第十七章勾股定理 教学备注 172勾股定理的逆定理 第1课时勾股定理的逆定理 学习目标:1掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数 2.能证明勾股定理的逆定理,能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否 为直角三角形 重点:掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数. 难点:能证明勾股定理的逆定理,能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角 学生在课前三角形 完成自主学 习部分 自主学习 配套PT讲一、知识回顾 授 1.勾股定理的内容是什么? 1.情景引入 (见幻灯片2.求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长 ①a=3,b=4 ②a=2.5,b=6 ③a=4,b=7.5. 课堂探究 要点探究 2探究点1新探究点1;勾股定理的逆定理 知讲授 量一量有以下三组数,分别以每组数为三边长作出三角形,用量角器量一量,它们都 (见幻灯片是直角三角形吗?④5,12,13:②7,24,25;88,15,12 5-17) 算一算这三组数在数量关系上有什么相同点? 思考据此你有什么猜想呢? 猜测:如果三角形的三边长ab,c满足 那么这个三角形是 三角形 活动2为了验证活动1的猜测,下面我们根据全等进行证明. 证一证已知:如图,△ABC的三边长a,b,c,满足a2+b2=c2 求证:△ABC是直角三角形 证明:作Rt△A′B′C′,使∠C′=90°,A′C′=b,B'′C′=a 则 ∵a2+b2=c2,∴A′B′= 在△ABC和△A′B′C′中, AC′=AC △A′B'C ∵∠C∠C 90°,即△ABC是 三角形 要点归纳:勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a、b、c满足a+b2=c2,那么这个三角形是直角三
第十七章 勾股定理 17.2 勾股定理的逆定理 第 1 课时 勾股定理的逆定理 学习目标：1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数； 2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否 为直角三角形. 重点：掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数. 难点：能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角 三角形. 一、知识回顾 1.勾股定理的内容是什么？ 2. 求以线段 a、b 为直角边的直角三角形的斜边 c 的长： ① a＝3，b＝4； ② a＝2.5，b＝6； ③ a＝4，b＝7.5. 一、要点探究 探究点 1：勾股定理的逆定理 量一量 有以下三组数，分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都 是直角三角形吗？①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17. 算一算 这三组数在数量关系上有什么相同点？ 思考 据此你有什么猜想呢? 猜测：如果三角形的三边长 a,b,c 满足___________,那么这个三角形是_________三角形. 活动 2 为了验证活动 1 的猜测，下面我们根据全等进行证明. 证一证 已知：如图，△ABC 的三边长 a，b，c，满足 a 2+b2=c2． 求证：△ABC 是直角三角形． 证明：作 Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a， 则 A′B′2=_______+________ 。 ∵a 2+b2=c2，∴A′B′=_______. 在△ABC 和△A′B′C′中， A′C′=AC， B′C′=BC， ∴△ABC____△A′B′C′(________) . ______=_______, ∴∠C____∠C′_____90° ， 即△ABC 是__________三角形. 要点归纳：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a 、b 、c 满足 a 2+b2=c2，那么这个三角形是直角三 课堂探究 自主学习 教学备注 学 生 在 课 前 完 成 自 主 学 习部分 配套 PPT 讲 授 1.情景引入 （ 见 幻 灯 片 3-5） 2.探究点 1 新 知讲授 （ 见 幻 灯 片 5-17）
角形 特别说明:勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理,即已知三角形的三边长, 教学备注 且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方,即可判断此三角形为直角三角形,最长边所 对应的角为直角 例精机 例1(教材P32例1变式题若△ABC的三边ab,c满足a.b:c=345,是判断 △ABC的形状 2探究点1新 知讲授 (见幻灯片 17) 方法总结:已知三角形三边的比例关系判断三角形形状:先设出参数,表示出三条边的长,再 用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形如果此直角三角形的三边中有两个相同的数, 那么该三角形还是等腰三角形 例2(1)若△ABC的三边abc,且a+b=4ab=1,c=√14,试说明△ABC是直角三角形 (2)若△ABC的三边ab,c满足a2+b2+c2+50=6a8b+10c.试判断△ABC的形状 例3如图,在正方形ABCD中,F是CD的中点,E为BC上一点,且CE=LCB,试判断AF 与EF的位置关系,并说明理由 合对训綗 1.下列各组线段中,能构成直角三角形的是() A.2,3,4 B.3,4,6 C.5,12,13 D.4,6,7 2一个三角形的三边的长分别是3,4,5,则该三角形最长边上的高是( B.3 D.2.4 3若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC是 探究点2:勾股数 要点归纳:勾股数:如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角 3探究点2新 形满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数 知讲投 常见的勾股数:3,4,5;5,12,13:6,8,10;7,24,25;8,15,17:9,40 (见幻灯片 41;10,24,26等等 18-20) 勾股数拓展性质:一组勾股数,都扩大相同倍数k(k为正整数),得到一组新数, 这组数同样是勾股数
角形. 特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长， 且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所 对应的角为直角. 典例精析 例 1(教材 P32 例 1 变式题)若△ABC 的三边 a,b,c 满足 a:b: c=3:4:5，是判断 △ABC 的形状. 方法总结:已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再 用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数， 那么该三角形还是等腰三角形. 例 2(1)若△ABC 的三边 a,b,c，且 a+b=4,ab=1,c= 14 ，试说明△ABC 是直角三角形. (2) 若△ABC 的三边 a,b,c 满足 a 2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC 的形状. 例 3 如图，在正方形 ABCD 中，F 是 CD 的中点，E 为 BC 上一点，且 CE＝1 4 CB，试判断 AF 与 EF 的位置关系，并说明理由. 针对训练 1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，7 2.一个三角形的三边的长分别是 3，4，5，则该三角形最长边上的高是 ( ） A．4 B．3 C．2.5 D．2.4 3.若△ABC 的三边 a、b、c 满足(a-b)(a2+b2 -c 2 )=0，则△ABC 是_______________________. 探究点 2：勾股数 要点归纳：勾股数：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a 2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角 形.满足 a 2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数. 常见的勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40， 41；10，24，26 等等. 勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数 k(k 为正整数)，得到一组新数， 这组数同样是勾股数. 教学备注 2.探究点 1 新 知讲授 （ 见 幻灯片 5-17） 3.探究点 2 新 知讲授 （ 见 幻灯片 18-20）
典例精 例4下列各组数是勾股数的是 教学备注 A.6,8,10 B.7,8,9 配套PPT讲授 C.0.3,0.4,0.5 D.52,122,132 3探究点2新 方法总结:根据勾股数的定义,勾股数必须为正整数,先排除小数,再计算最长边的平方是否知赛灯片 等于其他两边的平方和即可 (见幻 探究点3:互逆命题与互逆定理 18-20) 想一想1.前面我们学习了两个命题,分别为:命题1,如果直角三角形的两条直角边长分别 为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2;命题2,如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么 这个三角形是直角三角形.两个命题的条件和结论分别是什么? 2.两个命题的条件和结论有何联系? 4探究点3新 知讲授 (见幻灯片 要点归纳:原命题、逆命题与互逆命题:题设和结论正好相反的两个命题,叫做互逆命题,其2124 中一个叫做原命题,另一个叫做原命题的逆命题 互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,我们 称这两个定理互为逆定理勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理 针对训 1说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗? (1)两条直线平行,内错角相等 (2)如果两个实数相等,那么它们的绝对值相等 (3)全等三角形的对应角相等 (4)在角的内部,到角的两边距离相等的点在角的平分线上 课堂小 勾股定理 如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形 的逆定理 是直角三角形 5课堂小结 勾股定理 (见幻灯片 的逆定理的作用 从三边数量关系判定一个三角形是否是直角形三角形 30) 1.最长边不一定是c,∠C也不一定是直角 2.勾股数一定是正整数 当堂检测 1.下列各组数是勾股数的是 C.1.5,2,2.5 D.1,3,5
典例精析 例 4 下列各组数是勾股数的是 ( ) A.6，8，10 B.7，8，9 C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132 方法总结:根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否 等于其他两边的平方和即可. 探究点 3：互逆命题与互逆定理 想一想 1.前面我们学习了两个命题，分别为：命题 1，如果直角三角形的两条直角边长分别 为 a,b,斜边为 c,那么 a 2+b2=c2；命题 2，如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足 a 2+b2=c2,那么 这个三角形是直角三角形.两个命题的条件和结论分别是什么？ 2.两个命题的条件和结论有何联系？ 要点归纳：原命题、逆命题与互逆命题：题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其 中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题. 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们 称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理. 针对训练 1 说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗？ (1)两条直线平行，内错角相等； (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等； (4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 二、课堂小结 内 容 勾股定理 的逆定理 如果三角形的三边长 a 、b 、c 满足 a 2+b2=c2，那么这个三角形 是直角三角形. 勾股定理 的逆定理的作用 从三边数量关系判定一个三角形是否是直角形三角形. 注 意 1. 最长边不一定是 c， ∠C 也不一定是直角. 2. 勾股数一定是正整数. 1.下列各组数是勾股数的是 ( ) A.3，4，7 B.5，12，13 C.1.5，2，2.5 D.1，3，5 当堂检测 教学备注 配套 PPT 讲授 3.探究点 2 新 知讲授 （ 见 幻灯片 18-20） 4.探究点 3 新 知讲授 （ 见 幻灯片 21-24） 5.课堂小结 （ 见 幻灯片 30）
2.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形 教学备注 A.是直角三角形 B可能是锐角三角形 C.可能是钝角三角形D不可能是直角三角形 3.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别 6当堂检测 ①若∠C-∠B=∠A,则△ABC是直角三角形 ②若c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90 (见幻灯片③若(+a)(-a)=+3,则△ABC是直角三角形 2529) ④若∠A:∠B:∠C=5:2:3,则△ABC是直角三角形 以上命题中的假命题个数是( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.已知a、b、c是△ABC三边的长,且满足关系式√a2+a2-b2+|-d=0,则△ABC的 形状是 5.(1)一个三角形的三边长分别为15cm,20cm,25cm,则该三角形最长边上的高是 (2)“等腰三角形两底角相等”的逆定理为 6.已知△ABC,AB=n2-1,BC=2n,AC=n2+1(n为大于1的正整数).问△ABC是直角三角形吗? 若是,哪一条边所对的角是直角?请说明理由 7如图,在四边形ABCD中,AB=8,BC=6,AC=10,AD(CD=5√2,求四边形ABCD的 面积 温馨提示配套课件及全册导学案WORD版见光盘 或网站下载: Www.youyL100com(无须登录,直接下
2. 将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形 ( ) A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形 C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形 3.在△ABC 中，∠A, ∠B, ∠C 的对边分别 a,b,c. ①若∠C- ∠B= ∠A,则△ABC 是直角三角形； ②若 c 2 =b2 -a 2 ,则△ABC 是直角三角形,且∠C=90°； ③若(c+a)(c-a)=b2 ,则△ABC 是直角三角形; ④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC 是直角三角形. 以上命题中的假命题个数是（ ） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4.已知 a、b、c 是△ABC 三边的长，且满足关系式 2 2 2 c a b c a + - + - = 0 ，则△ABC 的 形状是________________． 5.(1)一个三角形的三边长分别为 15cm,20cm,25cm，则该三角形最长边上的高是______cm; (2)“等腰三角形两底角相等”的逆定理为_______________________________________． 6.已知△ABC,AB=n2 -1,BC=2n,AC=n2 +1(n 为大于 1 的正整数).问△ABC 是直角三角形吗？ 若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由. 7.如图，在四边形 ABCD 中，AB=8，BC=6，AC=10，AD=CD= 5 2 ,求四边形 ABCD 的 面积. 教学备注 6.当堂检测 （ 见 幻灯片 25-29） 温馨提示：配套课件及全册导学案 WORD 版见光盘 或网站下载：www.youyi100.com(无须登录，直接下 载)