第2课时平行四边形的判定(2) 教学目标 解:四边形ABCD是平行四边形.理由 ∥BE,∴∠AFD=∠CEB.又 1.掌握“一组对边平行且相等的四边 AE 形是平行四边形”的判定方法;(重点) ∴△AFD≌△CEB(SAS),∴AD=CB, 2.掌握中位线的定义及中位线定理: ∠DAF=∠BCE,∴AD∥CB 四边形 (重点) ABCD是平行四边形 3.平行四边形性质与判定的综合运 用.(难点 方法总结:根据题设条件,通过证明三 角形全等,得出等量关系,继而证明四边形 数学过程 是平行四边形是判定时的一般解题思路 、情境导入 【类型二】判定平行四边形的条件 团例2四边形ABCD中,对角线AC、BD 相交于点O,给出下列四个条件: ①AD∥BC;②AD=BC:③OA=OC;④OB OD.从中任选两个条件,能使四边形 日日: ABCD为平行四边形的选法有() A.3种B.4种C.5种D.6 如图所示,吴伯伯家一块等边三角形种 ABC的空地,已知点E,F分别是边AB, 解析:①②组合可根据“一组对边平行 AC的中点,量得EF=5米,他想把四边形且相等的四边形是平行四边形”判定出四 BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡,你能求出边形ABCD为平行四边形;③④组合可根据 需要篱笆的长度吗? “对角线互相平分的四边形是平行四边 二、合作探究 形”判定出四边形ABCD为平行四边形;① 探究点一:一组对边平行且相等的四边③可证明△ADO≌△CBO,进而得到AD 形是平行四边形 CB,可利用“一组对边平行且相等的四边 【类型一】判定四边形是平行四边形形是平行四边形”判定出四边形ABCD为 D 平行四边形;①④可证明△ADO≌△CBO 进而得到AD=CB,可利用“一组对边平行 且相等的四边形是平行四边形”判定出四 边形ABCD为平行四边形;综上有4种可能 囹]如图,E、F是四边形ABCD的对使四边形ABCD为平行四边形.故选B 角线AC上的两点,AF=CE,DF=BE DF∥BE,四边形ABCD是平行四边形吗? 方法总结:熟练运用平行四边形的判定 请说明理由 解析:首先根据条件证 定理是解决问题的关键 △AFD≌△CEB,可得到AD=CB,∠DAF 探究点二:三角形的中位线 =∠BCE,可证出AD∥CB根据“一组对边 【类型一】利用三角形中位线定理求 平行且相等的四边形是平行四边形”可证线段的长 出结论, 囹3如图,在△ABC中,D、E分别为
第 2 课时 平行四边形的判定(2) 1.掌握“一组对边平行且相等的四边 形是平行四边形”的判定方法;(重点) 2.掌握中位线的定义及中位线定理; (重点) 3.平行四边形性质与判定的综合运 用.(难点) 一、情境导入 如图所示,吴伯伯家一块等边三角形 ABC 的空地,已知点 E,F 分别是边 AB, AC 的中点,量得 EF=5 米,他想把四边形 BCFE 用篱笆围成一圈放养小鸡,你能求出 需要篱笆的长度吗? 二、合作探究 探究点一:一组对边平行且相等的四边 形是平行四边形 【类型一】 判定四边形是平行四边形 如图,E、F 是四边形 ABCD 的对 角线 AC 上的两点,AF=CE,DF=BE, DF∥BE,四边形 ABCD 是平行四边形吗? 请说明理由. 解析: 首先根据条件证明 △AFD≌△CEB,可得到 AD=CB,∠DAF =∠BCE,可证出 AD∥CB.根据“一组对边 平行且相等的四边形是平行四边形”可证 出结论. 解:四边形 ABCD 是平行四边形.理由 如下:∵DF∥BE ,∴∠AFD=∠CEB. 又 ∵AF = CE , DF = BE , ∴△AFD≌△CEB(SAS) , ∴AD = CB , ∠DAF =∠BCE ,∴AD∥CB ,∴四边形 ABCD 是平行四边形. 方法总结:根据题设条件,通过证明三 角形全等,得出等量关系,继而证明四边形 是平行四边形是判定时的一般解题思路. 【类型二】 判定平行四边形的条件 四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相 交 于 点 O , 给 出 下 列 四 个 条 件 : ①AD∥BC;②AD=BC;③OA=OC;④OB =OD. 从中任选两个条件,能使四边形 ABCD 为平行四边形的选法有( ) A.3 种 B.4 种 C.5 种 D.6 种 解析:①②组合可根据“一组对边平行 且相等的四边形是平行四边形”判定出四 边形 ABCD 为平行四边形;③④组合可根据 “对角线互相平分的四边形是平行四边 形”判定出四边形 ABCD 为平行四边形;① ③可证明△ADO≌△CBO,进而得到 AD= CB,可利用“一组对边平行且相等的四边 形是平行四边形”判定出四边形 ABCD 为 平行四边形;①④可证明△ADO≌△CBO, 进而得到 AD=CB,可利用“一组对边平行 且相等的四边形是平行四边形”判定出四 边形 ABCD 为平行四边形;综上有 4 种可能 使四边形 ABCD 为平行四边形.故选 B. 方法总结:熟练运用平行四边形的判定 定理是解决问题的关键. 探究点二:三角形的中位线 【类型一】 利用三角形中位线定理求 线段的长 如图,在△ABC 中,D、E 分别为
AC、BC的中点,AF平分∠CAB,交DE于 点F若DF=3,则AC的长为() 些角度的计算问题 【类型三】运用三角形的中位线性质 进行计算 例5如图,在△ABC中,AB=5,AC B.3 3,点N为BC的中点,AM平分∠BAC, C.6 CM⊥AM,垂足为点M,延长CM交AB于 点D,求MN的长 解析:∵D、E分别为AC、BC的中点, 解析:首先证明△AMD≌△AMC,得 ∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥AB,∴∠2到DM=MC,易得MN为△BCD的中位线 =∠3.又∵AF平分∠CAB,∴∠1=∠3,即可解决问题 ∴∠1=∠2,∴AD=DF=3,∴AC=2AD 解:∵AM平分∠BAC,CM⊥AM, 6.故选C. ∴∠DAM=∠CAM,∠AMD=∠AMC.在 方法总结:本题考查了三角形中位线定 ∠DAM=∠CAM, △AMD与△AMC中,AM=AM, 理,等腰三角形的判定与性质.解题的关键 ∠AMD=∠AMC, 是熟记性质并熟练应用 ∴△AMD≌△AMC(ASA,∴AD=AC=3 DM=CM又∵BN=CN,∴MN为△BCD的 角 【类型二】租用三角形中位线定理中位线,∴:MD=2BD=2×(5-3)=1 方法总结:当已知三角形的一边的中点 时,要注意分析问题中是否有隐含的中点 2 【类型四】中位线定理的综合应甩 囹4如图,C、D分别为EA、EB的中 点,∠E=30°,∠1=110°,则∠2的度数为 A.80° B.90° 团例6如图,E为 DABCD中DC边的延 解析:∵C、D分别为EA、EB的中点,长线上一点,且CE=DC,连接AE,分别 ∴CD是△EAB的中位线,∴CD∥AB,∴∠2交BC、BD于点F、G,连接AC交BD于O ∠ECD∠1=110°,∠E=30°,∴∠2连接OF,判断AB与OF的位置关系和大小 =∠ECD=80°故选A 关系,并证明你的结论 解析:本题可先证明△ABF≌△ECF, 方法总结:中位线定理涉及平行线,所 从而得出BF=CF,这样就得出了OF是 以利用中位线定理中的平行关系可以解决△ABC的中位线,从而利用中位线定理即可 得出线段OF与线段AB的关系
AC、BC 的中点,AF 平分∠CAB,交 DE 于 点 F.若 DF=3,则 AC 的长为( ) A.3 2 B.3 C.6 D.9 解析:∵D、E 分别为 AC、BC 的中点, ∴DE 是△ABC 的中位线,∴DE∥AB,∴∠2 =∠3.又∵AF 平分∠CAB,∴∠1=∠3, ∴∠1=∠2,∴AD=DF=3,∴AC=2AD =6.故选 C. 方法总结:本题考查了三角形中位线定 理,等腰三角形的判定与性质.解题的关键 是熟记性质并熟练应用. 【类型二】 利用三角形中位线定理求 角 如图,C、D 分别为 EA、EB 的中 点,∠E=30°,∠1=110°,则∠2 的度数为 ( ) A.80° B.90° C.100° D.110° 解析:∵C、D 分别为 EA、EB 的中点, ∴CD 是△EAB 的中位线,∴CD∥AB,∴∠2 =∠ECD.∵∠1=110°,∠E=30°,∴∠2 =∠ECD=80°.故选 A. 方法总结:中位线定理涉及平行线,所 以利用中位线定理中的平行关系可以解决 一些角度的计算问题. 【类型三】 运用三角形的中位线性质 进行计算 如图,在△ABC 中,AB=5,AC =3,点 N 为 BC 的中点,AM 平分∠BAC, CM⊥AM,垂足为点 M,延长 CM 交 AB 于 点 D,求 MN 的长. 解析:首先证明△AMD≌△AMC,得 到 DM=MC,易得 MN 为△BCD 的中位线, 即可解决问题. 解:∵AM 平分∠BAC,CM⊥AM , ∴∠DAM =∠CAM ,∠AMD=∠AMC. 在 △AMD 与△AMC 中, ∠DAM=∠CAM, AM=AM, ∠AMD=∠AMC, ∴△AMD≌△AMC(ASA),∴AD=AC=3, DM=CM.又∵BN=CN,∴MN 为△BCD 的 中位线,∴MN= 1 2 BD= 1 2 ×(5-3)=1. 方法总结:当已知三角形的一边的中点 时,要注意分析问题中是否有隐含的中点. 【类型四】 中位线定理的综合应用 如图,E 为▱ABCD 中 DC 边的延 长线上一点,且 CE=DC,连接 AE,分别 交 BC、BD 于点 F、G,连接 AC 交 BD 于 O, 连接 OF,判断 AB 与 OF 的位置关系和大小 关系,并证明你的结论. 解析:本题可先证明△ABF≌△ECF, 从而得出 BF=CF,这样就得出了 OF 是 △ABC 的中位线,从而利用中位线定理即可 得出线段 OF 与线段 AB 的关系.
解:AB∥OF,AB=2OF证明如下: 四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD, AB∥CD,OA=OC,∴∠BAF=∠CEF ∠ABF=∠ECF∵∴CE=DC,∴AB=CE在 ∠BAF=∠CEF, △ABF和△ECF中,{AB=CE, ∠ABF=∠ECF, ∴△ABF≌△ECF(ASA),∴BF=CF∵OA =OC,∴OF是△ABC的中位线 AB∥OF,AB=20F. 方法总结:本题综合的知识点比较多, 解答本题的关键是判断出OF是△ABC的中 位线 三、板书设计 1.平行四边形的判定定理(2) 一组对边平行且相等的四边形是平行 四边形 2.三角形的中位线 三角形的中位线平行于第三边,且等于 第三边的一半 数学反思 本节课,通过实际生活中的例子引出三 角形的中位线,又从理论上进行了验证.在 学习的过程中,体会到了三角形中位线定理 的应用时机.对整个课堂的学习过程进行反 思,能够促进理解,提高认识水平,从而促 进数学观点的形成和发展,更好地进行知识 建构,实现良性循环
解:AB∥OF,AB=2OF.证明如下:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴AB=CD, AB∥CD,OA=OC,∴∠BAF=∠CEF, ∠ABF=∠ECF.∵CE=DC,∴AB=CE.在 △ABF 和△ECF 中, ∠BAF=∠CEF, AB=CE, ∠ABF=∠ECF, ∴△ABF≌△ECF(ASA),∴BF=CF.∵OA = OC , ∴OF 是 △ABC 的 中 位 线 , ∴AB∥OF,AB=2OF. 方法总结:本题综合的知识点比较多, 解答本题的关键是判断出 OF 是△ABC 的中 位线. 三、板书设计 1.平行四边形的判定定理(2) 一组对边平行且相等的四边形是平行 四边形. 2.三角形的中位线 三角形的中位线平行于第三边,且等于 第三边的一半. 本节课,通过实际生活中的例子引出三 角形的中位线,又从理论上进行了验证.在 学习的过程中,体会到了三角形中位线定理 的应用时机.对整个课堂的学习过程进行反 思,能够促进理解,提高认识水平,从而促 进数学观点的形成和发展,更好地进行知识 建构,实现良性循环.