第十七章勾股定理 小结与复习 要点梳理 考点讲练 课堂小结 课后作业
小结与复习 第十七章 勾股定理 要点梳理 考点讲练 课堂小结 课后作业
要点梳理 、勾股定理 1如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边 为c,那么 +b2 B 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 2勾股定理的应用条件 在直角三角形中才可以运用 3勾股定理表达式的常见变形: b2.b2 C + C b. b
要点梳理 1.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边 为c，那么 a 2+ b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 在直角三角形中才可以运用 2.勾股定理的应用条件 一、勾股定理 3.勾股定理表达式的常见变形： a 2＝c 2－b 2 , b 2＝c 2－a 2 ， 2 2 2 2 2 2 c a b a c b b c a = + = − = − , , A C B c a b
二、勾股定理的逆定理 1勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a,b,c满足 B a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形 2勾股数 满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数 3原命题与逆命题 如果两个命题的题设、结论正好相反,那么把其中 个叫做原命题,另一个叫做它的逆命题
二、勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足 a 2 +b 2=c 2 ，那么这个三角形是直角三角形. 满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数. 2.勾股数 3.原命题与逆命题 如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中 一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题. A C B c a b
考点讲练 考点一勾股定理及其应用 例1在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D, AC=20,BC=15 (1)求AB的长 (2)求BD的长 解:(1)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°, AB=√AC2+BC2=y202+152=25 (2)方法 ∵S△ABC2 AC·BC==ABCD ∴20×15=25CD, CD=12 在Rt△BCD中,BD=√BC2-CD2=√152-122=9
例1 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D， AC=20，BC=15. （1）求AB的长； （2）求BD的长． 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°， （2）方法一：∵S△ABC= AC•BC= AB•CD， ∴20×15=25CD， ∴CD=12． ∴在Rt△BCD中，2 2 2 2 = + = + = AB AC BC 20 15 25; 1 2 1 2 2 2 2 2 BD BC CD = − = − = 15 12 9. 考点一 勾股定理及其应用 考点讲练
方法二:设BD=x,则AD=25-x AC-AD=CD. BC-BD=CD AC2-AD2=BC2-BD 202-(25-x)2=152-x2,即50x=450, 解得x=9.∴BD=9 方法总结 对于本题类似的模型,若已知两直角边求斜边上的 高常需结合面积的两种表示法起来考查,若是同本 题(2)中两直角三角形共一边的情况,还可利用勾 股定理列方程求解
方法二：设BD=x,则AD=25-x. 2 2 2 2 2 2 AC AD CD BC BD CD − = − = , , 2 2 2 2 − = − AC AD BC BD , ( ) 2 2 2 2 − − = − 20 25 15 , 50 =450 x x x 即 ， 解得x=9.∴BD=9. 方法总结 对于本题类似的模型，若已知两直角边求斜边上的 高常需结合面积的两种表示法起来考查，若是同本 题(2)中两直角三角形共一边的情况，还可利用勾 股定理列方程求解
针对训练 1Rt△ABC中,斜边BC=2,则AB2+AC2+BC2的值为 (A) A.8 B.4 C.6 D无法计算 2如图,∠C=∠ABD=90°,AC=4,BC=3,BD=12, 则AD的长为_13 3直角三角形的三边分别为2、3、x,那么以x为边 长的正方形的面积为13或5
针对训练 1.Rt△ABC中，斜边BC=2，则AB2+AC2+BC2的值为 （ ） A.8 B.4 C.6 D.无法计算 A 3.一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么以x为边 长的正方形的面积为___________. 2.如图，∠C=∠ABD=90°，AC=4，BC=3，BD=12， 则AD的长为______． 13或5 13
4.已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=14cm, C=10cm,求△ABC的面积 解:∵a+b=14, ∴(a+b)2=196 又∵a2+b2=c2=100, ∴2ab=196-(a2+b2)=96, ab=24 2
4．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a +b=14cm， c=10cm，求△ABC的面积. 解：∵a+b=14， ∴(a+b) 2=196. 又∵a 2+b 2=c 2=100， ∴2ab=196-(a 2+b 2 )=96， ∴ 1 ab=24． 2
例2我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有 趣的问题,这个问题的意思是:有一个水池,水面是 个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根新生 的芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇垂直拉向岸 边,它的顶端怡好到达岸边的水面,请问这个水池的 深度和这根芦苇的长度各是多少?
例2 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有 趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是 一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生 的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸 边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的 深度和这根芦苇的长度各是多少？
解:如图,设水池的水深AC为x尺, 则这根芦苇长AD=AB=(x+1)尺, D 在直角三角形ABC中,BC=5尺 B 由勾股定理得BC2+AC2=AB2, 即52+x2=(x+1)2 25+x2=x2+2x+1, 2x=24, x=12,x+1=13 答:水池的水深12尺,这根芦苇长13尺
解：如图，设水池的水深AC为x尺， 则这根芦苇长AD=AB=（x+1）尺， 在直角三角形ABC中，BC=5尺 由勾股定理得BC2+AC2=AB2 , 即 5 2+ x 2= (x+1)2 25+ x 2= x 2+2x+1， 2x=24， ∴ x=12， x+1=13. 答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺. D C B A
例3如图所示,一只蚂蚁从实心长方体的顶点4出发, 沿长方体的表面爬到对角顶点C处,问怎样走路线最 短?最短路线长为多少? 解析:蚂蚁由A点沿长方体的表面A B 爬行到C1点,有三种方式: ①沿ABB1A1和A1B1CD面;②沿ABB141和BCC1B1面; ③沿AA1DD和A1B1C1D1面,把三种方式分别展成平 面图形如下: B B A B 4 B A A14B1
例3 如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发， 沿长方体的表面爬到对角顶点C1处，问怎样走路线最 短？最短路线长为多少？ 解析：蚂蚁由A点沿长方体的表面 爬行到C1点，有三种方式： ①沿ABB1A1和A1 B1C1D1面；②沿ABB1A1和BCC1B1面； ③沿AA1D1D和A1B1C1D1面，把三种方式分别展成平 面图形如下：