《完全平方公式》教案 【教学目标】 1知识与技能 (1)经历完全平方公式的探索及推导过程,掌握完全平方公式的结构特征并能熟练应用 (2)学会将多项式进行添括号的变形 2过程与方法 通过观察、操作、交流等活动发展空间观念和推理能力 3情感态度和价值观 通过师生共同活动,促进学生在学习活动中培养良好的情感,合作交流,主动参与的意识,在独 立思考的同时能够认同他人 【教学重点】 完全平方公式及其它的应用。 【教学难点】 完全平方公式的应用 【教学方法】 引导发现,启发讨论相结合的教学方法 【课前准备】 教学课件。 【课时安排】 1课时 【教学过程】 、复习导入 【过渡】上节课我们学习了平方差公式,大家能快速说出什么是平方差公式吗? (a+b)(a-b)=a2-b2 【过渡】接着,我们来进行几道简单的计算,复习一下这个公式吧。 (1)(3+2a)(-3+2a) (2)(b2+2a)(2a3-b2) (3)(-4a-1)(4a-1) 【过渡】大家计算的都很快而且准确,看来大家已经掌握了平方差公式。今天,我们就接着学习 另一个公式一一完全平方公式 、新课教学
《完全平方公式》教案 【教学目标】 1.知识与技能 （1）经历完全平方公式的探索及推导过程，掌握完全平方公式的结构特征并能熟练应用。 （2）学会将多项式进行添括号的变形。 2.过程与方法 通过观察、操作、交流等活动发展空间观念和推理能力。 3.情感态度和价值观 通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识，在独 立思考的同时能够认同他人。 【教学重点】 完全平方公式及其它的应用。 【教学难点】 完全平方公式的应用。 【教学方法】 引导发现，启发讨论相结合的教学方法 【课前准备】 教学课件。 【课时安排】 1 课时 【教学过程】 一、复习导入 【过渡】上节课我们学习了平方差公式，大家能快速说出什么是平方差公式吗？ (a+b)(a-b)=a2 -b 2 【过渡】接着，我们来进行几道简单的计算，复习一下这个公式吧。 （1）(3+2a)(-3+2a) （2）(b2+2a3 )(2a3 -b 2 ) （3）(-4a-1)(4a-1) 【过渡】大家计算的都很快而且准确，看来大家已经掌握了平方差公式。今天，我们就接着学习 另一个公式——完全平方公式。 二、新课教学
1.完全平方公式 【过渡】首先,我们来看一下课本的探究内容。你能正确计算这几个式子吗? 课件展示探究内容,引导学生思考。 【过渡】从这几个式子中,如果我们分别换成a和b,又能得到什么样的结果呢? 探究:计算:(a+b)2,(a-b)2 解:(a+b)2=(a+b)(a+b) a+2ab+b (a-b)2=(a-b)(a-b) 【过渡】由此,我们就可以得到我们需要的完全平方公式 (a-b)2=a2-2ab+b2 文字叙述:两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍。 【过渡】现在,老师想问大家一个问题,从这两个公式,你能总结出都有哪些特点吗? (1)积为二次三项式 (2)其中两项为两数的平方和 (3)另一项是两数积的2倍,且与左边乘式中间的符号相同 【过渡】这两个公式,我们也可以总结一个比较好记的规律: 前平方,后平方,积的2倍在中央,积的符号看前方。 【过渡】我们上边所用的推导方法是代数方法,现在,大家请看思考题,你能用几何法去证明吗? 【过渡】我们首先看完全平方和公式,如图所示: b b a b a
1．完全平方公式 【过渡】首先，我们来看一下课本的探究内容。你能正确计算这几个式子吗？ 课件展示探究内容，引导学生思考。 【过渡】从这几个式子中，如果我们分别换成 a 和 b，又能得到什么样的结果呢？ 探究：计算: (a+b)2 , (a- b)2 解： (a+b)2= (a+b) (a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2 (a-b)2= (a-b) (a-b) =a2 -ab-ab+b2 =a2 -2ab+b2 【过渡】由此，我们就可以得到我们需要的完全平方公式： (a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2 文字叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍。 【过渡】现在，老师想问大家一个问题，从这两个公式，你能总结出都有哪些特点吗？ （1）积为二次三项式； （2）其中两项为两数的平方和； （3）另一项是两数积的 2 倍，且与左边乘式中间的符号相同。 【过渡】这两个公式，我们也可以总结一个比较好记的规律： 前平方，后平方，积的 2 倍在中央，积的符号看前方。 【过渡】我们上边所用的推导方法是代数方法，现在，大家请看思考题，你能用几何法去证明吗？ 【过渡】我们首先看完全平方和公式，如图所示：
整个图形为边长为(a+b)的正方形,面积为(a+b)2 正方形可以看作由两个小正方形和两个小长方形组成,由面积和计算得:a2+b2+2ab 由此,我们得到:(a+b)2=a2+b2+2ab 【过渡】根据完全平方和公式的推导,你能推导出完全平方差公式吗? (学生进行推导) 例题,课本例3 【练习】1.下面各式的计算结果是否正确?如果不正确,应当怎样改正? (1)(x+y)2=x2+y (2)(x-y)2=x2-y (3)(x-y)2=x2+2x+y2 (4)(x+y)2=x2+xy+y2 【过渡】刚刚的小练习,罗列了一些运用完全平方公式会出现的小问题,大家一定要谨记,不要 出现这些问题 【过渡】在实际中,我们可能会遇到数字之间的计算,又该如何运用完全平方公式去解决这些实 际问题呢? 例题,课本例4 【典题精讲】1、已知(a+b)2=7,(a-b)2=7,求ab的值。 解:∵(a+b)2=7,(ab)2=7, a2+2ab+b2=7①,a2-2ab+b2=7②, ①-②得:4ab=0。 2、若a+b=5,ab=-6,求a2+b2,a2-ab+b 解:a2+b2=a2+2ab+b2-2ab=(a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37 a2-ab+b2=a2+2ab+b2-2ab-ab=(a+b)2-3ab=52-3×(6)=43。 2.添括号法则 【过渡】在之前,我们学习过去括号法则,大家快速来回答一下老师提出的问题 (1)a+(b-c)= (2)a-(-b+c (3)a+(-b-c)= (4)a-(b-c)= (学生回答)
整个图形为边长为（a+b）的正方形，面积为（a+b）2 正方形可以看作由两个小正方形和两个小长方形组成，由面积和计算得：a 2+b2+2ab 由此，我们得到：（a+b）2= a2+b2+2ab 【过渡】根据完全平方和公式的推导，你能推导出完全平方差公式吗？ （学生进行推导） 例题，课本例 3. 【练习】1.下面各式的计算结果是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ （1）(x+y)2=x2 +y2 （2）(x -y)2 =x2 -y 2 （3）(x -y)2 =x2+2xy +y2 （4）(x+y)2 =x2 +xy +y2 【过渡】刚刚的小练习，罗列了一些运用完全平方公式会出现的小问题，大家一定要谨记，不要 出现这些问题。 【过渡】在实际中，我们可能会遇到数字之间的计算，又该如何运用完全平方公式去解决这些实 际问题呢？ 例题，课本例 4. 【典题精讲】1、已知（a+b）2=7，（a-b）2=7，求 ab 的值。 解：∵（a+b）2=7，（a-b）2=7， ∴a 2+2ab+b2=7①，a 2 -2ab+b2=7②， ①-②得：4ab=0。 ∴ab=0。 2、若 a+b=5，ab=-6，求 a 2+b2，a 2 -ab+b2 . 解：a 2+b2=a2+2ab+b2 -2ab=(a+b)2 -2ab=52 -2× (-6)=37； a 2 -ab+b2=a2+2ab+b2 -2ab-ab=(a+b)2 -3ab=52 -3× (-6)=43。 2．添括号法则 【过渡】在之前，我们学习过去括号法则，大家快速来回答一下老师提出的问题： （1）a+(b-c)= ； （2）a-(-b+c)= ； （3）a+(-b-c)= ； （4）a-(b-c)= 。 （学生回答）
【过渡】其实,将我们刚刚计算的式子,反过来,就得到了我们需要的添括号法则 添括号其实就是把去括号反过来,所以添括号法则是: 添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号:·如果括号前面是负号,括到 括号里的各项都改变符号。 也是:遇“加”不变,遇“减”都变 例题,课本例5 【知识巩固】1、已知(x-2015)2+(x-2017)2=34,则(x-2016)2的值是(D) B.8C.12D.16 2、已知:(a+b)2=25,(a-b)2=9,求: (1)a2+b (3)a2-b2 解:∵(a+b)2=25,(a-b)2=9, a2+2ab+b2=25①,a2-2ab+b2=9②, ∴(1)①+②得:2a2+2b2=34 a2+b2=17 3、用乘法公式计算:(x-2y+3z)2 解:(x-2y+3z) X -X 4、用乘法公式计算:(3b-a-2c)(2c-3b- 解:(3b-a-2c)(2c-3b-a) =-a+(3b-2c) (3b-2c) =a2-(3b2c)2 【拓展提升】1、计算:(1)(m-2n+4)2 (2)9.82
【过渡】其实，将我们刚刚计算的式子，反过来，就得到了我们需要的添括号法则。 添括号其实就是把去括号反过来，所以添括号法则是： 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；• 如果括号前面是负号，括到 括号里的各项都改变符号。 也是：遇“加”不变，遇“减”都变。 例题，课本例 5. 【知识巩固】1、已知（x-2015）2+（x-2017）2=34，则（x-2016）2 的值是（ D ） A．4 B．8 C．12 D．16 2、已知：（a+b）2=25，（a-b）2=9，求： （1）a 2+b2 ； （2）ab； （3）a 2 -b 2。 解：∵（a+b）2=25，（a-b）2=9， ∴a 2+2ab+b2=25①，a 2 -2ab+b2=9②， ∴（1）①+②得：2a2+2b2=34， a 2+b2=17； （2）①-②得：4ab=16， ∴ab=4； （3）a 2 -b 2=± =±15． 3、用乘法公式计算：（x-2y+3z）2 解：（x-2y+3z）2 =（x-2y）2+6z（x-2y）+9z2 =x2 -4xy+4y2+6xz-12yz+9z2． 4、用乘法公式计算：（3b-a-2c）（2c-3b-a） 解：（3b-a-2c）（2c-3b-a） =[-a+（3b-2c）][-a-（3b-2c）] =a2 -（3b-2c）2 =a2 -9b2+12bc-4c2。 【拓展提升】1、计算：(1)（m-2n+4）2 (2)99.82
解:(1)原式=[( 4]2 =m24mn+4n2+8m-16n+16 (2)99.832=(100-0.2)2 =1002-2×100×0.2+0.22 10000-40+0.04 2、已知a-b=5,ab=3,求 解: ∴a2+b2=(a-b)2+2ab=52+2×3=31 (a+b)2=a2+b2+2ab=31+2×3=37 3、已知a、b、c是三角形的三边,且满足关系式a2+c2=2ab+2bc-2b,试说明三角形ABC是等边 三角形 解:∵a2+c2=2ab+2bc-2b2, 三角形ABC是等边三角形 4、已知a+10=b+12=c+15,则a2+b2+c2-ab-bc-ac的值是多少? 解:∵a+10=b+12=c+15 10=b+12→ab=2 同理得a-c=5,b-c=3 (a2-2ab+b2)+(b2-2be+c2)+(a2-2ac+c2) =[(ab) 故答案为19 【板书设计】 1、完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab
解：(1)原式=[（m-2n）+4]2 =（m-2n）2 -8（m-2n）+42 =m2 -4mn+4n2+8m-16n+16． (2)99.82=（100-0.2）2 =1002 -2×100×0.2+0.22 =10000-40+0.04 =9960.04 2、已知 a-b=5，ab=3，求（a+b）2 与 3（a 2+b2）的值。 解：∵a-b=5，ab=3， ∴a 2+b2=（a-b）2+2ab=52+2×3=31， ∴3（a 2+b2）=3×31=93， （a+b）2=a2+b2+2ab=31+2×3=37 3、已知 a、b、c 是三角形的三边，且满足关系式 a 2+c2=2ab+2bc-2b2，试说明三角形 ABC 是等边 三角形。 解：∵a 2+c2=2ab+2bc-2b2， ∴(a-b)2+(c-b)2=0， ∴ a=b，且 b=c，即 a=b=c， ∴三角形 ABC 是等边三角形。 4、已知 a+10=b+12=c+15，则 a 2+b2+c2 -ab-bc-ac 的值是多少？ 解：∵a+10=b+12=c+15 ∴a+10=b+12⇒a-b=2 同理得 a-c=5，b-c=3 a 2+b2+c2 -ab-bc-ac = [（a 2 -2ab+b2）+（b 2 -2bc+c2）+（a 2 -2ac+c2）] = [（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2 ] =（4+25+9）=19 故答案为 19。 【板书设计】 1、完全平方公式： (a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
2、添括号运算法则 遇“加”不变,遇“减”都变 【教学反思】 先从代数式的几何意义出发,激发学生的图形观,利用拼图的方法,使学生在动手的过程中发现 规律,并通过小组合作,探究归纳公式,然后强调数值的计算,使学生掌握公式的计算技巧。从而突 出以学生为主体的探索性学习原则。让学生自编符合完全平方公式和平方差公式结构的计算题,从而 有效地将两类公式区分开,深刻认识公式的结构特征,并大大激发了学生的学习积极性
2、添括号运算法则： 遇“加”不变，遇“减”都变 【教学反思】 先从代数式的几何意义出发，激发学生的图形观，利用拼图的方法，使学生在动手的过程中发现 规律，并通过小组合作，探究归纳公式，然后强调数值的计算，使学生掌握公式的计算技巧。从而突 出以学生为主体的探索性学习原则。让学生自编符合完全平方公式和平方差公式结构的计算题，从而 有效地将两类公式区分开，深刻认识公式的结构特征，并大大激发了学生的学习积极性