第十六章二次根式 教学备注 16.1二次根式 第1课时二次根式的概念 学习目标:1.理解二次根式的概念 2.掌握二次根式有意义的条件 3.会利用二次根式的非负性解决相关问题 重点:理解二次根式的概念及有意义的条件 难点:利用二次根式的有意义的条件及其非负性解题 学生在课前 自主学习 完成自主学 、知识链接 习部分 1什么叫作平方根? 2.什么叫作算术平方根?什么数有算术平方根? 、新知预习 用带根号的式子填空 (1)如图①的海报为正方形,若面积为2m,则边长为m:若面积为Sm2,则边长为 20)她 2017中国·天津 图 图② (2)如图②的海报为长方形,若长是宽的2倍,面积为6m2,则它的宽为m (3)个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下的高度h (单位:m)满足关系h=5r2,如果用含有h的式子表示t,那么t为 2自主归纳: (1)二次根式的概念:一般地,我们把形如Ⅶa(_0)的式子叫作二次根式 称为二次根号 (2)二次根式的双重非负性:二次根式的被开方数为 数,二次根式的值为 数
第十六章 二次根式 16.1 二次根式 第 1 课时 二次根式的概念 学习目标：1.理解二次根式的概念； 2.掌握二次根式有意义的条件； 3.会利用二次根式的非负性解决相关问题. 重点：理解二次根式的概念及有意义的条件. 难点：利用二次根式的有意义的条件及其非负性解题. 一、知识链接 1.什么叫作平方根？ 2.什么叫作算术平方根？什么数有算术平方根？ 二、新知预习 1. 用带根号的式子填空: (1)如图①的海报为正方形，若面积为 2m2 ,则边长为 m；若面积为 S m2，则边长为 ______ m． (2)如图②的海报为长方形，若长是宽的 2 倍，面积为 6m2，则它的宽为_____m． (3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度 h （单位：m）满足关系 h =5t 2，如果用含有 h 的式子表示 t ，那么 t 为_____． 2.自主归纳： （1）二次根式的概念：一般地，我们把形如 a a( ____0) 的式子叫作二次根式. “____” 称为二次根号. （2）二次根式的双重非负性：二次根式的被开方数为________数,二次根式的值为 _________数. 自主学习 教学备注 学 生 在 课 前 完 成 自 主 学 习部分 图 图
三、自学自测 1.下列各式中是二次根式的是() 教学备注 配套PPT讲授 AV3 Bc3-nD√-) 1情景引入 2二次根式√-x有意义的条件是 (见幻灯片 四、我的疑惑 3-8) 课堂探究 一、要点探究 2探究点1新 探究点1:二次根式的意义及有意义的条件 知讲授 (见幻灯片 问题1√2,√S,3,分别表示什么意义? 9-16) 问题2这些式子有什么共同特征? 要点归纳:一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫作二次根式“√”称为 例精团 例1下列各式中,哪些是二次根式?哪些不是? (1)√32,(2)6,(3)√-12;(4)√m(m≤0); √(x,}异号),(6)√a2+1;(75 方法总结:判断二次根式是,抓住二次根式两个必备特征:①外貌特征:含有“√” ②内在特征:被开方数a≥0 例2(教材P2例1变式题当x是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义? (2)V+3 方法总结:要使二次根式在实数范围内有意义,即需满足被开方数≥0,列不等式求解即 可若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时,应同时考虑分母不为零
三、自学自测 1.下列各式中是二次根式的是（ ） A. 3 3 B. 4 C. 3−π D. ( ) 3 −1 2.二次根式 5− x 有意义的条件是_____________. 四、我的疑惑 ____________________________________________________________ 一、要点探究 探究点 1：二次根式的意义及有意义的条件 问题 1 2, , 3, 5 h S 分别表示什么意义？ 问题 2 这些式子有什么共同特征？ 要点归纳：一般地，我们把形如 a a( ≥0) 的式子叫作二次根式. “ ”称为_______. 典例精析 例 1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ ( ) ( ) 2 3 (1) 32; (2) 6; (3) 12; (4) - 0 (5) , ; (6) 1; (7) 5. m m xy x y a − + ≤ ； 异号 方法总结:判断二次根式是，抓住二次根式两个必备特征：①外貌特征：含有“ ”； ②内在特征：被开方数 a≥0. 例 2 (教材 P2 例 1 变式题)当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 1 3 1 (2) . 1 1 x x x + − − （ ） ； 方法总结:要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即 可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零. 课堂探究 教学备注 配套 PPT 讲授 1.情景引入 （ 见 幻灯片 3-8） 2.探究点 1 新 知讲授 （ 见 幻灯片 9-16）
【变式题】当x是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义? 教学备注 配套Pr讲授(l)-x2+2x-1; (2) 方法总结:被开方数是多项式时,需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方 的形式,再进行分析讨论 对训 1下列各式:√、5、x-(x2)N27x+2x+1一定是二次根式的个数有 A.3个 B4个 2(1)若式子,工在实数范围内有意义,则x的取值范围是 (2)若式子+√F在实数范围内有意义,则x的取值范围是 2 探览点2新知探究点2:二次根式的双重非负性 讲授 (见幻灯片问题1:当x是怎样的实数时,√x2在实数范围内有意义?√x2呢? 17-22) 问题2:二次根式√G的被开方数a的取值范围是什么?它本身的取值范围又是什么? 要点归纳:二次根式的实质是表示一个非负数(或式)的算术平方根对于任意一个二 次根式√a,我们知道:(1)a为被开方数,为保证其有意义,可知a0: (2)G表示一个数或式的算术平方根,可知√a0 典例精析 例3若|a-2+√b-3+(c-4)=0,求ab+c的值 方法总结:多个非负数的和为零,则可得每个非负数均为零初中阶段学过的非负数主要 有绝对值、偶次幂及二次根式 例4已知y=√x-3+3-x+8,求3x+2y的算术平方根
【变式题】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 2 2 (1) 2 1; (2) 2 3. − + − − − − x x x x 方法总结:被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方 的形式，再进行分析讨论. 针对训练 1.下列各式: ( ) 2 2 3 3; 5; ; 1 1 27 2 1 − − + + a x x x x ≥ ； ; 一定是二次根式的个数有 ( ) A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 2.(1)若式子 1 2 x − 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是___________; (2)若式子 1 2 x x + − 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是___________. 探究点 2：二次根式的双重非负性 问题 1：当 x 是怎样的实数时， 2 x 在实数范围内有意义？ 3 x 呢？ 问题 2：二次根式 a 的被开方数 a 的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？ 要点归纳：二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二 次根式 a ，我们知道：（1）a 为被开方数，为保证其有意义，可知 a____0； （2） a 表示一个数或式的算术平方根，可知 a _____0. 典例精析 例 3 若 2 a b c − + − + − = 2 3 ( 4) 0 ，求 a-b+c 的值. 方法总结:多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要 有绝对值、偶次幂及二次根式. 例 4 已知 y= x x − + − + 3 3 8,求 3x+2y 的算术平方根. 教学备注 配套 PPT 讲授 3.探究点2 新知 讲授 （ 见 幻灯片 17-22）
【变式题】已知a,b为等腰三角形的两条边长,且ab满足b=√3-+√-6+4,(教学备注 求此三角形的周长 配套PPT讲授 方法总结:若y=√a+√a+b,则根据被开方数大于等于0,可得a=0. 对训綗 已知3xyl和√2x+y-4互为相反数,求x+4y的平方根 、课堂小结 次根式的概念|一般地,我们把形如√G(a=0)的式子叫作 4课堂小结(见 幻灯片29) 称为二次根号,根指数为可省略 二次根式有意义的 条件 被开方数(式)为 即√a有意义→a≥0 二次根式的非负性 双重非负性:a≥0√a≥0 当堂检测 5当堂检测 (见幻灯片 1.下列式子中,不属于二次根式的是() 2328) B.女a2C√7D 式 有意义的条件是 6 A.x>2 B.x≥2C.x<2 Dx≤2 3当x=时,二次根式√x+1取最小值,其最小值为 4当a是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义? (2)√2a+3;(3) 2
【变式题】已知 a，b 为等腰三角形的两条边长，且 a，b 满足 b a a = − + − + 3 2 6 4 ， 求此三角形的周长． 方法总结:若 y a a b = + − + ，则根据被开方数大于等于 0，可得 a=0. 针对训练 已知|3x-y-1|和 2 4 x y + − 互为相反数，求 x+4y 的平方根． 二、课堂小结 二次根式的概念 一般地，我们把形如 a a( ≥0) 的式子叫作___________. “ ” 称为二次根号，根指数为_____,可省略. 二次根式有意义的 条件 被开方数（式）为_________,即 a 有意义 a≥0. 二次根式的非负性 双重非负性： a a 0, 0. 1.下列式子中，不属于二次根式的是（ ） a C D − 2.式子 2 3 6 x − 有意义的条件是 （ ） A.x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤2 3.当 x=____时，二次根式 x +1 取最小值，其最小值为______． 4.当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 2 (1) 1 ; (2) 2 3; (3) ; (4) . 5 a a a a − + − − 当堂检测 教学备注 配套 PPT 讲授 4.课堂小结（见 幻灯片 29） 5.当堂检测 （ 见 幻灯片 23-28）
教学备注(1若二次根式√m=2有意义,求m的取值范围 配套PPT讲授 5当堂检测 (2)无论x取任何实数,代数式√x2+6x+m都有意义,求m的取值范围 (见幻灯片 2328) 6若x,y是实数,且y0.由乘法法则得{x0或 -1≥0,(x-1≤0, 解得x≥1或x≤0即当x≥1或x0时,F(x-)有意义 体会解题思想后,试着解答:当x为何值时, 有意义? 温馨提示配套课件及全册导学案WORD版见光盘 或网站下载: Www.youyL100c0m(无须登录,直接下
5.(1)若二次根式 2 2 2 m m m − − − 有意义，求 m 的取值范围． (2)无论 x 取任何实数，代数式 2 x x m + + 6 都有意义，求 m 的取值范围． 6.若 x，y 是实数，且 y＜ 1 1 1 2 x x − + − + ,求 1 1 y y − − 的值. 拓展提升 7.先阅读，后回答问题： 当 x 为何值时， x x( −1) 有意义？ 解：由题意得 x(x-1)≥0，由乘法法则得 0 0 1 0 1 0 x x x x − − ≥ ， ≤ ， 或 ≥ ， ≤ ， 解得 x≥1 或 x≤0.即当 x≥1 或 x≤0 时， x x( − 1) 有意义. 体会解题思想后，试着解答：当 x 为何值时， 2 2 1 x x − + 有意义？ 温馨提示：配套课件及全册导学案 WORD 版见光盘 或网站下载：www.youyi100.com(无须登录，直接下 载) 教学备注 配套 PPT 讲授 5.当堂检测 （ 见 幻灯片 23-28）