． 在教学中应注重积和商的互相转换，让 学生通过具体实例再结合积的算术平方根 的性质，对比、归纳得到商的算术平方根的 性质．在此过程中应给予适当的指导，可提 出问题让学生有一定的探索方向．在设计课 堂教学内容时，以提问的方式引出本节课要 解决的问题，让学生自主探究，在探究过程 中观察知识产生发展的全过程，从而让学生 的学习情感和学习品质得到升华，学生的创 新精神得到发展．