第2课时矩形的判定 ∠EAC.∵∠B+∠ACB=∠FAE+∠EAC 教学目标一 ∴∠B=∠ACB=∠EAE=∠EAC AE∥BC又∵DE∥AB,∴四边形AEDB 1.掌握矩形的判定方法;(重点) 是平行四边形,∴AE平行且等于BD.又 2.能够运用矩形的性质和判定解决实∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=DC,∴AE 际问题.(难点) 平行且等于DC,故四边形ADCE是平行四 边形.又∵∠ADC=90°,∴平行四边形 ADCE是矩形 数学心程 方法总结:平行四边形的判定与性质以 、情境导入 我们已经知道,有一个角是直角的平行及矩形的判定常综合运用,解题时利用平行 四边形是矩形.这是矩形的定义,我们可以 依此判定一个四边形是矩形.除此之外,我 四边形的判定得出四边形是平行四边形再 们能否找到其他的判定矩形的方法呢? 矩形是一个中心对称图形,也是一个轴证明其中一角为直角即可 对称图形,具有如下的性质: 探究点二:对角线相等的平行四边形是 1.两条对角线相等且互相平分 矩形 2.四个内角都是直角 这些性质,对我们寻找判定矩形的方法 有什么启示? 合作探究 探究点一:有一个角是直角的平行四边 形是矩形 2如图,在平行四边形ABCD中, 对角线AC、BD相交于点O,延长OA到N, ON=OB,再延长OC至M,使CM=AN 求证:四边形NDMB为矩形 解析:首先由平行四边形ABCD可得 OA=OC,OB=OD.若ON=OB,那么ON 团例卫如图,在△ABC中,AB=AC,AD=OD而CM=AN,即ON=OM由此可证得 是BC边上的高,AE是△BAC的外角平分四边形NDMB的对角线相等且互相平分, 线,DE∥AB交AE于点E求证:四边形即可得证 ADCE是矩形 证明:∵四边形ABCD为平行四边形 解析:首先利用外角性质得出∠B=∴AO=OC,OD=OB.∵AN=CM,ON=OB, ∠ACB=∠FAE=∠EAC,进而得到∴ON=OM=OD=O MN=BD,∴四 AE∥BC,即可得出四边形AEDB是平行四边形NDMB为矩形 边形,再利用平行四边形的性质得出四边形 ADCE是平行四边形,再根据AD是高即可 方法总结:证明一个四边形是矩形,若 得出四边形ADCE是矩形 证明:∵AB=AC,∴∠B=∠ACB∴AE题设条件与这个四边形的对角线有关,通常 是△BAC的外角平分线,∴∠FAE
第 2 课时 矩形的判定 1．掌握矩形的判定方法；(重点) 2．能够运用矩形的性质和判定解决实 际问题．(难点) 一、情境导入 我们已经知道，有一个角是直角的平行 四边形是矩形．这是矩形的定义，我们可以 依此判定一个四边形是矩形．除此之外，我 们能否找到其他的判定矩形的方法呢？ 矩形是一个中心对称图形，也是一个轴 对称图形，具有如下的性质： 1．两条对角线相等且互相平分； 2．四个内角都是直角． 这些性质，对我们寻找判定矩形的方法 有什么启示？ 二、合作探究 探究点一：有一个角是直角的平行四边 形是矩形 如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是 BC 边上的高，AE 是△BAC 的外角平分 线，DE∥AB 交 AE 于点 E.求证：四边形 ADCE 是矩形． 解析：首先利用外角性质得出∠B＝ ∠ACB ＝ ∠FAE ＝ ∠EAC ，进而得到 AE∥BC，即可得出四边形 AEDB 是平行四 边形，再利用平行四边形的性质得出四边形 ADCE 是平行四边形，再根据 AD 是高即可 得出四边形 ADCE 是矩形． 证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵AE 是 △BAC 的 外 角 平 分 线 ， ∴∠FAE ＝ ∠EAC.∵∠B＋∠ACB＝∠FAE＋∠EAC， ∴∠B ＝ ∠ACB ＝ ∠FAE ＝ ∠EAC ， ∴AE∥BC.又∵DE∥AB，∴四边形 AEDB 是平行四边形，∴AE 平行且等于 BD.又 ∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴AE 平行且等于 DC，故四边形 ADCE 是平行四 边形．又∵∠ADC＝90°，∴平行四边形 ADCE 是矩形． 方法总结：平行四边形的判定与性质以 及矩形的判定常综合运用，解题时利用平行 四边形的判定得出四边形是平行四边形再 证明其中一角为直角即可． 探究点二：对角线相等的平行四边形是 矩形 如图，在平行四边形 ABCD 中， 对角线 AC、BD 相交于点 O，延长 OA 到 N， ON＝OB，再延长 OC 至 M，使 CM＝AN. 求证：四边形 NDMB 为矩形． 解析：首先由平行四边形 ABCD 可得 OA＝OC，OB＝OD.若 ON＝OB，那么 ON ＝OD.而 CM＝AN，即 ON＝OM.由此可证得 四边形 NDMB 的对角线相等且互相平分， 即可得证． 证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AO＝OC，OD＝OB.∵AN＝CM，ON＝OB， ∴ON＝OM＝OD＝OB，∴MN＝BD，∴四 边形 NDMB 为矩形． 方法总结：证明一个四边形是矩形，若 题设条件与这个四边形的对角线有关，通常
证这个四边形的对角线相等 CD和BC,然后根据矩形面积公式求得, 1)证明:四边形ABCD是矩形,∴OA 探究点三:有三个角是直角的四边形是=OB=OC=OD.∵AE=BF=CG=DH 矩形 .AO-AE=OB--BF=CO-CG=DO DH,即OE=OF=OG=OH,∴四边形 EFGH是矩形; (2)解:∵G是OC的中点,∴GO= GC.∵DG⊥AC,∴∠DGO=∠DGC=90° 例3如图,ABCD各内角的平分线分又∵DG=DG,∴△DGC≌△DGO,∴CD 别相交于点E,F,G,H求证:四边形EFGH=OD∵F是BO中点,OF=2cm,∴BO= 是矩形 4cm四边形ABCD是矩形,∴DO=BO 解析:利用“有三个内角是直角的四边4cm 形是矩形”证明四边形EFGH是矩形 DB2-DC2=45cm,,S矩形ABCD=4×43 证明:∵四边形ABCD是平行四边形 16√3(cm2) AD∥BC ∠DAB+∠ABC 180°∵AH,BH分别平分∠DAB与∠ABC, 方法总结:若题设条件与这个四边形的 ∴∠HAB=∠DAB,∠HBA=1∠ABC,对角线有关,要证明一个四边形是矩形,通 ∴∠HAB+∠HBA=(∠DAB+∠ABO 常证这个四边形的对角线相等且互相平分 ×180°=90°,∴∠H=90°同理∠HEF=∠F 【类型二】矩形的性质和判定与动点 90°,∴四边形EFGH是矩形 方法总结:题设中隐含多个直角或垂直 时,常采用“三个角是直角的四边形是矩 形”来判定矩形 5如图所示,在梯形ABCD中 AD∥BC,∠B=90°,AD=24cm,BC=26cm, 探究点四:矩形的性质和判定的综合运动点P从点A出发沿AD方向向点D以 lcm/s的速度运动,动点Q从点C开始沿着 【类型一】矩形的性质和判定的运用CB方向向点B以3cm/s的速度运动.点P、 EH Q分别从点A和点C同时出发,当其中一点 到达端点时,另一点随之停止运动 (1)经过多长时间,四边形PQCD是平 行四边形? 例4如图,O是矩形ABCD的对角线 (2)经过多长时间,四边形PQBA是矩 的交点,E、F、G、H分别是OA、OB、OC、形 OD上的点,且AE=BF=CG=DH 解析:(1)设经过s时,四边形PQCD (1)求证:四边形EFGH是矩形 是平行四边形,根据DP=CQ,代入后求出 (2)若E、F、G、H分别是OA、OB、即可;(2)设经过rs时,四边形PQBA是矩 OC、OD的中点,且DG⊥AC,OF=2cm,形,根据AP=BQ,代入后求出即可 求矩形ABCD的面积 解:(1)设经过ts,四边形PQCD为平 解析:(1)证明四边形EFGH对角线相行四边形,即PD=CQ,所以24-1=3t, 等且互相平分;(2)根据题设求出矩形的边长解得t=6
证这个四边形的对角线相等． 探究点三：有三个角是直角的四边形是 矩形 如图，▱ABCD 各内角的平分线分 别相交于点 E，F，G，H.求证：四边形 EFGH 是矩形． 解析：利用“有三个内角是直角的四边 形是矩形”证明四边形 EFGH 是矩形． 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC ， ∴∠DAB ＋ ∠ABC ＝ 180°.∵AH，BH 分别平分∠DAB 与∠ABC， ∴∠HAB ＝ 1 2 ∠DAB ，∠HBA ＝ 1 2 ∠ABC， ∴∠HAB＋∠HBA＝ 1 2 (∠DAB＋∠ABC)＝ 1 2 ×180°＝90°，∴∠H＝90°.同理∠HEF＝∠F ＝90°，∴四边形 EFGH 是矩形． 方法总结：题设中隐含多个直角或垂直 时，常采用“三个角是直角的四边形是矩 形”来判定矩形． 探究点四：矩形的性质和判定的综合运 用 【类型一】 矩形的性质和判定的运用 如图，O 是矩形 ABCD 的对角线 的交点，E、F、G、H 分别是 OA、OB、OC、 OD 上的点，且 AE＝BF＝CG＝DH. (1)求证：四边形 EFGH 是矩形； (2)若 E、F、G、H 分别是 OA、OB、 OC、OD 的中点，且 DG⊥AC，OF＝2cm， 求矩形 ABCD 的面积． 解析：(1)证明四边形 EFGH 对角线相 等且互相平分；(2)根据题设求出矩形的边长 CD 和 BC，然后根据矩形面积公式求得． (1)证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴OA ＝OB＝OC＝OD.∵AE＝BF＝CG＝DH， ∴AO－AE ＝OB －BF ＝CO－CG＝DO－ DH，即 OE＝OF ＝OG＝OH，∴四边形 EFGH 是矩形； (2)解：∵G 是 OC 的中点，∴GO＝ GC.∵DG⊥AC，∴∠DGO＝∠DGC＝90°. 又∵DG＝DG，∴△DGC≌△DGO，∴CD ＝OD.∵F 是 BO 中点，OF＝2cm，∴BO＝ 4cm.∵四边形 ABCD 是矩形，∴DO＝BO＝ 4cm，∴DC＝4cm，DB ＝8cm，∴CB ＝ DB2－DC2＝4 3cm，∴S 矩形 ABCD＝4×4 3 ＝16 3(cm2 )． 方法总结：若题设条件与这个四边形的 对角线有关，要证明一个四边形是矩形，通 常证这个四边形的对角线相等且互相平分． 【类型二】 矩形的性质和判定与动点 问题 如图所示，在梯形 ABCD 中， AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm， 动点 P 从点 A 出发沿 AD 方向向点 D 以 1cm/s 的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿着 CB 方向向点 B 以 3cm/s 的速度运动．点 P、 Q 分别从点 A 和点 C 同时出发，当其中一点 到达端点时，另一点随之停止运动． (1)经过多长时间，四边形 PQCD 是平 行四边形？ (2)经过多长时间，四边形 PQBA 是矩 形？ 解析：(1)设经过 ts 时，四边形 PQCD 是平行四边形，根据 DP＝CQ，代入后求出 即可；(2)设经过 t′s 时，四边形 PQBA 是矩 形，根据 AP＝BQ，代入后求出即可． 解：(1)设经过 ts，四边形 PQCD 为平 行四边形，即 PD＝CQ，所以 24－t＝3t， 解得 t＝6；
(2)设经过rs,四边形PQBA为矩形 即AP 13 BQ,所以t=26-3r,解得r 方法总结:①证明一个四边形是平行四 边形,若题设条件与这个四边形的边有关 通常证这个四边形的一组对边平行且相等 ②题设中出现一个直角时,常采用“有一角 是直角的平行四边形是矩形”来判定矩形 三、板书设计 1.矩形的判定 有一角是直角的平行四边形是矩形; 对角线相等的平行四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形. 2.矩形的性质和判定的综合运用 数学反思 在本节课的教学中,不仅要让学生掌握 矩形判定的几种方法,更要注重学生在学习 的过程中是否真正掌握了探究问题的基本 思路和方法.教师在例题练习的教学中,若 能适当地引导学生多做一些变式练习,类 比、迁移地思考、做题,就能进一步拓展学 生的思维,提高课堂教学的效率
(2)设经过 t′s，四边形 PQBA 为矩形， 即 AP＝ BQ，所以 t′＝26－3t′，解得 t′＝ 13 2 . 方法总结：①证明一个四边形是平行四 边形，若题设条件与这个四边形的边有关， 通常证这个四边形的一组对边平行且相等； ②题设中出现一个直角时，常采用“有一角 是直角的平行四边形是矩形”来判定矩形． 三、板书设计 1．矩形的判定 有一角是直角的平行四边形是矩形； 对角线相等的平行四边形是矩形； 有三个角是直角的四边形是矩形． 2．矩形的性质和判定的综合运用 在本节课的教学中，不仅要让学生掌握 矩形判定的几种方法，更要注重学生在学习 的过程中是否真正掌握了探究问题的基本 思路和方法．教师在例题练习的教学中，若 能适当地引导学生多做一些变式练习，类 比、迁移地思考、做题，就能进一步拓展学 生的思维，提高课堂教学的效率．