18.12平行四边形的判定 第1课时平行四边形的判定(1) 教学目标 BC,∴△ABC≌△ DBF(SAS),∴AC=DF AE.同理可证△ABC≌△EFC,∴AB=EF 1.掌握平行四边形的判定定理;(重点)=AD,∴四边形DAEF是平行四边形(两组 2.综合运用平行四边形的性质与判定对边分别相等的四边形是平行四边形) 解决问题.(难点) 方法总结:利用“两组对边分别相等的 四边形是平行四边形”时,证明边相等,可 情境导入 通过证明三角形全等解决 我们已经知道,如果一个四边形是平行 探究点二:两组对角分别相等的四边形 四边形,那么它就是一个中心对称图形,具是平行四边形 有如下的一些性质 1.两组对边分别平行且相等; 2.两组对角分别相等 3.两条对角线互相平分 那么,怎样判定一个四边形是否是平行 例2如图,在四边形ABCD中, 四边形呢?当然,我们可以根据平行四边形AB∥DC,∠B=55°,∠1=85°,∠2=40° 的原始定义:两组对边分别平行的四边形是 (1)求∠D的度数 平行四边形加以判定.那么是否存在其他的 (2)求证:四边形ABCD是平行四边形 判定方法? 解析:(1)可根据三角形的内角和为180° 二、合作探究 得出∠D的大小;(2)根据“两组对角分别相 探究点一:两组对边分别相等的四边形等的四边形是平行四边形”进行证明 是平行四边形 (1)解:∵∠D+∠2+∠1=180°,∴∠D 180°—∠2-∠1=180°-40°-85°=55°; 2)证明:∵AB∥DC,∴∠2=∠CAB =40°,∠DCB+∠B=180°,∴∠DAB=∠ ∠CAB=125°,∠DCB=180°-∠B 如图,在△ABC中,分别以AB、125°,∴∠DAB=∠DCB又∵∠D=∠B= AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、55°,∴四边形ABCD是平行四边形 等边△ACE、等边△BCF.试说明四边形 DAEF是平行四边形 方法总结:根据两组对角分别相等判断 解析:根据题意,利用全等可证明AD =FE,DF=AE,从而可判断四边形DAEF四边形是平行四边形,是解题的常用思路 为平行四边形 探究点三:对角线相互平分的四边形是 解:∵△ABD和△FBC都是等边三角平行四边形 形,∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF= 60°,∴∠DBF=∠ABC又∵BD=BA,BF
18．1.2 平行四边形的判定 第 1 课时 平行四边形的判定(1) 1．掌握平行四边形的判定定理；(重点) 2．综合运用平行四边形的性质与判定 解决问题．(难点) 一、情境导入 我们已经知道，如果一个四边形是平行 四边形，那么它就是一个中心对称图形，具 有如下的一些性质： 1．两组对边分别平行且相等； 2．两组对角分别相等； 3．两条对角线互相平分． 那么，怎样判定一个四边形是否是平行 四边形呢？当然，我们可以根据平行四边形 的原始定义：两组对边分别平行的四边形是 平行四边形加以判定．那么是否存在其他的 判定方法？ 二、合作探究 探究点一：两组对边分别相等的四边形 是平行四边形 如图，在△ABC 中，分别以 AB、 AC、BC 为边在 BC 的同侧作等边△ABD、 等边△ACE 、等边△BCF. 试说明四边形 DAEF 是平行四边形． 解析：根据题意，利用全等可证明 AD ＝FE，DF＝AE，从而可判断四边形 DAEF 为平行四边形． 解：∵△ABD 和△FBC 都是等边三角 形，∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝ 60°，∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF ＝BC，∴△ABC≌△DBF(SAS)，∴AC＝DF ＝AE.同理可证△ABC≌△EFC，∴AB＝EF ＝AD，∴四边形 DAEF 是平行四边形(两组 对边分别相等的四边形是平行四边形)． 方法总结：利用“两组对边分别相等的 四边形是平行四边形”时，证明边相等，可 通过证明三角形全等解决． 探究点二：两组对角分别相等的四边形 是平行四边形 如图，在四边形 ABCD 中， AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°. (1)求∠D 的度数； (2)求证：四边形 ABCD 是平行四边形． 解析：(1)可根据三角形的内角和为 180° 得出∠D 的大小；(2)根据“两组对角分别相 等的四边形是平行四边形”进行证明． (1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，∴∠D ＝180°－∠2－∠1＝180°－40°－85°＝55°； (2)证明：∵AB∥DC，∴∠2＝∠CAB ＝40°，∠DCB＋∠B＝180°，∴∠DAB＝∠1 ＋∠CAB ＝125°，∠DCB ＝180°－∠B ＝ 125°，∴∠DAB＝∠DCB.又∵∠D＝∠B＝ 55°，∴四边形 ABCD 是平行四边形． 方法总结：根据两组对角分别相等判断 四边形是平行四边形，是解题的常用思路． 探究点三：对角线相互平分的四边形是 平行四边形
OC的中点,请判断线段DE,BF的位置关 系和数量关系,并说明你的结论 解析:根据平行四边形的性质“对角线 互相平分”得出OA=OC,OB=OD利用中 点的意义得出OE=OF,从而利用平行四边 例3]如图,AB、CD相交于点O,形的判定定理“对角线互相平分的四边形 AC∥DB,AO=BO,E、F分别是OC、OD是平行四边形”判定四边形BFDE是平行 的中点.求证 四边形,从而得出DE=BF,DE∥BF (1)△AOC≌△BOD 解:DE=BF,DE∥BF∵四边形ABCD (2)四边形AFBE是平行四边形 是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD∵E 解析:(1)利用已知条件和全等三角形的F分别是OA,OC的中点,∴OE=OF, 判定方法即可证明△AOC≌△BOD:(2)此题四边形BFDE是平行四边形,∴DE=BF 已知AO=BO,要证四边形AFBE是平行四DE∥BF 边形,根据全等三角形,只需证OE=OF即 方法总结:平行四边形的性质也是证明 证明:(1)∵AC∥BD,∴∠C=∠D在 线段相等或平行的重要方法 ∠C=∠D, 【类型二】平行四边形的判定定理(L △AOC和△BOD中,∵∠COA=∠DOB, 的综合运用 10=BO, ∴△AOC≌△ BOD(AAS) (2)∵△AOC≌△BOD ∴CO DO∵E、F分别是OC、OD的中点,∴OF 例5如图,已知四边形ABCD是平行 =2OD,OE=OC,∴EO=PO.又:AO=四边形,BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F BO,∴四边形AFBE是平行四边形 (1)求证:△ABE≌△CDF 方法总结:在应用判定定理判定平行四 2)连接BF、DE,试判断四边形BFDE 是什么样的四边形?写出你的结论并予以 边形时,应仔细观察题目所给的条件,仔细证明 解析:(1)根据“AAS”可证出 △ABE≌△CDF:(2)首先根据 选择适合于题目的判定方法进行解答,避免△ABE≌△CDF得出AE=FC,BE=DF再 混用判定方法 利用已知得出△ADE≌△CBF,进而得出 DE=BF,即可得出四边形BFDE是平行四 探究点四:平行四边形的判定定理(1)边形 的应用 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边 【类型一】利用平行四边形的判定定形,∴AB=CD,AB∥CD,…∴∠BAC= 理山证明线段或角相等 ∠DCA.∵BE⊥AC于E,DF⊥AC于F, ∠AEB=∠DFC=90°在△ABE和△CDF ∠DFC=∠BEA ∠FCD=∠EAB, 4如图,在平行四边形ABCD中 1B=C AC交BD于点O,点E,点F分别是OA, ∴△ABE≌△CDF(AAS)
如图，AB、CD 相交于点 O， AC∥DB，AO＝BO，E、F 分别是 OC、OD 的中点．求证： (1)△AOC≌△BOD； (2)四边形 AFBE 是平行四边形． 解析：(1)利用已知条件和全等三角形的 判定方法即可证明△AOC≌△BOD；(2)此题 已知 AO＝BO，要证四边形 AFBE 是平行四 边形，根据全等三角形，只需证 OE＝OF 即 可． 证明：(1)∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.在 △AOC 和△BOD 中，∵ ∠C＝∠D， ∠COA＝∠DOB， AO＝BO， ∴△AOC≌△BOD(AAS)； (2)∵△AOC≌△BOD ， ∴CO ＝ DO.∵E、F 分别是 OC、OD 的中点，∴OF ＝ 1 2 OD，OE＝ 1 2 OC，∴EO＝FO.又∵AO＝ BO，∴四边形 AFBE 是平行四边形． 方法总结：在应用判定定理判定平行四 边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细 选择适合于题目的判定方法进行解答，避免 混用判定方法． 探究点四：平行四边形的判定定理(1) 的应用 【类型一】 利用平行四边形的判定定 理(1)证明线段或角相等 如图，在平行四边形 ABCD 中， AC 交 BD 于点 O，点 E，点 F 分别是 OA， OC 的中点，请判断线段 DE，BF 的位置关 系和数量关系，并说明你的结论． 解析：根据平行四边形的性质“对角线 互相平分”得出 OA＝OC，OB＝OD.利用中 点的意义得出 OE＝OF，从而利用平行四边 形的判定定理“对角线互相平分的四边形 是平行四边形”判定四边形 BFDE 是平行 四边形，从而得出 DE＝BF，DE∥BF. 解：DE＝BF，DE∥BF.∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵E， F 分别是 OA，OC 的中点，∴OE＝OF，∴ 四边形 BFDE 是平行四边形，∴DE＝BF， DE∥BF. 方法总结：平行四边形的性质也是证明 线段相等或平行的重要方法． 【类型二】 平行四边形的判定定理(1) 的综合运用 如图，已知四边形 ABCD 是平行 四边形，BE⊥AC 于点 E，DF⊥AC 于点 F. (1)求证：△ABE≌△CDF； (2)连接 BF、DE，试判断四边形 BFDE 是什么样的四边形？写出你的结论并予以 证明． 解析： (1) 根 据 “AAS” 可证出 △ABE≌△CDF ； (2) 首先根据 △ABE≌△CDF 得出 AE＝FC，BE＝DF.再 利用已知得出△ADE≌△CBF，进而得出 DE＝BF，即可得出四边形 BFDE 是平行四 边形． (1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边 形 ， ∴AB ＝ CD， AB∥CD ， ∴∠BAC ＝ ∠DCA.∵BE⊥AC 于 E，DF⊥AC 于 F， ∴∠AEB＝∠DFC＝90°.在△ABE 和△CDF 中 ， ∠DFC＝∠BEA， ∠FCD＝∠EAB， AB＝CD， ∴△ABE≌△CDF(AAS)；
(2)解:四边形BFDE是平行四边形.理 由如下:∵△ABE≌△CDF,∴AE=FC, BE=DF∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=CB,AD∥CB,∴∠DAC=∠BCA AD=BC 在△ADE和△CBF中,∠DAE=∠BCF, AE=FO ∴△ADE≌△CBF(SAS),∴DE=BF,∴四 边形BFDE是平行四边形 方法总结:熟练运用平行四边形的性 质,可证明三角形全等,证明边相等,再利 用两组对边分别相等可判定四边形是平行 三、板书设计 平行四边形的判定定理 两组对边分别相等的四边形是平行四 边形 两组对角分别相等的四边形是平行四 边形 对角线相互平分的四边形是平行四边 2.平行四边形的判定定理(1)的应用 教学反思 在整个教学过程中,以学生看、想、议 练为主体,教师在学生仔细观察、类比、想 象的基础上加以引导点拨.判定方法是学生 自己探讨发现的,因此,应用也就成了学生 自发的需要.在证明命题的过程中,学生自 然将判定方法进行对比和筛选,或对一题进 行多解,便于思维发散,不把思路局限在某 一判定方法上
(2)解：四边形 BFDE 是平行四边形．理 由如下：∵△ABE≌△CDF，∴AE＝FC， BE＝DF.∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠DAC＝∠BCA. 在△ADE 和△CBF 中， AD＝BC， ∠DAE＝∠BCF， AE＝FC， ∴△ADE≌△CBF(SAS)，∴DE＝BF，∴四 边形 BFDE 是平行四边形． 方法总结：熟练运用平行四边形的性 质，可证明三角形全等，证明边相等，再利 用两组对边分别相等可判定四边形是平行 四边形． 三、板书设计 1．平行四边形的判定定理(1) 两组对边分别相等的四边形是平行四 边形； 两组对角分别相等的四边形是平行四 边形； 对角线相互平分的四边形是平行四边 形． 2．平行四边形的判定定理(1)的应用 在整个教学过程中，以学生看、想、议、 练为主体，教师在学生仔细观察、类比、想 象的基础上加以引导点拨．判定方法是学生 自己探讨发现的，因此，应用也就成了学生 自发的需要．在证明命题的过程中，学生自 然将判定方法进行对比和筛选，或对一题进 行多解，便于思维发散，不把思路局限在某 一判定方法上．