第2课时函数的表示方法 教学目标 答:要想使弹簧伸长5厘米,应挂重物 10克; 1.了解函数的三种不同的表示方法并 (2)函数的表达式:h=10+ 在实际情境中,会根据不同的需要,选择函0.5x(0≤x≤50) 数恰当的表示方法:(重点) (3)当h=25时,25=10+0.5x,x=30, 2.通过具体实例,了解简单的分段函 答:当弹簧的总长度为25厘米时,此 数,并能简单应用,(难点) 时所挂重物的质量为30克 方法总结:列表法的优点是不需要计算 数学心程 就可以直接看出与自变量的值相对应的函 情境导入 问题:(1)某人上班由于担心迟到所以 数值,简洁明了.列表法在实际生产和生活 开始就跑,等跑累了再走完余下的路程,可 以把此人距单位的距离看成是关于出发时中也有广泛应用如成绩表、银行的利率表 间的函数,想一想我们用怎样的方法才能更 好的表示这一函数呢? (2)生活中我们经常遇到银行利率、列车 【类型二】用图象法表示函数关系 时刻、国民生产总值等问题,想一想,这些 2如图描述了一辆汽车在某一直路 问题在实际生活中又是如何表示的? 上的行驶过程,汽车离出发地的距离s(千米) 探究 和行驶时间(小时)之间的关系,请根据图象 探究点一:函数的表示方法 回答下列问题 【类型一】用列表法表示函数关系 (1)汽车共行驶的路程是多少? 1有一根弹簧原长10厘米,挂重物 s(千米)D 后(不超过50克),它的长度会改变,请根据 下面表格中的一些数据回答下列问题: 质量(克) 伸长量(厘米)05 m E 总长度(厘米)10511 A01.52345小时 (1)要想使弹簧伸长5厘米,应挂重物多 (2汽车在行驶途中停留了多长时间 少克? (3)汽车在每个行驶过程中的速度分别 (2)当所挂重物为x克时,用h厘米表示是多少? 总长度,请写出此时弹簧的总长度的函数表 (4汽车到达离出发地最远的地方后返 达式 回,则返回用了多长时间? (3)当弹簧的总长度为25厘米时,求此 解析:根据图象解答即可 时所挂重物的质量为多少克 解:(1)由纵坐标看出汽车最远行驶路程 解析:(1)根据挂重物毎克伸长05厘米,是120千米,往返共行驶的路程是120×2 要伸长5厘米,可得答案:(2)根据挂重物与=240(千米 弹簧伸长的关系,可得函数解析式:(3)根据 (2)由横坐标看出2-1.5=0.5(小时),故 函数值,可得所挂重物质量 汽车在行驶途中停留了0.5小时 解:(1)5÷0.5×1=10(克), (3)由纵坐标看出汽车到达B点时的路
第 2 课时 函数的表示方法 1．了解函数的三种不同的表示方法并 在实际情境中，会根据不同的需要，选择函 数恰当的表示方法；(重点) 2．通过具体实例，了解简单的分段函 数，并能简单应用．(难点) 一、情境导入 问题：(1)某人上班由于担心迟到所以一 开始就跑，等跑累了再走完余下的路程，可 以把此人距单位的距离看成是关于出发时 间的函数，想一想我们用怎样的方法才能更 好的表示这一函数呢？ (2)生活中我们经常遇到银行利率、列车 时刻、国民生产总值等问题，想一想，这些 问题在实际生活中又是如何表示的？ 二、合作探究 探究点一：函数的表示方法 【类型一】 用列表法表示函数关系 有一根弹簧原长 10 厘米，挂重物 后(不超过 50 克)，它的长度会改变，请根据 下面表格中的一些数据回答下列问题： 质量(克) 1 2 3 4 … 伸长量(厘米) 0.5 1 1.5 2 … 总长度(厘米) 10.5 11 11.5 12 … (1)要想使弹簧伸长 5 厘米，应挂重物多 少克？ (2)当所挂重物为 x 克时，用 h 厘米表示 总长度，请写出此时弹簧的总长度的函数表 达式． (3)当弹簧的总长度为 25 厘米时，求此 时所挂重物的质量为多少克． 解析：(1)根据挂重物每克伸长 0.5 厘米， 要伸长 5 厘米，可得答案；(2)根据挂重物与 弹簧伸长的关系，可得函数解析式；(3)根据 函数值，可得所挂重物质量． 解：(1)5÷0.5×1＝10(克)， 答：要想使弹簧伸长 5 厘米，应挂重物 10 克； (2) 函 数 的 表 达 式 ： h ＝ 10 ＋ 0.5x(0≤x≤50)； (3)当 h＝25 时，25＝10＋0.5x，x＝30， 答：当弹簧的总长度为 25 厘米时，此 时所挂重物的质量为 30 克． 方法总结：列表法的优点是不需要计算 就可以直接看出与自变量的值相对应的函 数值，简洁明了．列表法在实际生产和生活 中也有广泛应用．如成绩表、银行的利率表 等． 【类型二】 用图象法表示函数关系 如图描述了一辆汽车在某一直路 上的行驶过程，汽车离出发地的距离 s(千米) 和行驶时间 t(小时)之间的关系，请根据图象 回答下列问题： (1)汽车共行驶的路程是多少？ (2)汽车在行驶途中停留了多长时间？ (3)汽车在每个行驶过程中的速度分别 是多少？ (4)汽车到达离出发地最远的地方后返 回，则返回用了多长时间？ 解析：根据图象解答即可． 解：(1)由纵坐标看出汽车最远行驶路程 是 120 千米，往返共行驶的路程是 120×2 ＝240(千米)； (2)由横坐标看出 2－1.5＝0.5(小时)，故 汽车在行驶途中停留了 0.5 小时； (3)由纵坐标看出汽车到达 B 点时的路
程是80千米,由横坐标看出到达B点所用 的时间是1.5小时,由此算出平均速度 方法总结:解析式法有两个优点:一是 80-÷1.5=3(千米时);由纵坐标看出汽车从简明、精确地概括了变量间的关系;二是可 B到C没动,此时速度为0千米时:由横 坐标看出汽车从C到D用时3-2=1(小时) 以通过解析式求出任意一个自变量的值所 从纵坐标看出行驶了120-80=40(千米), 故此时的平均速度为40÷1=40千米时):由对应的函数值 纵坐标看出汽车返回的路程是120千米,由 探究点二:函数表示方法的综合运用 横坐标看出用时45-3=1.5(小时),由此算 【类型一】分段函数及其表 出平均速度120÷1.5=80(千米/时); 囹4为了节能减排,鼓励居民节约用 (4)由横坐标看出45-3=1.5小时,返电,某市将出台新的居民用电收费标准:(1) 回用了1.5小时 若每户居民每月用电量不超过100度,则按 方法总结:图象法的优点是直观形象地 0.50元/度计算:(2)若每户居民每月用电量 超过100度,则超过部分按0.80元度计算 表示白变量与相应的函数值变化的趋势,有(超过部分仍按每度电030元计算,现假 设某户居民某月用电量是x(单位:度),电 利于我们通过图象来研究函数的性质.图象 费为y(单位:元,则y与x的函数关系用图 象表示正确的是() 法在生产和生活中有许多应用,如企业生产 图,股票指数走势图等 解析:根据题意,当0≤x≤100时,y 【类型三】用解析式法表示函数关系=0.5x;当x>100时,y=100×0.5+0.8(x 例3一辆汽车油箱内有油48升,从某 100)=50+0.8x-80=0.8x-30,所以,y 地出发,每行1千米,耗油06升,如果设与x的函数关系为y 剩余油量为y(升),行驶路程为x(千米). 1)写出y与x的关系式 0.5x(0≤x≤100·纵观各选项,只有C (2)这辆汽车行驶35千米时,剩油多少 0.8x-30(x>100) 升?汽车剩油12升时,行驶了多千米? 选项图形符合.故选C. (3)这辆车在中途不加油的情况下最远 能行驶多少千米? 方法总结:根据图象读取信息时,要把 解析:(1)根据总油量减去用油量等于剩 余油量,可得函数解析式;(2)根据自变量, 握住以下三个方面:①横、纵轴的意义,以 可得相应的函数值,根据函数值,可得相应 自变量的值;(3)令y=0,求出x即可 及横、纵轴分别表示的量;②要求关于某个 解:(1)y=-0.6x+48; 具体点,向横、纵轴作垂线来求得该点的坐 (2)当x=35时,y=48-06×35=27, ∴这辆车行驶35千米时,剩油27升;当y 12时,48-06x=12,解得x=60,∴汽标;③在实际问题中,要注意图象与x轴、 车剩油12升时,行驶了60千米 (3)令y=0,-0.6x+48=0,解得x=80,y轴交点坐标代表的具体意义 即这辆车在中途不加油的情况下最远能行 【类型二】函数与图形面积的综合 驶80km 用
程是 80 千米，由横坐标看出到达 B 点所用 的时间是 1.5 小时，由此算出平均速度 80÷1.5＝ 160 3 (千米/时)；由纵坐标看出汽车从 B 到 C 没动，此时速度为 0 千米/时；由横 坐标看出汽车从C到D用时3－2＝1(小时)， 从纵坐标看出行驶了 120－80＝40(千米)， 故此时的平均速度为 40÷1＝40(千米/时)；由 纵坐标看出汽车返回的路程是 120 千米，由 横坐标看出用时 4.5－3＝1.5(小时)，由此算 出平均速度 120÷1.5＝80(千米/时)； (4)由横坐标看出 4.5－3＝1.5 小时，返 回用了 1.5 小时． 方法总结：图象法的优点是直观形象地 表示自变量与相应的函数值变化的趋势，有 利于我们通过图象来研究函数的性质．图象 法在生产和生活中有许多应用，如企业生产 图，股票指数走势图等． 【类型三】 用解析式法表示函数关系 一辆汽车油箱内有油 48 升，从某 地出发，每行 1 千米，耗油 0.6 升，如果设 剩余油量为 y(升)，行驶路程为 x(千米)． (1)写出 y 与 x 的关系式； (2)这辆汽车行驶 35 千米时，剩油多少 升？汽车剩油 12 升时，行驶了多千米？ (3)这辆车在中途不加油的情况下最远 能行驶多少千米？ 解析：(1)根据总油量减去用油量等于剩 余油量，可得函数解析式；(2)根据自变量， 可得相应的函数值，根据函数值，可得相应 自变量的值；(3)令 y＝0，求出 x 即可． 解：(1)y＝－0.6x＋48； (2)当 x＝35 时，y＝48－0.6×35＝27， ∴这辆车行驶 35 千米时，剩油 27 升；当 y ＝12 时，48－0.6x＝12，解得 x＝60，∴汽 车剩油 12 升时，行驶了 60 千米； (3)令 y＝0，－0.6x＋48＝0，解得 x＝80， 即这辆车在中途不加油的情况下最远能行 驶 80km. 方法总结：解析式法有两个优点：一是 简明、精确地概括了变量间的关系；二是可 以通过解析式求出任意一个自变量的值所 对应的函数值． 探究点二：函数表示方法的综合运用 【类型一】 分段函数及其表示 为了节能减排，鼓励居民节约用 电，某市将出台新的居民用电收费标准：(1) 若每户居民每月用电量不超过 100 度，则按 0.50 元/度计算；(2)若每户居民每月用电量 超过 100 度，则超过部分按 0.80 元/度计算 (未超过部分仍按每度电 0.50 元计算)．现假 设某户居民某月用电量是 x(单位：度)，电 费为 y(单位：元)，则 y 与 x 的函数关系用图 象表示正确的是( ) 解析：根据题意，当 0≤x≤100 时，y ＝0.5x；当 x＞100 时，y＝100×0.5＋0.8(x －100)＝50＋0.8x－80＝0.8x－30，所以，y 与 x 的函数关系为 y ＝ 0.5x（0≤x≤100）， 0.8x－30（x>100）. 纵观各选项，只有 C 选项图形符合．故选 C. 方法总结：根据图象读取信息时，要把 握住以下三个方面：①横、纵轴的意义，以 及横、纵轴分别表示的量；②要求关于某个 具体点，向横、纵轴作垂线来求得该点的坐 标；③在实际问题中，要注意图象与 x 轴、 y 轴交点坐标代表的具体意义． 【类型二】 函数与图形面积的综合运 用
5如图①所示,矩形ABCD中,动 点P从点B出发,沿BC、CD、DA运动至 AB的距离为PB的长度x,y=BPB 点A停止,设点P运动的路程为x,△ABP 的面积为y,y关于x的函数图象如图②所 5x=5,令5x=4,解得x=16 ②点P在CD上时,4≤x≤9,点P到 (1)求矩形ABCD的面积 (2)求点M、点N的坐标 AB的距离为BC的长度4,y=1AB2PB=2 (3)如果△ABP的面积为矩形ABCD面5×4=10(不合题意,舍去) ③点P在AD上时,9≤x≤13时,点P 积的,求满足条件的x的值 到AB的距离为PA的长度13-x,y=ABPA 2×5×(3-=213-,令(13- 4,解得x=114, 综上所述,满足条件的x的值为1.6或 l14 方法总结:函数图象与图形面积是运用 解析:(1)点P从点B运动到点C的过数形结合思想的典型问题,图象应用信息广 程中,运动路程为4时,面积发生了变化且 面积达到最大,说明BC的长为4;当点P 泛,通过看图获取信息,不仅可以解决生活 在CD上运动时,△ABP的面积保持不变, 就是矩形ABCD面积的一半,并且运动路程中的实际问题,还可以提高分析问题、解决 由4到9,说明CD的长为5然后求出矩形问题的能力.用图象解决问题时,要理清图 的面积;(2)利用(1)中所求可得当点P运动 到点C时,△ABP的面积为10,进而得出 M点坐标,利用AD,BC,CD的长得出M家的含义 点坐标;(3)分点P在BC、CD、AD上时 、板书设计 分别求出点P到AB的距离,然后根据三角 函数的三种表示方法 形的面积公式列式即可求出y关于x的函数 (1)列表法 关系式,进而求出x即可 (2)图象法; 解:(1)结合图形可知,P点在BC上 (3)解析式法 △ABP的面积为y增大,当x在4~9之间 2.函数表示方法的综合运用 △ABP的面积不变,得出BC=4,CD=5 矩形ABCD的面积为4×5=20 教学反思 2)由(1)得当点P运动到点C时,△ABP 函数表示法这节课的难点在于针对不 的面积为10,则点M的纵坐标为10,故点同的问题如何选择这三种方法进行表示.针 M坐标为(4,10).∵BC=AD=4,CD=5,对这个问题,可通过引导学生对例子比较来 NO=13,故点N的坐标为(13,0) 解决.这样学生通过对不同例子的比较就能 (3)当△ABP的面积为矩形ABCD面积很好的区分这三种方法的特点,并能选择合 的,则△ABP的面积为20×=4 适的方法.这节课的另一个目标是让学生了 解分段函数,通过两个例子的介绍,能理解 ①点P在BC上时,0≤x≤4,点P到分段函数并按要求进行求值
如图①所示，矩形 ABCD 中，动 点 P 从点 B 出发，沿 BC、CD、DA 运动至 点 A 停止，设点 P 运动的路程为 x，△ABP 的面积为 y，y 关于 x 的函数图象如图②所 示． (1)求矩形 ABCD 的面积； (2)求点 M、点 N 的坐标； (3)如果△ABP 的面积为矩形 ABCD 面 积的1 5 ，求满足条件的 x 的值． 解析：(1)点 P 从点 B 运动到点 C 的过 程中，运动路程为 4 时，面积发生了变化且 面积达到最大，说明 BC 的长为 4；当点 P 在 CD 上运动时，△ABP 的面积保持不变， 就是矩形 ABCD 面积的一半，并且运动路程 由 4 到 9，说明 CD 的长为 5.然后求出矩形 的面积；(2)利用(1)中所求可得当点 P 运动 到点 C 时，△ABP 的面积为 10，进而得出 M 点坐标，利用 AD，BC，CD 的长得出 N 点坐标；(3)分点 P 在 BC、CD、AD 上时， 分别求出点 P 到 AB 的距离，然后根据三角 形的面积公式列式即可求出 y 关于 x 的函数 关系式，进而求出 x 即可． 解：(1)结合图形可知，P 点在 BC 上， △ABP 的面积为 y 增大，当 x 在 4～9 之间， △ABP 的面积不变，得出 BC＝4，CD＝5， ∴矩形 ABCD 的面积为 4×5＝20； (2)由(1)得当点P 运动到点 C 时，△ABP 的面积为 10，则点 M 的纵坐标为 10，故点 M 坐标为(4，10)．∵BC＝AD＝4，CD＝5， ∴NO＝13，故点 N 的坐标为(13，0)； (3)当△ABP 的面积为矩形 ABCD 面积 的 1 5 ，则△ABP 的面积为 20× 1 5 ＝4. ①点 P 在 BC 上时，0≤x≤4，点 P 到 AB 的距离为 PB 的长度 x，y＝ 1 2 AB·PB＝ 1 2 ×5x＝ 5x 2 ，令5x 2 ＝4，解得 x＝1.6； ②点 P 在 CD 上时，4≤x≤9，点 P 到 AB 的距离为 BC 的长度 4，y＝ 1 2 AB·PB＝ 1 2 ×5×4＝10(不合题意，舍去)； ③点 P 在 AD 上时，9≤x≤13 时，点 P 到 AB 的距离为 PA 的长度 13－x，y＝ 1 2 AB·PA ＝ 1 2 ×5×(13－x)＝ 5 2 (13－x)，令5 2 (13－x)＝ 4，解得 x＝11.4， 综上所述，满足条件的 x 的值为 1.6 或 11.4. 方法总结：函数图象与图形面积是运用 数形结合思想的典型问题，图象应用信息广 泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活 中的实际问题，还可以提高分析问题、解决 问题的能力．用图象解决问题时，要理清图 象的含义． 三、板书设计 1．函数的三种表示方法 (1)列表法； (2)图象法； (3)解析式法． 2．函数表示方法的综合运用 函数表示法这节课的难点在于针对不 同的问题如何选择这三种方法进行表示．针 对这个问题，可通过引导学生对例子比较来 解决．这样学生通过对不同例子的比较就能 很好的区分这三种方法的特点，并能选择合 适的方法．这节课的另一个目标是让学生了 解分段函数，通过两个例子的介绍，能理解 分段函数并按要求进行求值．
