18.2特殊的平行四边形 18.21矩形 第1课时矩形的性质 数学目标 角 圆例1在矩形ABCD中,O是BC的中 1.理解并掌握矩形的性质定理及推论:点,∠AOD=90°,矩形ABCD的周长为 (重点) 24cm,则AB长为() 2.会用矩形的性质定理及推论进行推 A.lcm B.2cmC.2.5 导证明;(重点) D. 4cm 3.会综合运用矩形的性质定理、推论 解析:在矩形ABCD中,O是BC的中 以及特殊三角形的性质进行证明与计点,∠AOD=90°根据矩形的性质得到 算.(难点) △ABO≌△OCD,则OA=OD,∠DAO= 45°,所以∠BOA=∠BAO=45°,即BC= 2AB.由矩形ABCD的周长为24cm,得2AB 十4AB=24cm,解得AB=4cm.故选D 、情境导入 方法总结:解题时矩形具有平行四边形 如图,用四段木条做一个平行四边形的的性质,又具有自己的特性,要注意运用矩 活动木框,将其直立在地面上轻轻地推动点 D,你会发现什么? 形具备而一般平行四边形不具备的性质 D C 【类型二】运用矩形的性质解决有 面积问题 可以发现,角的大小改变了,但不管如 何,它仍然保持平行四边形的形状 2如图,矩形ABCD的对角线的交 点为O,EF过点O且分别交AB,CD于点 E,F,则图中阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的() 我们若改变平行四边形的内角,使其 个内角恰好为直角,就得到一种特殊的平行 四边形,也就是我们早已熟悉的长方形,即 解析:∵在矩形ABCD中,AB∥CD, 矩形,如图所示 OB=OD,∴∠ABO=∠CDO在△BOE和 、合作探究 探究点一:矩形的性质 【类型一】运用矩形的性质求线段或
18．2 特殊的平行四边形 18．2.1 矩 形 第 1 课时 矩形的性质 1．理解并掌握矩形的性质定理及推论； (重点) 2．会用矩形的性质定理及推论进行推 导证明；(重点) 3．会综合运用矩形的性质定理、推论 以及特殊 三 角形 的性 质 进行 证明 与 计 算．(难点) 一、情境导入 如图，用四段木条做一个平行四边形的 活动木框，将其直立在地面上轻轻地推动点 D，你会发现什么？ 可以发现，角的大小改变了，但不管如 何，它仍然保持平行四边形的形状． 我们若改变平行四边形的内角，使其一 个内角恰好为直角，就得到一种特殊的平行 四边形，也就是我们早已熟悉的长方形，即 矩形，如图所示． 二、合作探究 探究点一：矩形的性质 【类型一】 运用矩形的性质求线段或 角 在矩形 ABCD 中，O 是 BC 的中 点，∠AOD＝90°，矩形 ABCD 的周长为 24cm，则 AB 长为( ) A．1cm B．2cm C．2.5cm D．4cm 解析：在矩形 ABCD 中，O 是 BC 的中 点，∠AOD＝90°. 根据矩形的 性质得到 △ABO≌△OCD，则 OA＝OD，∠DAO＝ 45°，所以∠BOA＝∠BAO＝45°，即 BC＝ 2AB.由矩形 ABCD 的周长为 24cm，得 2AB ＋4AB＝24cm，解得 AB＝4cm.故选 D. 方法总结：解题时矩形具有平行四边形 的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩 形具备而一般平行四边形不具备的性质． 【类型二】 运用矩形的性质解决有关 面积问题 如图，矩形 ABCD 的对角线的交 点为 O，EF 过点 O 且分别交 AB，CD 于点 E，F，则图中阴影部分的面积是矩形 ABCD 的面积的( ) A.1 5 B.1 4 C.1 3 D. 3 10 解析：∵在矩形 ABCD 中，AB∥CD， OB＝OD，∴∠ABO＝∠CDO.在△BOE 和
∠ABO=∠CDO, △DOF中 OB=OD ∠BOE=∠DOF, △BOE≌△DOF(ASA),∴S△BOE=S△DOF 例4如图,在矩形ABCD中,E、F分 ∴S=S△AOB=7 SHMlABCD.故选B 别是边BC、AB上的点,且EF=ED,EF⊥ED 求证:AE平分∠BAD 解析:要证AE平分∠BAD,可转化为 方法总结:运用矩形的性质,通过证明 △ABE为等腰直角三角形,得AB=BE.又 全等三角形进行转化,将求不规则图形的面 IB=CD,再将它们分别转化为两全等三角 形的两对应边,根据全等三角形的判定和矩 形的性质,即可求证 积转化为求简单图形面积是解题的关键 证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠B 【类型三】运用矩形的性质证明线段=∠C=∠BAD=90°,AB=CD,∴∠BEF ∠BFE=90°∵EF⊥ED,∴∠BEF+ ∠CED=90°∴∠BFE=∠CED,∴∠BEF =∠EDC.在△EBF与△DCE中 3如图,在矩形ABCD中,以顶点 B为圆心、边BC长为半径作弧,交AD边 ∠BEF=∠EDC 于点E,连接BE,过C点作CF⊥BE于F.∴△EBF≌△DCE(ASA).∴BE=CD.BE 求证:BF=AE =AB,∴∠BAE=∠BEA=45°,∴∠EAD 解析:利用矩形的性质得出AD∥BC 45°,∴∠BAE=∠EAD,∴AE平分∠BAD ∠A=90°,再利用全等三角形的判定得出 △BFC≌△EAB,进而得出答案 方法总结:矩形的问题可以转化到直角 证明:在矩形ABCD中,AD∥BC,∠A 90°,∴∠AEB=∠FBC.∵CF⊥BE, 角形或等腰三角形中去解决 ∴∠BFC=∠A=90°由作图可知,BC=BE 探究点二:直角三角形斜边上的中线的 ∠A=∠CFB, 性质 在△BFC和△EAB中,{∠AEB=∠FBC, EB=BC, ∴△BFC≌△EAB(AAS),∴BF=AE 方法总结:涉及与矩形性质有关的线段 例5如图,在△ABC中,AD是高,E、 F分别是AB、AC的中点 的证明,可运用题设条件结合三角形全等进 (1)若AB=10,AC=8,求四边形AEDF 行证明,一般是将两条线段转化到对全等的周长 (2)求证:EF垂直平分AD 三角形中进行证明 解析:(1)根据“直角三角形斜边上的中 【类型四】运用矩形的性质证明角相线等于斜边的一半”可得DE=AE=4B
△DOF 中 ， ∠ABO＝∠CDO， OB＝OD， ∠BOE＝∠DOF， ∴△BOE≌△DOF(ASA)，∴S△BOE＝S△DOF， ∴S 阴影＝S△AOB＝ 1 4 S 矩形 ABCD.故选 B. 方法总结：运用矩形的性质，通过证明 全等三角形进行转化，将求不规则图形的面 积转化为求简单图形面积是解题的关键． 【类型三】 运用矩形的性质证明线段 相等 如图，在矩形 ABCD 中，以顶点 B 为圆心、边 BC 长为半径作弧，交 AD 边 于点 E，连接 BE，过 C 点作 CF⊥BE 于 F. 求证：BF＝AE. 解析：利用矩形的性质得出 AD∥BC， ∠A＝90°，再利用全等三角形的判定得出 △BFC≌△EAB，进而得出答案． 证明：在矩形 ABCD 中，AD∥BC，∠A ＝ 90°， ∴∠AEB ＝ ∠FBC.∵CF⊥BE ， ∴∠BFC＝∠A＝90°.由作图可知，BC＝BE. 在△BFC 和△EAB 中， ∠A＝∠CFB， ∠AEB＝∠FBC， EB＝BC， ∴△BFC≌△EAB(AAS)，∴BF＝AE. 方法总结：涉及与矩形性质有关的线段 的证明，可运用题设条件结合三角形全等进 行证明，一般是将两条线段转化到一对全等 三角形中进行证明． 【类型四】 运用矩形的性质证明角相 等 如图，在矩形 ABCD 中，E、F 分 别是边BC、AB 上的点，且EF＝ED，EF⊥ED. 求证：AE 平分∠BAD. 解析：要证 AE 平分∠BAD，可转化为 △ABE 为等腰直角三角形，得 AB＝BE.又 AB＝CD，再将它们分别转化为两全等三角 形的两对应边，根据全等三角形的判定和矩 形的性质，即可求证． 证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD，∴∠BEF ＋ ∠BFE ＝ 90°.∵EF⊥ED ， ∴∠BEF ＋ ∠CED＝90°.∴∠BFE＝∠CED，∴∠BEF ＝ ∠EDC. 在 △EBF 与 △DCE 中 ， ∠BFE＝∠CED， EF＝ED， ∠BEF＝∠EDC， ∴△EBF≌△DCE(ASA)．∴BE＝CD.∴BE ＝AB，∴∠BAE＝∠BEA＝45°，∴∠EAD ＝45°，∴∠BAE＝∠EAD，∴AE 平分∠BAD. 方法总结：矩形的问题可以转化到直角 三角形或等腰三角形中去解决． 探究点二：直角三角形斜边上的中线的 性质 如图，在△ABC 中，AD 是高，E、 F 分别是 AB、AC 的中点． (1)若 AB＝10，AC＝8，求四边形 AEDF 的周长； (2)求证：EF 垂直平分 AD. 解析：(1)根据“直角三角形斜边上的中 线等于斜边的一半”可得 DE＝AE＝ 1 2 AB
DF=AF=AC,再根据四边形的周长的公 式计算即可得解;(2)根据“到线段两端点距 离相等的点在线段的垂直平分线上”证明 即可 (1)解:∵AD是△ABC的高,E、F分 别是AB、AC的中点,∴DE=AE ×10=5,DF=AF=AC=×8=4,∴四 边形AEDF的周长=AE+DE+DF+AF=5 +5+4+4=18 (2)证明:∵DE=AE,DF=AF,∴E F在线段AD的垂直平分线上,∴EF垂直平 分AD 方法总结:当已知条件含有线段的中 点、直角三角形的条件时,可联想直角三角 形斜边上的中线的性质进行求解 三、板书设计 1.矩形的性质 矩形的四个角都是直角;矩形的对角线 相等 2.直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半 教学反思 通过多媒体演示知识的探究过程,让学 生在体验、实践的过程中有更直观地认识, 扩大认知结构,发展能力,更好地理解平行 四边形与矩形之间的从属关系和内在联系 使课堂教学真正落实到学生的发展上
DF＝AF＝ 1 2 AC，再根据四边形的周长的公 式计算即可得解；(2)根据“到线段两端点距 离相等的点在线段的垂直平分线上”证明 即可． (1)解：∵AD 是△ABC 的高，E、F 分 别是 AB、AC 的中点，∴DE＝AE＝ 1 2 AB＝ 1 2 ×10＝5，DF＝AF＝ 1 2 AC＝ 1 2 ×8＝4，∴四 边形 AEDF 的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5 ＋5＋4＋4＝18； (2)证明：∵DE＝AE，DF＝AF，∴E、 F 在线段 AD 的垂直平分线上，∴EF 垂直平 分 AD. 方法总结：当已知条件含有线段的中 点、直角三角形的条件时，可联想直角三角 形斜边上的中线的性质进行求解． 三、板书设计 1．矩形的性质 矩形的四个角都是直角；矩形的对角线 相等． 2．直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半． 通过多媒体演示知识的探究过程，让学 生在体验、实践的过程中有更直观地认识， 扩大认知结构，发展能力，更好地理解平行 四边形与矩形之间的从属关系和内在联系， 使课堂教学真正落实到学生的发展上．