16.1二次根式 第1课时二次根式的概念 数学目标一 (10y√(a-b)2(ab≥0) 解析:要判断一个根式是不是二次根 能用二次根式表示实际问题中的数式,一是看根指数是不是2,二是看被开方 量及数量关系,体会研究二次根式的必要数是不是非负数 性:(难点) 2.能根据算术平方根的意义了解二次 解:因为h 根式的概念及性质,会求二次根式中被开方 数中字母的取值范围.(重点) 3-x(x≤3) (a-1)2 )3(ab≥0)中的根指数都是2,且被 数学过程 开方数为非负数,所以都是二次根式√13的 根指数不是2 情境导入 的被开方数小于0,所以不是二次根式 问题1:你能用带有根号的式子填空 吗? 方法总结:判断一个式子是不是二次根 (1)面积为3的正方形的边长为 ,面积为S的正方形的边长为式,要看所给的式子是否具备以下条件:(1) (2)一个长方形围栏,长是宽的2倍,面带二次根号“√”;(2被开方数是非负 积为130m2,则它的宽为 (3)个物体从高处自由落下,落到地面数 所用的时间(单位:s)与落下的高度h(单位 探究点二:二次根式有意义的条件 m)满足关系h=5r2,如果用含有h的式子表 【类型一】根据二次根式有意义求字 示t,则t= 母的取值范围 问题2:上面得到的式子3,√s,√65, 例2求使下列式子有意义的x的取值 分别表示什么意义?它们有什么共同范围 特征? (1) 二、合作探究 探究点一:二次根式的定义 解析:根据二次根式的性质和分式的意 例1下列各式中,哪些是二次根式 义,被开方数大于或等于0且分母不等于0, 哪些不是二次根式? 列不等式(组)求解 ()h1:(2y=5:(3(-7)2 解:(1)由题意得4-3x>0,解得x< (4)V13:(5 (63-x(x≤3) (7)yx(x≥0):(8)√(a-1) 当x<时,,—有意义
16．1 二次根式 第 1 课时 二次根式的概念 1．能用二次根式表示实际问题中的数 量及数量关系，体会研究二次根式的必要 性；(难点) 2．能根据算术平方根的意义了解二次 根式的概念及性质，会求二次根式中被开方 数中字母的取值范围．(重点) 一、情境导入 问题 1：你能用带有根号的式子填空 吗？ (1) 面 积 为 3 的 正 方 形 的 边 长 为 ________，面积为 S 的正方形的边长为 ________． (2)一个长方形围栏，长是宽的 2 倍，面 积为 130m2，则它的宽为________m. (3)一个物体从高处自由落下，落到地面 所用的时间 t(单位：s)与落下的高度 h(单位： m)满足关系 h＝5t 2，如果用含有 h 的式子表 示 t，则 t＝______． 问题 2：上面得到的式子 3， S， 65， h 5 分别表示什么意义？它们有什么共同 特征？ 二、合作探究 探究点一：二次根式的定义 下列各式中，哪些是二次根式， 哪些不是二次根式？ (1) 11；(2) －5；(3) （－7）2 ； (4) 3 13；(5) 1 5 － 1 6 ；(6) 3－x(x≤3)； (7) －x (x≥0) ； (8) （a－1）2 ； (9) －x 2－5； (10) （a－b）2 (ab≥0)． 解析：要判断一个根式是不是二次根 式，一是看根指数是不是 2，二是看被开方 数是不是非负数． 解：因为 11， （－7）2， 1 5 － 1 6 ＝ 1 30 ， 3－x (x≤3) ， （a－1）2 ， （a－b）2 (ab≥0)中的根指数都是 2，且被 开方数为非负数，所以都是二次根式. 3 13的 根指数不是 2， －5， －x(x≥0)， －x 2－5 的被开方数小于 0，所以不是二次根式． 方法总结：判断一个式子是不是二次根 式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1) 带二次根号“ ”；(2)被开方数是非负 数． 探究点二：二次根式有意义的条件 【类型一】 根据二次根式有意义求字 母的取值范围 求使下列式子有意义的 x 的取值 范围． (1) 1 4－3x ；(2) 3－x x－2 ；(3) x＋5 x . 解析：根据二次根式的性质和分式的意 义，被开方数大于或等于 0 且分母不等于 0， 列不等式(组)求解． 解：(1)由题意得 4－3x＞0，解得 x＜ 4 3 . 当 x＜ 4 3 时， 1 4－3x 有意义；
(2)由题意得 解得x≤3且 (2)根据题意得 x-2≠0, 3-x≥0解得x=3则 x≠2当x≤3且x≠2时 √3 有意义 y=4,故y=4=64,64=±8,∴y的平 方根为±8 5≥0 (3)由题意得 解得x≥-5且 方法总结:二次根式和绝对值都具有非 负性,几个非负数的和为0,这几个非负数 x≠0.当x≥-5且x≠0时 有意义 都为0 方法总结:含二次根式的式子有意义的 探究点三:和二次根式有关的规律探究 条件 性问题 囹4先观察下列等式,再回答下列问 (1)如果一个式子中含有多个二次根式, 那么它们有意义的条件是各个二次根式中 1+12 ②/1+5+=1+ 22+1 的被开方数都必须是非负数:2)如果所给式 324233+1 子中含有分母,则除了保证二次根式中的被 (1)请你根据上面三个等式提供的信息, 开方数为非负数外,还必须保证分母不为写出√1+1+的结果 (2)请你按照上面各等式反映的规律,试 写出用 【类型二】利用二次根式的非负性求 含n的式子表示的等式(n为正整数 解析:(1)从三个等式中可以发现,等号 囫(1)已知a、b满足√2a+8+b-3右边第一个加数都是1,第二个加数是个分 =0,解关于x的方程(a+2)x+b2=a-1;数,设分母为n,第三个分数的分母就是n (2)已知x、y都是实数,且y=x-3++1,结果是一个带分数,整数部分是1,分 √3-x+4,求y的平方根 数部分的分子也是1,分母是前项分数的分 解析:(1)根据二次根式的非负性和绝对母的积;(2)根据(1)找的规律写出表示这个 值的非负性求解即可:(2)根据二次根式的非规律的式子 负性即可求得x的值,进而求得y的值,进 而可求出y的平方根 4+1 解:(1)根据题意得 解得 (2) (n+1) =5 n 则(a+2)x+b2= 即-2+3=1-1 n(n+D)(n为正整数) 5,解得x=4 方法总结:解答规律探究性问题,都要
(2)由题意得 3－x≥0， x－2≠0， 解得 x≤3 且 x≠2.当 x≤3 且 x≠2 时， 3－x x－2 有意义； (3)由题意得 x＋5≥0， x≠0， 解得 x≥－5 且 x≠0.当 x≥－5 且 x≠0 时， x＋5 x 有意义． 方法总结：含二次根式的式子有意义的 条件： (1)如果一个式子中含有多个二次根式， 那么它们有意义的条件是各个二次根式中 的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式 子中含有分母，则除了保证二次根式中的被 开方数为非负数外，还必须保证分母不为 零． 【类型二】 利用二次根式的非负性求 解 (1)已知 a、b 满足 2a＋8＋|b－ 3 |＝0，解关于 x 的方程(a＋2)x＋b 2＝a－1； (2)已知 x、y 都是实数，且 y＝ x－3＋ 3－x＋4，求 y x的平方根． 解析：(1)根据二次根式的非负性和绝对 值的非负性求解即可；(2)根据二次根式的非 负性即可求得 x 的值，进而求得 y 的值，进 而可求出 y x的平方根． 解：(1)根据题意得 2a＋8＝0， b－ 3＝0， 解得 a＝－4， b＝ 3. 则(a＋2)x＋b 2＝a－1，即－2x＋3 ＝－5，解得 x＝4； (2)根据题意得 x－3≥0， 3－x≥0， 解得 x＝3.则 y＝4，故 y x＝4 3＝64，± 64＝±8，∴y x的平 方根为±8. 方法总结：二次根式和绝对值都具有非 负性，几个非负数的和为 0，这几个非负数 都为 0. 探究点三：和二次根式有关的规律探究 性问题 先观察下列等式，再回答下列问 题． ① 1＋ 1 1 2＋ 1 2 2＝1＋ 1 1 － 1 1＋1 ＝1 1 2 ； ② 1＋ 1 2 2＋ 1 3 2＝1＋ 1 2 － 1 2＋1 ＝1 1 6 ； ③ 1＋ 1 3 2＋ 1 4 2＝1＋ 1 3 － 1 3＋1 ＝1 1 12. (1)请你根据上面三个等式提供的信息， 写出 1＋ 1 4 2＋ 1 5 2的结果； (2)请你按照上面各等式反映的规律，试 写出用 含 n 的式子表示的等式(n 为正整数)． 解析：(1)从三个等式中可以发现，等号 右边第一个加数都是 1，第二个加数是个分 数，设分母为 n，第三个分数的分母就是 n ＋1，结果是一个带分数，整数部分是 1，分 数部分的分子也是 1，分母是前项分数的分 母的积；(2)根据(1)找的规律写出表示这个 规律的式子． 解：(1) 1＋ 1 4 2＋ 1 5 2 ＝1＋ 1 4 － 1 4＋1 ＝ 1 1 20； (2) 1＋ 1 n 2＋ 1 （n＋1）2 ＝1＋ 1 n － 1 n＋1 ＝1 1 n（n＋1） (n 为正整数)． 方法总结：解答规律探究性问题，都要
通过仔细观察找出字母和数之间的关系,通 过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示 出来 三、板书设计 1.二次根式的定义 一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫 做二次根式 2.二次根式有意义的条件 被开方数(式)为非负数:√a有意义台 0. 数学反思 通过将新知识与旧知识进行联系与对 比,随后由学生熟悉的实际问题出发,用已 有的知识进行探究,由此引入二次根式,在 教学过程中让学生感受到研究二次根式是 实际的需要,体会到数学与实际生活间的紧 密联系,以此充分激发学生学习的兴趣
通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通 过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示 出来． 三、板书设计 1．二次根式的定义 一般地，我们把形如 a(a≥0)的式子叫 做二次根式． 2．二次根式有意义的条件 被开方数(式)为非负数； a有意义⇔a ≥0. 通过将新知识与旧知识进行联系与对 比，随后由学生熟悉的实际问题出发，用已 有的知识进行探究，由此引入二次根式．在 教学过程中让学生感受到研究二次根式是 实际的需要，体会到数学与实际生活间的紧 密联系，以此充分激发学生学习的兴趣．