18.23正方形 第1课时正方形的性质 教学目标一 边形、矩形、菱形的所有性质 1.掌握正方形的概念、性质,并会用 【类型二】利用正方形的性质解决线 它们进行有关的论证和计算:(重点) 土算或证明问题 2.理解正方形与平行四边形、矩形、 菱形的联系和区别.(难点) 数学过程一 例2如图所示,正方形ABCD的边长 情境导入 为1,AC是对角线,AE平分∠BAC,EF⊥AC 于点F (1)求证:BE=CF (2)求BE的长 做一做:用一张长方形的纸片(如图所 解析:(1)由角平分线的性质可得到BE 示)折出一个正方形.学生在动手中对正方=EF,再证明△CEF为等腰直角三角形 形产生感性认识,并感知正方形与矩形的关即可证BE=CF:;(2)设BE=x,在△CEF中 系 可表示出CE由BC=1,可列出方程,即可 问题:什么样的四边形是正方形? 求得BE 、合作探究 (1)证明:∵四边形ABCD为正方形, 探究点一:正方形的性质 ∠B=90°∵EF⊥AC ∠EFA 【类型一】特殊平行四边形的性质的90°∵AE平分∠BAC,∴BE=EF又∵AC是 综合 正方形ABCD的对角线,∴AC平分∠BCD, 囹1菱形,矩形,正方形都具有的性∴∠ACB=45°,∴∠FEC=∠FCE 质是() ∴EF=FC,∴BE=CF A.对角线相等且互相平分 (2)解:设BE=x,则EF=CF=x,CE B.对角线相等且互相垂直平分 x在Rt△CEF中,由勾股定理可得CE C.对角线互相平分 √2x∴V2x=1-x,解得x=√2-1 D.四条边相等,四个角相等 E的长为2-1 解析:选项A不正确,菱形的对角线不 方法总结:正方形被每条对角线分成两 相等;选项B不正确,菱形的对角线不相等, 矩形的对角线不互相垂直;选项C正确,三 者均具有此性质;选项D不正确,矩形的四个直角三角形,被两条对角线分成四个等腰 条边不相等,菱形的四个角不相等.故选 直角三角形,因此正方形的计算问题可以转 方法总结:正方形具有四边形、平行四化到直角三角形和等腰直角三角形中去解
18.2.3 正方形 第 1 课时 正方形的性质 1．掌握正方形的概念、性质，并会用 它们进行有关的论证和计算；(重点) 2．理解正方形与平行四边形、矩形、 菱形的联系和区别．(难点) 一、情境导入 做一做：用一张长方形的纸片(如图所 示)折出一个正方形．学生在动手中对正方 形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关 系． 问题：什么样的四边形是正方形？ 二、合作探究 探究点一：正方形的性质 【类型一】 特殊平行四边形的性质的 综合 菱形，矩形，正方形都具有的性 质是( ) A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直平分 C．对角线互相平分 D．四条边相等，四个角相等 解析：选项 A 不正确，菱形的对角线不 相等；选项 B 不正确，菱形的对角线不相等， 矩形的对角线不互相垂直；选项 C 正确，三 者均具有此性质；选项 D 不正确，矩形的四 条边不相等，菱形的四个角不相等．故选 C. 方法总结：正方形具有四边形、平行四 边形、矩形、菱形的所有性质． 【类型二】 利用正方形的性质解决线 段的计算或证明问题 如图所示，正方形 ABCD 的边长 为 1，AC 是对角线，AE 平分∠BAC，EF⊥AC 于点 F. (1)求证：BE＝CF； (2)求 BE 的长． 解析：(1)由角平分线的性质可得到 BE ＝EF，再证明△CEF 为等腰直角三角形， 即可证 BE＝CF；(2)设 BE＝x，在△CEF 中 可表示出 CE.由 BC＝1，可列出方程，即可 求得 BE. (1)证明：∵四边形 ABCD 为正方形， ∴∠B ＝ 90°.∵EF⊥AC ， ∴∠EFA ＝ 90°.∵AE 平分∠BAC，∴BE＝EF.又∵AC 是 正方形 ABCD 的对角线，∴AC 平分∠BCD， ∴∠ACB＝45°，∴∠FEC＝∠FCE＝45°， ∴EF＝FC，∴BE＝CF； (2)解：设 BE＝x，则 EF＝CF＝x，CE ＝1－x.在 Rt△CEF 中，由勾股定理可得 CE ＝ 2x.∴ 2x＝1－x，解得 x＝ 2－1，即 BE 的长为 2－1. 方法总结：正方形被每条对角线分成两 个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰 直角三角形，因此正方形的计算问题可以转 化到直角三角形和等腰直角三角形中去解
决 2×(180-30)=7.又:AB=EF 【类型三】利用正方形的性质解决角∴∠AFD=∠BAE=75° 的计算或证明问 方法总结:正方形是最特殊的平行四边 形,在正方形中进行计算时,要注意计算出 相关的角的度数,要注意分析图形中有哪些 上一点,连接DF,点E为DF的中点.连相等的线段等 接BE、CE、AE 探究点二:正方形性质的综合应用 (1)求证:△AEB≌△DEC 【类型一】利用正方形的性质解决线 (2)当EB=BC时,求∠AFD的度数 解析:(1)根据“正方形的四条边都相 4如图,AE是正方形ABCD中 等”可得AB=CD,根据“正方形每一个角BAC的平分线,AE分别交BD、BC于F、 都是直角”可得∠BAD=∠ADC=90°,再E,AC、BD相交于O求证: 根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半”可得AE=EF=DE=DF,根据 等边对等角”可得∠EAD=∠EDA,再得 出∠BAE=∠CDE,然后利用“SAS”证明即 D 可;(2)根据“全等三角形对应边相等”可得 (I)BE=BF: EB=EC,再得出△BCE是等边三角形.根 据等边三角形的性质可得∠EBC=60°,然 (2)OF=SCE 后求出∠ABE=30°再根据“等腰三角形两 解析:(1)根据正方形的性质可求得 底角相等”求出∠BAE,然后根据“等边对∠ABE=∠AOF=90°由于AE是正方形 等角”可得∠AFD=∠BAE ABCD中∠BAC的平分线,根据“等角的余 (1)证明:在正方形ABCD中,AB=CD,角相等”即可求得∠AFO=∠AEB.根据 ∠BAD=∠ADC=90∵点E为DF中点,“对顶角相等”即可求得∠BFE=∠AEB ∴AE=EF=DE=DF,∴∠EAD BE=BF;(2)连接O和AE的中点G根据 角形的中位线的性质即可证得OG∥BC, ∠EDA.∵∠BAE=∠BAD-∠EAD,∠CDE =∠ADC-∠EDA,∴∠BAE=∠CDE在 G=CE.根据平行线的性质即可求得 ∠OGF=∠FEB,从而证得∠OGF AB=cD △AEB和△DEC中,{∠BAE=∠CDE, ∠AFO,OG=OF,进而证得OF=CE AE=DE 证明:(1)∵四边形ABCD是正方形, △AEB≌△ DEC(SAS) ∴AC⊥BD,∴∠ABE=∠AOF=90° (2)解:∵△AEB≌△DEC,∴EB=∴∠BAE+∠AEB=∠CAE+∠AFO= EC.∵EB=BC,∴EB EC,∴△BCE90°∵AE是∠BAC的平分线,∴∠CAE 是等边三角形,∴∠EBC=60°,∴∠ABE∠BAE,∴∠AFO=∠AEB.又∵∠AFO= 90°-60°=30°∵:EB=BC=AB,∴∠BAE∠BFE,∴∠BFE=∠AEB,∴BE=BF; (2)连接O和AE的中点G∴AO=CO
决． 【类型三】 利用正方形的性质解决角 的计算或证明问题 在正方形 ABCD 中，点 F 是边 AB 上一点，连接 DF，点 E 为 DF 的中点．连 接 BE、CE、AE. (1)求证：△AEB≌△DEC； (2)当 EB＝BC 时，求∠AFD 的度数． 解析：(1)根据“正方形的四条边都相 等”可得 AB＝CD，根据“正方形每一个角 都是直角”可得∠BAD＝∠ADC＝90°，再 根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半”可得 AE＝EF＝DE＝ 1 2 DF，根据 “等边对等角”可得∠EAD＝∠EDA，再得 出∠BAE＝∠CDE，然后利用“SAS”证明即 可；(2)根据“全等三角形对应边相等”可得 EB＝EC，再得出△BCE 是等边三角形．根 据等边三角形的性质可得∠EBC＝60°，然 后求出∠ABE＝30°.再根据“等腰三角形两 底角相等”求出∠BAE，然后根据“等边对 等角”可得∠AFD＝∠BAE. (1)证明：在正方形 ABCD 中，AB＝CD， ∠BAD＝∠ADC＝90°.∵点 E 为 DF 中点， ∴AE ＝ EF ＝ DE ＝ 1 2 DF ， ∴∠EAD ＝ ∠EDA.∵∠BAE＝∠BAD－∠EAD，∠CDE ＝∠ADC－∠EDA，∴∠BAE＝∠CDE.在 △AEB 和△DEC 中， AB＝CD， ∠BAE＝∠CDE， AE＝DE， ∴△AEB≌△DEC(SAS)； (2) 解 ： ∵△AEB≌△DEC ， ∴EB ＝ EC.∵EB＝BC，∴EB＝BC＝EC，∴△BCE 是等边三角形，∴∠EBC＝60°，∴∠ABE ＝90°－60°＝30°.∵EB＝BC＝AB，∴∠BAE ＝ 1 2 ×(180°－ 30°) ＝ 75°. 又 ∵AE ＝ EF ， ∴∠AFD＝∠BAE＝75°. 方法总结：正方形是最特殊的平行四边 形，在正方形中进行计算时，要注意计算出 相关的角的度数，要注意分析图形中有哪些 相等的线段等． 探究点二：正方形性质的综合应用 【类型一】 利用正方形的性质解决线 段的倍、分、和、差关系 如图，AE 是正方形 ABCD 中 ∠BAC 的平分线，AE 分别交 BD、BC 于 F、 E，AC、BD 相交于 O.求证： (1)BE＝BF； (2)OF＝ 1 2 CE. 解析：(1)根据正方形的性质可求得 ∠ABE＝∠AOF＝90°.由于 AE 是正方形 ABCD 中∠BAC 的平分线，根据“等角的余 角相等”即可求得∠AFO＝∠AEB. 根据 “对顶角相等”即可求得∠BFE＝∠AEB， BE＝BF；(2)连接 O 和 AE 的中点 G.根据三 角形的中位线的性质即可证得 OG∥BC， OG＝ 1 2 CE. 根据平行线的性质即可求得 ∠OGF ＝ ∠FEB ， 从 而 证 得 ∠OGF ＝ ∠AFO，OG＝OF，进而证得 OF＝ 1 2 CE. 证明：(1)∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AC⊥BD ， ∴∠ABE ＝ ∠AOF ＝ 90°， ∴∠BAE ＋ ∠AEB ＝ ∠CAE ＋ ∠AFO ＝ 90°.∵AE 是∠BAC 的平分线，∴∠CAE＝ ∠BAE ，∴∠AFO＝∠AEB. 又∵∠AFO＝ ∠BFE，∴∠BFE＝∠AEB，∴BE＝BF； (2)连接 O 和 AE 的中点 G.∵AO＝CO
、板书设计 AG=EG,∴OG∥BC,OG=CE,∴∠OGF 1.正方形的定义和性质 ∠FEB∠AFO=∠AEB,∴∠OGF= 四条边都相等,四个角都是直角的四边 形是正方形 ∠AFO,∴OG=OF,∴OF==CE. 对边平行,四条边都相等:;四个角都是 直角:对角线互相垂直、平分且相等,并且 方法总结:在正方形的条件下证明线段每一条对角线平分一组对角 的关系,通常的方法是连接对角线构造垂直 2.正方形性质的综合应用 教学反思 平分线,利用垂直平分线的性质、中位线定 通过学生动手操作得出的结论归纳矩 形和菱形的性质,继而得到正方形的性质, 理、角平分线、等腰三角形等知识来证明, 激起了学生的学习热情和兴趣.创设有意义 有时也利用全等三角形来解决 的数学活动,使枯燥乏味的数学变得生动活 泼.让学生觉得学习数学是快乐的,使学生 保持一颗健康、好学、进取的心及一份浓厚 【类型二】有关正方形性质的综合应的学习兴趣 用题 例5如图,正方形AFCE中,D是边 CE上一点,B是CF延长线上一点,且AB AD,若四边形ABCD的面积是24cm2则 AC长是 解析:∵四边形AFCE是正方形,∴AF AE,∠E=∠AFC=∠AFB=90°.在 Rt△AED和R△AFB中,JAD=AB, LAE=AF ∴Rt△AED≌Rt△AFB(H),∴S△AED S四边利ABCD=24cm2,∴S正方AFCE 24cm2,∴,AE=EC=2√6cm根据勾股定理得 AC=y(2V6)2+(2V6)2=43(cm).故 答案为4V3 方法总结:在解决与面积相关的问题 时,可通过证三角形全等实现转化,使不规 则图形的面积转变成我们熟悉的图形面积, 从而解决问题
AG＝EG，∴OG∥BC，OG＝ 1 2 CE，∴∠OGF ＝∠FEB.∵∠AFO＝∠AEB ，∴∠OGF ＝ ∠AFO，∴OG＝OF，∴OF＝ 1 2 CE. 方法总结：在正方形的条件下证明线段 的关系，通常的方法是连接对角线构造垂直 平分线，利用垂直平分线的性质、中位线定 理、角平分线、等腰三角形等知识来证明， 有时也利用全等三角形来解决． 【类型二】 有关正方形性质的综合应 用题 如图，正方形 AFCE 中，D 是边 CE 上一点，B 是 CF 延长线上一点，且 AB ＝AD，若四边形 ABCD 的面积是 24cm2 .则 AC 长是________cm. 解析：∵四边形 AFCE 是正方形，∴AF ＝ AE ， ∠E ＝ ∠AFC ＝ ∠AFB ＝ 90°. 在 Rt△AED 和 Rt△AFB 中 ， AD＝AB， AE＝AF， ∴Rt△AED≌Rt△AFB(HL) ， ∴S△AED ＝ S△AFB.∵S 四边形 ABCD＝24cm2，∴S 正方形 AFCE＝ 24cm2，∴AE＝EC＝2 6cm.根据勾股定理得 AC＝ （2 6）2＋（2 6）2＝4 3(cm)．故 答案为 4 3. 方法总结：在解决与面积相关的问题 时，可通过证三角形全等实现转化，使不规 则图形的面积转变成我们熟悉的图形面积， 从而解决问题． 三、板书设计 1．正方形的定义和性质 四条边都相等，四个角都是直角的四边 形是正方形． 对边平行，四条边都相等；四个角都是 直角；对角线互相垂直、平分且相等，并且 每一条对角线平分一组对角． 2．正方形性质的综合应用 通过学生动手操作得出的结论归纳矩 形和菱形的性质，继而得到正方形的性质， 激起了学生的学习热情和兴趣．创设有意义 的数学活动，使枯燥乏味的数学变得生动活 泼．让学生觉得学习数学是快乐的，使学生 保持一颗健康、好学、进取的心及一份浓厚 的学习兴趣．