235 DearEDU. com 数学 七年级(下册) 义务教育教科书
义务教育教科书 七年级 （下 册）
把下列各式分解因式 (1)-x2-x 首项有负常提 各项有公先提添 (3)16m4-n4分解因式要也离 a2-b2=(a+b)(a-b)
把下列各式分解因式 首项有负常提负 各项有公先提公 分解因式要彻底 （1）-x²-x （2） ax4 -ax2 （3）16m4－n 4 a 2−b 2 = (a+b)(a−b)
DearEDU. com (a+b)2=a2+2ab+b2 完全平方公式: a-b)2=a2-2ab+b2 现在我们把完全平方公式反过来,可得 a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 两个数的平方和,加上(或西介数的单两 倍,等于这两数和的平属差) a+2ab+ b 形如a2-2cb+b 2的多项式称为完全平式
现在我们把完全平方公式反过来，可得： 两个数的平方和，加上 这两个数的积的两 倍，等于这两数和 的平方． 完全平方公式： 2 2 2 ( ) 2 a b a ab b + = + + 2 2 2 ( ) 2 a b a ab b − = − + 2 2 2 a ab b a b + + = + 2 ( ) 2 2 2 a ab b a b − + = − 2 ( ) 2 2 2 ( ) 2 a b a ab b + = + + 2 2 2 ( ) 2 a b a ab b − = − + （或减去） （或者差） 形如 的多项式称为完全平方式. 2 2 a ab b + + 2 2 2 a ab b − + 2
如何运用完全平方公式进行因式分解 a2-2b+b2=(a 9x2-6x+1=(3x)2-2(x)1+2=(3x-1)2 对照公式填一填 2+2ab+b2=(a+b)2 16x2+40x+25=(4x)2+2(4(5)+(5)2=(4x+5)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 5m2m+小2()()2=(mnP 用完全平方公式分解因式的关键是:判断 这个多项式是不是一个完全平方式
如何运用完全平方公式进行因式分解呢？ 2 9 6 1 x x − + 2 2 = − + (3 ) 2 (3 ) 1 1 x x 2 = − (3 1) x 2 2 2 a ab b a b − + = − 2 ( ) a 2 + 2ab + b2 = （ a + b ）2 a 2－2ab+b2 =（a－b）2 16x2+40x+25= ( )2+2( )( )+( )2 =( + )2 =( )2 - 2( )( )+( )2 =( - ) 2 4x 4x 5 5 4x 5 4 4 2 2 9 3 m mn n − + m 3 2 m 3 2 m 3 2 n n n 对照公式填一填 用完全平方公式分解因式的关键是：判断 这个多项式是不是一个完全平方式
一辨:判别下列各式是不是完全 2x12+x2+ (2)x2+4xy+4y2是 (3)a2-6ab+b2 不是 1 (4)x2+x+ 4 是 (5)a2+2ab+4b2不是 完全平方式特征: (1)多项式有3项; 2)其中两项为平方项(两数或式的平方和)且符号相同 3)另一项为中间项(上述两数或式积的2倍)符号可正可负 2 首 2×首x尾+尾 2
判别下列各式是不是完全平方式． 是 是 不是 是 不是 辨一辨： 完全平方式特征： （1）多项式有3项； （2）其中两项为平方项(两数或式的平方和),且符号相同. （3）另一项为中间项(上述两数或式积的2倍),符号可正可负 2 2 首2首尾 + 尾 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 4 4 3 6 1 4 4 5 2 4 xy x y x xy y a ab b x x a ab b − + + + + − + + + + +
P106 练一练:a2+2ab+b3 1填写下表(若某一栏不适用,请填入不是 是否是a、b各表表示为 表(a+b 多项式 完全平示什么 a2±2ab+b2或(a-b)2 方式 x2-6x+9是:表示:xx2-2°x°3+3(x-3 4y+4y+1是示:22y)+22y)4+(y+ 1+4a 不是 x X-+— 不是 1-m+-m2 是 a表示:m 2-2l(m)+(-m) (1-m b表示: y2-12xy+9x2 4 是表示:2y-202)0x+31(2y是3x) b表示:3x 先观察有几项, 再确定平方项(符号为相同)是分别是哪两个数或式的平方 最后检查剩余项是否符合这两个数积的2倍(中间项)
判断方法： 多项式 是否是 完全平 方式 a 、b各表 示什么 表示为： 表示为 或 形式 2 2 a 2ab + b 1.填写下表（若某一栏不适用，请填入不是，并说明理由） 6 9 2 x − x + 4 4 1 2 y + y + 2 1+ 4a 4 1 2 2 + + x x 1 2 1 4 − + m m 2 2 4y −12xy+9x 2 (a + b) 2 (a −b) 2 m 2 2 x x − • • + 2 3 3 2 2 (2 ) 2 (2 ) 1 1 y y + • • + 2 2 1 1 1 2 1 ( ) ( ) 2 2 − • • + m m 2 2 (2y) − 2•(2y)•(3x) + (3x) 2 (x −3) 2 (2y +1) 1 2 (1 ) 2 − m 2 (2y −3x) 是 是 是 是 不是 不是 a表示：x b表示：3 a表示：2y b表示：1 a表示：1 b表示： a表示：2y b表示：3x 2 2 a ab b + + 2 ； 2 2 a ab b − + 2 P106 先观察有几项， 再确定平方项(符号为相同)是分别是哪两个数或式的平方， 最后检查剩余项是否符合这两个数积的2倍（中间项）
2.按照完全平方公式填空:a2±2 (1)a2-10a+(25)=(a-5 分析:a2-2●a5+(52) (2)(a2y2)+2ay+1=(ay+1)2 分析:(ay)+210a+12 (3) 土rS)+r2s2=( ±rs) 2 分析:+(±2 (rs)2 2 2°)+
2.按照完全平方公式填空： a a 2 2 (1) 10 ( ) ( ) − + = 25 a − 5 ay 2 (2) ( ) 2 1 ( ) a y + + = 2 2 ay + 1 1 2 2 2 (3) ( ) ( ) 4 + r s rs + = rs 1 2 2 2 a ab b + 2 2 分析：a a − • • + 2 5 ( ) 2 5 2 ay 分析：( ) 2 1 1 ( ) + • • + 2 ay ( ) 2 1 2 ( ) 2 分析： + rs + 1 2 2 • • rs -
DearEDU. com 平方差公式法和完全平方公式法统称今式 平方差公式法:适用于平方差形式的多项 a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式法:适用于完全平方式 a2+2ab+b2=(a+b)2 2 2ab+b2=( a-b)2 提取公因式法:适用于各项含有公因式的多项式 ma+mb+mc=m(a+b+c)
平方差公式法和完全平方公式法统称公式法。 平方差公式法：适用于平方差形式的多项式 完全平方公式法：适用于完全平方式 a 2−b 2 = (a+b)(a−b) 2 2 2 a ab b a b + + = + 2 ( ) 2 2 2 a ab b a b − + = − 2 ( ) 提取公因式法：适用于各项含有公因式的多项式 ma+mb+mc=m(a+b+c)
例把下列各式分解因式: 9x2-12x+4y 注意不要被顺丿 平方项有负先提负 有公先提公,再用公式法
例1 把下列各式分解因式: ( ) ( ) ( ) x xy x y xy a ab b ax axy ay 2 2 2 2 2 2 2 2 1 9 12 4 2 4 4 (3) 6 9 4 4 8 4 − + y + − − + − + + 平方项有负先提负 注意不要被顺序迷惑 有公先提公，再用公式法
DearEDU. com 例2分解因式:(2x+y)2-6(2x+ 2 解(2x+y)-6(2x+y)+9 把2x+y看做 (2x+y)2-2(2x+y)3+322-2ab+b2 2x+y)-3 中的字母“a” 即设=2x+y, 2 =(2x+y-3) 这种数学思想称 为换元思想
(2 ) 6(2 ) 9 2 例2 分解因式: x + y − x + y + ( ) ( ) 2 2 6 2 9 x y x y + − + + ( ) 2 = + − [ 2 3] x y 2 = + − (2 3) x y 把2x＋y看做 a 2－2ab＋b 2 中的字母“a” 即设a＝2x＋y ， 这种数学思想称 为换元思想 ＝(2x＋y)2－2· (2x＋y) ·3 ＋3 2 解: