第十六章二次根式 教学目标 1.使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质,并能熟练地化简含二次根式的式子; 2.熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算 教学重点和难点 重点:含二次根式的式子的混合运算 难点:综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子 教学过程设计 、复习 1.请同学回忆二次根式有哪些基本性质?用式子表示出来,并说明各式成立的条件 指出:二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的,主要应用于化简二次 根式 2.二次根式的乘法及除法的法则是什么?用式子表示出来 指出:二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的.把两个二次根式相除 √a 先写成分式形式,即+Mbv·再运用二次根式的除法法则进行计算,计算, 计算结果要把分母有理化 3.在二次根式的化简或计算中,还常用到以下两个二次根式的关系式 1)a=(a)2(a≥0);(2)al=√a2 4.在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中,常运用三个可逆的式子: (1)(√a)2=a(a>0)与a=(√a)2(a>0); (2)的b=√a·√b(a>0,b>0)与a√6=√ab(a>0,b>0); a√a a (a>0,b>0)与 (a≥0,b>0)
第十六章 二次根式 教学目标 1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子； 2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算． 教学重点和难点 重点：含二次根式的式子的混合运算． 难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子． 教学过程设计 一、复习 1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件． 指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次 根式． 2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来． 指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二次根式相除， 计算结果要把分母有理化． 3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式： 4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：
例如,化简 7 可以用3种方法 √7 (1)直接约分 77 (2)分母有理化 √()2 (3)看作二次根式的除法 7√49 5.a不一定能化成(:.Vy7 当a≥0时,如(√5)2=32=(5)2,(√)2=√02=(√6)2,此时,√a (a)2;当a0,即x≤3;要使x-2有意义,必须x-2>0, 即x≥2.所以使式子√3-x+z-2有意义的x值为2≤x3 (2)因为1-x2=11x,当x=±1时,12=0,原式没有意义,所以当x≠±1时
二、例题 例 1 x 取什么值时，下列各式在实数范围内有意义： 分析： (1)题是两个二次根式的和，x 的取值必须使两个二次根式都有意义； (3)题是两个二次根式的和，x 的取值必须使两个二次根式都有意义； (4)题的分子是二次根式，分母是含 x 的单项式，因此 x 的取值必须使二次根式有 意义，同时使分母的值不等于零．
式子 有意义 (3)因为使√2x有意义的x值为x>0,使=2x有意义的取值为x≤0,所以使、2x +√-2x有意义的x值为x=0 (4因为使√x+2有意义的取值为x+2>0,即x>-2,而分母3≠0,即x≠0,所 以使式子有意义的x取值为 X≥-2且x≠0 9+ +4 例2已知m,n为实数,且满足m= 求6m-3n的值 分析:先根据己知条件求出m与n的值,冉求多项式6m-3n的值.二次根式√n2-9 与9-n2有意义的条件分别是n2-9>0及9-n2>0,从中求得n的值,从而确定m的值 解因为n2-9≥0,9-n2≥0,且n-3≠0,所以n2=9且n≠3,所以 √9-n2+442 n 6m-3n=6×(-2)-3(-3)=5 指出:例和例2主要复习二次根式的意义,即当a≥0时,二次根式a有意义 例3 计算 分析:第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式.把它们分别分 解因式后,再利用二次根式的基本性质把式子化简,化简中应注意利用题中的隐含条件3-a ≥0和1-a>0
x≥-2 且 x≠0． 解因为 n 2 -9≥0，9-n 2≥0，且 n-3≠0，所以 n 2 =9 且 n≠3，所以 例 3 分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别分 解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件 3-a ≥0 和 1-a＞0．
解因为1-a>0,3-a≥0,所以 (a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0 a2-4a+3a-2√1-a(a-1(a-3)a-2 (a-1(a-3a-2 √a-1)(a-3 2-a 3-a1 √1-a√1 指出:由于二次根式的基本性质√a=a要由a的取值范围确定,即 0) √6 成立的条件是a>0及b≥0(a≥0,b>0),因此在运用 这些性质化简含二次根式的式子时,要注意上述条件,并要阐述清楚是怎样满足 这些条件的. 例4已知 求 4的值 问:上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式? 答(-)+4-2+-2(192-2
解 因为 1-a＞0，3-a≥0，所以 a＜1，|a-2|＝2-a． (a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0． 这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足 这些条件的． 问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？
问:如何确定a+及a的值是正值还是负值? 答,可由已知条件a=万+、V3-、>0,2-+,知a+>0. a--=(√/3 (√3-√2)-(3+√2) =22<0 解 -- 当 a=+ 时 原式=2a=2(3-√2)=23-2√2 分析:先把第二个式子化简,再把两个式子进行通分,然后进行计算 例5计算+x+一x+-2-1+x 解 1+ X √1+x+√1-x√1+x2-1+x √1 1+x2-1+x +X 1+x(+x-√1 -x)+1 x(√1+x+√1-x) (√1+x+√1-x)(√1+x
分析：先把第二个式子化简，再把两个式子进行通分，然后进行计算． 解
X 1+x+√1-x√1-x(1+x)-(√1-x)2 1+x √1+x+√1-x√1-x(1+x-1-x) 1+x-√1+x 注意 1.因为第二个式子中的分母√1-x2-1+x≠0,因此x≠1 所以在化简过程中,分子与分母可以同除以小一x 2.例5中运用了二次根式的基本性质ab=a·√(a≥0,b>0和关系式a=(a)2 (a>0进行二次根式的混合运算 例6 n+2+√m2-4n+2-√n2-4 计算 分析:如果把两个式子通分,或把每一个式子的分母有理化再进行计算,这两种 方法的运算量都较大,根据式子的结构特点,分别把两个式子的分母看作一个整体,用换元 法把式子变形,就可以使运算变为简捷. 解设a=n+2+m2-4,b=n+2-√m2-4,那么 a+b=2(n+2),ab=(n+2)2-(n2-4)=4(n+2), 所以原式=2+b=2+b=(+b)-2=(a+b)2:2=40+2 b a 4(n+2) 三、课堂练习 1.选择题: (1a-2)2=2-a,a的取值范围是
注意： 所以在化简过程中， 例 6 分析：如果把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理化再进行计算，这两种 方法的运算量都较大，根据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看作一个整体，用换元 法把式子变形，就可以使运算变为简捷． a+b＝2(n+2)，ab=(n+2)2 -(n2 -4)＝4(n+2)， 三、课堂练习 1．选择题： A．a≤2 B．a≥2
C.a≠2D.a0,b0,by>0=
C．a≠2 D．a＜2 A．x+2 B．-x-2 C．-x+2 D．x-2 A．2x B．2a C．-2x D．-2a 2．填空题：
(10(mVm2-n2(m>n>0,ay) 2.把下列各式化成最简二次根式:
4．计算： 四、小结 1．本节课复习的五个基本问题是“二次根式”这一章的主要基础知识，同学们要 深刻理解并牢固掌握． 2．在一次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中的使二次根式有意 义的条件(或题中的隐含条件)，即被开方数为非负数，以确定被开方数中的字母或式子的取 值范围． 3．运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，一定要注意论述每一个 性质中字母的取值范围的条件． 4．通过例题的讨论，要学会综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和法则以 及有关多项式的因式分解，解答有关含二次根式的式子的化简、计算及求值等问题． 五、作业 1．x 是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？ 2．把下列各式化成最简二次根式：
(1)√500 (2)√32b2; Vab (4) a(x>y