第2课时平行四边形的对角线的特征 教学目标一 1.掌握平行四边形对角线互相平分的 性质:(重点) 方法总结:平行四边形被对角线分成四 2.利用平行四边形对角线互相平分解 决有关问题.(难点) 个小三角形,相邻两个三角形的周长之差等 于邻边边长之差 数学心程 【类型二】利用平行四边形对角线互 相平分证明线段或角相等 、情境导入 例2如图,ABCD的对角线AC、BD 相交于点O,EF过点O与AB、CD分别相 如图,在平行四边形ABCD中,AC,交于点E、F求证:OE=OF BD为对角线,BC=6,BC边上的高为4, 解析:根据平行四边形的性质得出OD 你能算出图中阴影部分的面积吗? OB,DC∥AB,推出∠FDO=∠EBO,证 、合作探究 出△DFO≌△BEO即可 探究点一:平行四边形的对角线互相平 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OD=OB,DC∥AB,∴∠FDO=∠EBO 【类型一】利用平行四边形对角线互 ∠FDO=∠EBO, 相平分求线段 在△DFO和△BEO中,OD=OB, ∠FOD=∠EOB ∴△DFO≌△ BEO(ASA),∴OE=OF 己知ABCD的周长为60cm,对角 线AC、BD相交于点O,△AOB的周长比 方法总结:利用平行四边形的性质解决 △DOA的周长长5cm,求这个平行四边形线段的问题时,要注意运用平行四边形的对 各边的长 解析:平行四边形周长为60cm,即相 邻两边之和为30cm.△AOB的周长比△DO 边相等,对角线互相平分的性质 的周长长5cm,而AO为共用,OB=Ol 【类型三】判断直线的位置关系 因而由题可知AB比AD长5cm,进一步解 答即可 解:∵四边形ABCD是平行四边形, OB=OD,AB=CD,AD=BC∵△AOB 的周长比△DOA的周长长5cm,∴AB-AD 圆例3如图,平行四边形ABCD中,AC、 5cm,又∵ DABCD的周长为60cm,∴ABBD交于O点,点E、F分别是AO、CO的 +AD=30cm, U 4B=CD=35cm, AD=BC 中点,试判断线段BE、DF的关系并证明你 的结论
第 2 课时 平行四边形的对角线的特征 1．掌握平行四边形对角线互相平分的 性质；(重点) 2．利用平行四边形对角线互相平分解 决有关问题．(难点) 一、情境导入 如图，在平行四边形 ABCD 中，AC， BD 为对角线，BC＝6，BC 边上的高为 4， 你能算出图中阴影部分的面积吗？ 二、合作探究 探究点一：平行四边形的对角线互相平 分 【类型一】 利用平行四边形对角线互 相平分求线段 已知▱ABCD 的周长为 60cm，对角 线 AC、BD 相交于点 O，△AOB 的周长比 △DOA 的周长长 5cm，求这个平行四边形 各边的长． 解析：平行四边形周长为 60cm，即相 邻两边之和为30cm.△AOB 的周长比△DOA 的周长长 5cm，而 AO 为共用，OB＝OD， 因而由题可知 AB 比 AD 长 5cm，进一步解 答即可． 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.∵△AOB 的周长比△DOA 的周长长 5cm，∴AB－AD ＝5cm，又∵▱ABCD 的周长为 60cm，∴AB ＋AD＝30cm，则 AB＝CD＝ 35 2 cm，AD＝BC ＝ 25 2 cm. 方法总结：平行四边形被对角线分成四 个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等 于邻边边长之差． 【类型二】 利用平行四边形对角线互 相平分证明线段或角相等 如图，▱ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，EF 过点 O 与 AB、CD 分别相 交于点 E、F.求证：OE＝OF. 解析：根据平行四边形的性质得出 OD ＝OB，DC∥AB，推出∠FDO＝∠EBO，证 出△DFO≌△BEO 即可． 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OD＝OB，DC∥AB，∴∠FDO＝∠EBO. 在△DFO 和△BEO 中， ∠FDO＝∠EBO， OD＝OB， ∠FOD＝∠EOB， ∴△DFO≌△BEO(ASA)，∴OE＝OF. 方法总结：利用平行四边形的性质解决 线段的问题时，要注意运用平行四边形的对 边相等，对角线互相平分的性质． 【类型三】 判断直线的位置关系 如图，平行四边形 ABCD 中，AC、 BD 交于 O 点，点 E、F 分别是 AO、CO 的 中点，试判断线段 BE、DF 的关系并证明你 的结论．
解析:根据平行四边形的性质“对角线 互相平分”得出OA=OC,OB=OD利用中为h,则S△ABP=2BPh,SCB=2BPh, 的意义得出OE=OF,从而利用∴S△ABP=S△CBP △FOD≌△EOB可得出BE=DF,BE∥DF 解:BE=DF,BE∥DF理由如下:∵ 方法总结:平行四边形的对角线将平行 四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC OB=OD.E、F分别是OA、OC的中点, 四边形分成四个面积相等的三角形.另外, ∴OE=OF,又∵∠FOD=∠EOB ∴△FOD≌△EOB(SAS),∴:BE=DF, 等底等高的三角形的面积相等 ∠ODF=∠OBE,∴BE∥DF. 三、板书设计 平行四边形对角线互相平分 方法总结:在解决平行四边形的问题 2.平行四边形的面积 时,如果有对角线的条件时,则首选对角线 教学反思 互相平分的方法解决问题 通过分组讨论学习和自主探究,加强了 学生在教学过程中的实践活动,也使学生之 探究点二:平行四边形的面积 间的合作意识增强,与同学交流学习的气氛 4在口ABCD中, 更浓厚,从而加深了同学之间的友谊和师生 (1)如图①,O为对角线BD、AC的交之间的教学和谐,使得教学过程更加流畅, 点.求证:S△ABO=S△CBO; 教学相长 (2)如图②,设P为对角线BD上任一点 (点P与点B、D不重合),S△ABP与S△CBP仍 然相等吗?若相等,请证明:若不相等,请 说明理由 图① 解析:(1)根据“平行四边形的对角线互 相平分”可得AO=CO,再根据等底等高的 三角形的面积相等解答:(2)根据平行四边形 的性质可得点A、C到BD的距离相等,再 根据等底等高的三角形的面积相等解答 (1)证明:在 PABCD中,AO=CO设点B 到AC的距离为h,则S△ABO=AOh,S△CBO COh,∴S△ABO=S (2)解:S△ABP=S△CB理由如下:在口 ABCD中,点A、C到BD的距离相等,设
解析：根据平行四边形的性质“对角线 互相平分”得出 OA＝OC，OB＝OD.利用中 点的意义得出 OE ＝ OF ，从而利用 △FOD≌△EOB 可得出 BE＝DF，BE∥DF. 解：BE＝DF，BE∥DF.理由如下：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴OA＝OC， OB＝OD.∵E、F 分别是 OA、OC 的中点， ∴OE ＝ OF ， 又 ∵∠FOD ＝ ∠EOB ， ∴△FOD≌△EOB(SAS) ， ∴BE ＝ DF ， ∠ODF＝∠OBE，∴BE∥DF. 方法总结：在解决平行四边形的问题 时，如果有对角线的条件时，则首选对角线 互相平分的方法解决问题． 探究点二：平行四边形的面积 在▱ABCD 中， (1)如图①，O 为对角线 BD、AC 的交 点．求证：S△ABO＝S△CBO； (2)如图②，设 P 为对角线 BD 上任一点 (点 P 与点 B、D 不重合)，S△ABP 与 S△CBP 仍 然相等吗？若相等，请证明；若不相等，请 说明理由． 解析：(1)根据“平行四边形的对角线互 相平分”可得 AO＝CO，再根据等底等高的 三角形的面积相等解答；(2)根据平行四边形 的性质可得点 A、C 到 BD 的距离相等，再 根据等底等高的三角形的面积相等解答． (1)证明：在▱ABCD 中，AO＝CO.设点 B 到 AC 的距离为 h，则 S△ABO＝ 1 2 AO·h，S△CBO ＝ 1 2 CO·h，∴S△ABO＝S△CBO； (2)解：S△ABP ＝S△CBP.理由如下：在▱ ABCD 中，点 A、C 到 BD 的距离相等，设 为 h，则 S△ABP＝ 1 2 BP·h，S△CBP＝ 1 2 BP·h， ∴S△ABP＝S△CBP. 方法总结：平行四边形的对角线将平行 四边形分成四个面积相等的三角形．另外， 等底等高的三角形的面积相等． 三、板书设计 1．平行四边形对角线互相平分 2．平行四边形的面积 通过分组讨论学习和自主探究，加强了 学生在教学过程中的实践活动，也使学生之 间的合作意识增强，与同学交流学习的气氛 更浓厚，从而加深了同学之间的友谊和师生 之间的教学和谐，使得教学过程更加流畅， 教学相长．