《平方差公式》教案 【教学目标】 L知识与技能 经历平方差公式的探索及推导过程,掌握平方差公式的结构特征并能熟练应用 2过程与方法 通过观察、操作、交流等活动发展推理能力、归纳能力及解决问题的能力。 3情感态度和价值观 让学生经历“特殊到一般再到特殊”(即:特例一归纳一猜想一验证一用数学符号表示一解决问 题)这一数学活动过程 【教学重点】 理解公式的本质和结构特征,能用自己的语言说明公式及其特点;并会运用公式进行简单的计 【教学难点】 运用公式进行计算 【教学方法】 引导发现,启发讨论相结合的教学方法 【课前准备】 教学课件。 【课时安排】 1课时 【教学过程】 、问题导入 【过渡】上节课我们学习了多项式的乘法,其运算法则为: (mta)(n+b=mn+mb+natnb 通过这个式子,我们思考,如果m=n,且都用x表示,则上式就成为: (xta)(x+b)=x2+(a+b)tab 这是一种特殊的多项式运算法则。 今天,我们将以此为基础,学习一种更加特殊的多项式运算。 新课教学 1.平方差公式 【过渡】刚刚我们复习了多项式乘法的运算,现在大家看课本P107的探究内容。大家按照刚刚
《平方差公式》教案 【教学目标】 1.知识与技能 经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征并能熟练应用。 2.过程与方法 通过观察、操作、交流等活动发展推理能力、归纳能力及解决问题的能力。 3.情感态度和价值观 让学生经历“特殊到一般再到特殊”（即：特例─归纳─猜想─验证─用数学符号表示—解决问 题）这一数学活动过程。 【教学重点】 理解公式的本质和结构特征，能用自己的语言说明公式及其特点；并会运用公式进行简单的计 算.。 【教学难点】 运用公式进行计算。 【教学方法】 引导发现，启发讨论相结合的教学方法。 【课前准备】 教学课件。 【课时安排】 1 课时 【教学过程】 一、问题导入 【过渡】上节课我们学习了多项式的乘法，其运算法则为： (m+a)(n+b)=mn+mb+na+nb 通过这个式子，我们思考，如果 m=n，且都用 x 表示，则上式就成为： (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 这是一种特殊的多项式运算法则。 今天，我们将以此为基础，学习一种更加特殊的多项式运算。 二、新课教学 1．平方差公式 【过渡】刚刚我们复习了多项式乘法的运算，现在大家看课本 P107 的探究内容。大家按照刚刚
的多项式运算法则,计算一下结果吧。 (引导学生进行思考,并总结) 【过渡】通过运算,我们来观察这几个式子的相同点,我们发现,这几个式子都是两个数的和与 两个数的差相乘,且其结果也是有一定规律的,这就是我们今天要学习的平方差公式。 (a+b(a-b=a2-b2 用文字表示:两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差 【过渡】我们将平方差公式与课堂之前提问的多项式乘法运算法则相比较,我们会发现,平方差 公式是多项式乘法(m+a)(n+b)中,m=n,a=-b的特殊情形 【过渡】这是我们用代数的方法得到这个公式,现在,大家能够思考一下,怎样通过几何的过程 得到这个公式呢? 假设我们手里有一个边长为a的正方形,其面积为a2,现在,我们将其剪掉一个边长为b的小正 方形,那么剩下的面积则为a2-b2。 我们将图中的黄色部分移动,将图形变为规则的长方形,则,这个长方形的面积为(a+ba-b)。而 从面积的角度来讲,这两种情况下的面积其实是相等的,因此有(a+bab)=a2-b2,从这里我们也发现 平方差公式反过来也是同样成立的。 【过渡】在平方差公式里,一般相同项为a,相反项为b,且a、b可以为单项式,也可以是多项 例题:课本例1 【过渡】在计算的过程中,我们可以直接套用公式,但在计算过程中,一定要记住括号的正确使 用 【过渡】第二道题中,除了课本上的解法之外,你还能想到其他方法吗? 课件展示与课本不同的方法 【过渡】从这个题中,我们可以看出来,运用平方差公式最重要的一点是正确确定a与b,符号 相同的看作a,符号不同的看作b
的多项式运算法则，计算一下结果吧。 （引导学生进行思考，并总结） 【过渡】通过运算，我们来观察这几个式子的相同点，我们发现，这几个式子都是两个数的和与 两个数的差相乘，且其结果也是有一定规律的，这就是我们今天要学习的平方差公式。 (a+b)(a-b)=a2 -b 2 用文字表示：两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差。 【过渡】我们将平方差公式与课堂之前提问的多项式乘法运算法则相比较，我们会发现，平方差 公式是多项式乘法(m+a)(n+b)中，m=n，a=-b 的特殊情形。 【过渡】这是我们用代数的方法得到这个公式，现在，大家能够思考一下，怎样通过几何的过程 得到这个公式呢？ 假设我们手里有一个边长为 a 的正方形，其面积为 a 2，现在，我们将其剪掉一个边长为 b 的小正 方形，那么剩下的面积则为 a 2 -b 2。 我们将图中的黄色部分移动，将图形变为规则的长方形，则，这个长方形的面积为(a+b)(a-b)。而 从面积的角度来讲，这两种情况下的面积其实是相等的，因此有(a+b)(a-b)= a 2 -b 2，从这里我们也发现， 平方差公式反过来也是同样成立的。 【过渡】在平方差公式里，一般相同项为 a，相反项为 b，且 a、b 可以为单项式，也可以是多项 式。 例题：课本例 1 【过渡】在计算的过程中，我们可以直接套用公式，但在计算过程中，一定要记住括号的正确使 用。 【过渡】第二道题中，除了课本上的解法之外，你还能想到其他方法吗？ 课件展示与课本不同的方法。 【过渡】从这个题中，我们可以看出来，运用平方差公式最重要的一点是正确确定 a 与 b，符号 相同的看作 a，符号不同的看作 b
【练习】正确找出下列各式的a与b (3x+2)(3x-2);(-3x+2(-3x-2);(-3x-23x-2):(-3x+2X3x+2) 例题2:课本例2 【过渡】从计算中,我们可以看到,只有符合a+b)(a-b)的形式才能用平方差公式。我们也可以 通过适当的变形,来使满足平方差的要求。 【练习】判断下列式子是否可以用平方差公式: (-a+b)(a+b);(-a+b(a-b);(a+ba-c);(-2k3+3y2)(-2k3-3y2) 【典题精讲】1、计算:20042-2003×2005 解:原式=20042-(2004-1)(2004+1) 20042-(20042-12)=20042.20042+12=1。 2、已知(a2+b2+1)(a2+b2-1)=15,求a2+b2的值。 解:原式=(a2+b2)2-12=15 ∴(a2+b2)2=16,∴a2+b2=4 【知识巩固】1、下列式子中,不能用平方差公式计算的是(A) A.(m-n)(n-m)B.(x2-y2)(x2+y2)C.(-a-b)(a-b)D.(a2-b2)(b2+a2) 2、(1)(2m-3n)(2m+3n)=4m2-9m (2)(-3x+2y)(3x+2y)=-9x2+4y2 (3)(3x+2y)2-(3x-2y)2 (4)(29×31)×(302+1)= (5)(x-_2y-3)(x+2y-_3)=[_x-3-2y][_x-3+2y 【拓展提升】1、计算(2+1)22+1)(24+1)的值 解:原式=(2-1)2+1)(22+1)(24+1) =(2-1)(2+1)(2+1) =(24-1)(24+1) =28-1=255 2、计算99×100 解:原式=(100+)(100-) 1002-()2 10000-=9999 3、两个两位数的十位数字相同,一个数的个位数字是6,另一个数的个位数字是4,它们的平方 差是220,求这两个两位数
【练习】正确找出下列各式的 a 与 b。 (3x+2)(3x-2)；(-3x+2)(-3x-2)；(-3x-2)(3x-2)；(-3x+2)(3x+2) 例题 2：课本例 2 【过渡】从计算中，我们可以看到，只有符合(a+b) (a-b)的形式才能用平方差公式。我们也可以 通过适当的变形，来使满足平方差的要求。 【练习】判断下列式子是否可以用平方差公式： (-a+b)(a+b)；(-a+b)(a-b)；(a+b)(a-c)；(-2k3+3y2 )(-2k3 -3y2 ) 【典题精讲】1、计算：20042 -2003 × 2005 解：原式=20042 -(2004-1)(2004+1) =20042 -(20042 -1 2 )=20042 -20042+12=1。 2、已知(a2+b2+1)(a2+b2 -1)=15，求 a 2+b2 的值。 解：原式=(a2+b2 ) 2 -1 2=15 ∴(a2+b2 ) 2=16, ∴a 2+b2=4 【知识巩固】1、下列式子中，不能用平方差公式计算的是（ A ） A．（m-n）（n-m）B．（x 2 -y 2）（x 2+y2）C．（-a-b）（a-b） D．（a 2 -b 2）（b 2+a2） 2、（1）（2m-3n）（2m+3n）=4m2 -9n2． （2）（-3x+2y ）（3x+2y） = -9x2+4y2 ； （3）（3x+2y）2-（3x-2y）2= 24xy ； （4）（29×31）×（302+1）= 304 -1 ； （5）（x- 2y -3）（x+2y- 3 ） =[ x-3 -2y] [ x-3 +2y] 【拓展提升】1、计算(2+1)(22+1)(24+1)的值。 解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1) =(22 -1)(22+1)(24+1) =(24 -1)(24+1) =28 -1=255 2、.计算 99×100 解：原式=（100+ ）（100- ） =1002 -（ ）2 =10000- =9999 3、两个两位数的十位数字相同，一个数的个位数字是 6，另一个数的个位数字是 4，它们的平方 差是 220，求这两个两位数．
解:设这两个两位数的十位数字是x,则这个两位数依次表示为10x+6,10x+4, (10x+6)2.(10x+4)2=220 解得:x=5 这个两位数分别是56和54 【板书设计】 1、平方差公式 +b)(a-b)=a2-b2 即两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差 【教学反思】 本节课的设计理念是:遵循“教学、学习、研究”同步协调的原则,重组教材,恰当地创设情境、 激发学生对数学的好奇心和求知欲,通过独立思考,不断发现和提出问题,分析并创造性地解决问题, 教师为学生构建开放的学习环境引导学生体验探索、研究的过程,通过学生的再发现、再创造活动 体验“数学化”的过程,使学生在领悟数学对象本质的同时,真正经历知识的“生长过程
解：设这两个两位数的十位数字是 x，则这个两位数依次表示为 10x+6，10x+4， ∴（10x+6）2 -（10x+4）2=220 解得：x=5 ∴这个两位数分别是 56 和 54。 【板书设计】 1、平方差公式: (a+b)(a-b)=a2 -b 2 即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.。 【教学反思】 本节课的设计理念是：遵循“教学、学习、研究”同步协调的原则，重组教材，恰当地创设情境、 激发学生对数学的好奇心和求知欲，通过独立思考，不断发现和提出问题，分析并创造性地解决问题， 教师为学生构建开放的学习环境引导学生体验探索、研究的过程，通过学生的再发现、再创造活动， 体验“数学化”的过程，使学生在领悟数学对象本质的同时，真正经历知识的“生长过程