19.1矩形 19·12矩形的判定 第2课时矩形的判定的应用
19．1 矩形 19．1.2 矩形的判定 第2课时 矩形的判定的应用
知识点:矩形的判定的相关应用 下列说法正确的是(D) A·有一个角是直角的四边形是矩形 B·两条对角线相等的四边形是矩形 C·两条对角线垂直的四边形是矩形 D·四个角都是直角的四边形是矩形 2·如图,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OB, 若∠OAD=65°,则∠ODC等于(B) A·15°B.25°C.45°D.65
D 知识点：矩形的判定的相关应用 1．下列说法正确的是( ) A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．两条对角线相等的四边形是矩形 C．两条对角线垂直的四边形是矩形 D．四个角都是直角的四边形是矩形 2．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OB， 若∠OAD＝65°，则∠ODC等于( ) A．15° B．25° C．45° D．65° B
3.如图,一个平行四边形的活动框架,对角线是两根橡皮筋,若改变框架 的形状,则∠α也随之变化,两条对角线的长度也在发生变化,当∠α等于 90度时,两条对角线长度相等
90 3．如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋，若改变框架 的形状，则∠α也随之变化，两条对角线的长度也在发生变化，当∠α等于 __ __度时，两条对角线长度相等．
4·如图,AB=AC,AD=AE,DE=BC,且∠BAD=∠CAE求证:四边形 BCDE是矩形 鱗:先证△AEB≌△ADC(SAS),∴BE=DC,又∵DE=BC,∴四边形 BEDC单行四边形,∴∠EBC+∠DCB=180,又:△AEB≌△ADC ∠ABE=∠ACD,AB=AC,∠ABC=∠ACB,。∠EBC=∠DCB= 90°,∴四边形BCDE是矩形
4．如图，AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE.求证：四边形 BCDE是矩形． 解：先证△AEB≌△ADC(SAS)，∴BE＝DC，又∵DE＝BC，∴四边形 BEDC为平行四边形，∴∠EBC＋∠DCB＝180° ，又∵△AEB≌△ADC， ∴∠ABE＝∠ACD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠EBC＝∠DCB＝ 90° ，∴四边形BCDE是矩形
5·如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,已知下列6个条件:① AB∥DC;②AB=DC;③AC=BD;④∠ABC=90°;⑤OA=OC;⑥OB= OD则不能使四边形ABCD成为矩形的条件组合是(O A·①②③B.①②④C.②⑤⑥D.④⑤⑥ 6.四边形ABCD中,∠A=60°,∠ABC=∠ADC=90°,BC=2,CD= 11,过点D作DH⊥AB于点H,则DH的长是(A) A·7.5B.7C.6.5D.5.5
C A 5．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：① AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝ OD.则不能使四边形ABCD成为矩形的条件组合是( ) A．①②③ B．①②④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥ 6．四边形ABCD中，∠A＝60°，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝2，CD＝ 11，过点D作DH⊥AB于点H，则DH的长是( ) A．7.5 B．7 C．6.5 D．5.5
7·如图,在R△ABC中,∠A=90°,点P为边BC上一动点,PE⊥AB于点 E,PF⊥AC于点F,动点P从点B出发,沿着BC匀速向终点C运动,则线段EF 的值大小变化情况是(C A·一直增大B.一直减小 C·先减小后增大D.先增大后减小
7．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点P为边BC上一动点，PE⊥AB于点 E，PF⊥AC于点F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF 的值大小变化情况是( ) A．一直增大 B．一直减小 C．先减小后增大 D．先增大后减小 C
8.如图,在△ABC中,AB=AC,D为边BC上一点,以AB,BD为邻边作 □ABDE,连结AD,EC (1)求证:△ADC≌△ECD; (2)若BD=CD,求证:四边形ADCE是矩形 解:(1)∵四边形ABDE是平行四边形,∴AB=DE,AB∥DE,∴∠B= ∠EDC,又∵AB=AC,∴AB=AC=DE,∠B=∠ACD,∴∠ACD= ∠EDC,在△ADC与△ECD中,AC=DE,∠ACD=∠EDC,CD=DC, △ADC≌△ECD(2)由题意可知,AE絨CD,∴四边形ADCE为平行四边 形,又由(1)知AC=DE,∴四边形ADCE是矩形
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作 ▱ABDE，连结AD，EC. (1)求证：△ADC≌△ECD； (2)若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形． 解：(1)∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB＝DE，AB∥DE，∴∠B＝ ∠EDC，又∵AB＝AC，∴AB＝AC＝DE，∠B＝∠ACD，∴∠ACD＝ ∠EDC，在△ADC与△ECD中，AC＝DE，∠ACD＝∠EDC，CD＝DC， ∴△ADC≌△ECD (2)由题意可知，AE綊CD，∴四边形ADCE为平行四边 形，又由(1)知，AC＝DE，∴四边形ADCE是矩形
9.请看下面小明同学完成的一道证明题的思路:如图①,已知△ABC中, AB=AC,CD⊥AB,垂足是D,P是BC边上任意一点,PE⊥AB,PF⊥AC,垂 足分别是E,F 求证:PE+PF=CD 证明思路: 如图②,过点P作PG∥AB交CD于G,则四边形PGDE为矩形,则PE=GD;又 可证△PGC≌△CFP,则CG=PF所以PE+PF=DG+GC=CD 如图③,若点P是BC延长线上任意一点,其他条件不变,则PE,PF与CD有何 数量关系?请你写出结论并说明理由
9．请看下面小明同学完成的一道证明题的思路：如图①，已知△ABC中， AB＝AC，CD⊥AB，垂足是D，P是BC边上任意一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂 足分别是E，F. 求证：PE＋PF＝CD. 证明思路： 如图②，过点P作PG∥AB交CD于G，则四边形PGDE为矩形，则PE＝GD；又 可证△PGC≌△CFP，则CG＝PF.所以PE＋PF＝DG＋GC＝CD. 如图③，若点P是BC延长线上任意一点，其他条件不变，则PE，PF与CD有何 数量关系？请你写出结论并说明理由．
解:PE-PF=CD,理由如下:过点C作CG⊥PE于点G,∴PE⊥AB, CD⊥AB,∴∠CDE=∠DEG=∠EGC=90°,∴四边形CGED是矩形, ∴CD=GE,CG∥AB,∴∠GCP=∠B,∵AB=AC,∴∠B=∠ACB ∴∠FCP=∠ACB=∠B=∠GCP,∴△PFC≌△PGC(AAS),∴PF=PG ∴PE-PF=PE-PG=GE=CD,即PE-PF=CD
解：PE－PF＝CD，理由如下：过点C作CG⊥PE于点G，∵PE⊥AB， CD⊥AB，∴∠CDE＝∠DEG＝∠EGC＝90° ，∴四边形CGED是矩形， ∴CD＝GE，CG∥AB，∴∠GCP＝∠B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB， ∴∠FCP＝∠ACB＝∠B＝∠GCP，∴△PFC≌△PGC(AAS)，∴PF＝PG， ∴PE－PF＝PE－PG＝GE＝CD，即PE－PF＝CD