2应用一元二次方程 选择题(每题4分,共24分) 1.大成游乐园规定:如果一个人参加游戏,则给这个人一个奖品:如果两个人参加游戏, 则给每人两个奖品:如果三个参加游戏,则给每个人三个奖品;……如果设x个人参加游戏, 给出奖品一共有36个,则参加游戏的人数为【】 A.4B.6C.8 D.10 2.如图1所示,在一边靠墙(墙足够长)空地上,修建一个面积为672m2的矩形临时 仓库,仓库一边靠墙,另三边用总长为76米的栅栏围成,若设栅栏AB的长为xm,则下列 各方程中,符合题意的是【】 A.x(76-x)=672;B.x(76-2x)=672; x(76-2x)=672 D.x(76-x)=672 图1 B 3.裕丰商店一月份的利润为50万元,二、三月份的利润平均增长率为m,下列各式中 正确表示这个商店第一季度的总利润的是【】 A.50m2+3m+3]万元;B.50+50(1+m)2万元 C.50+50(1+2m)万元; D.50+50(1+m)+50(1+m)2万元 4.两个连续奇数的积是255.下列的各数中,是这两个数中的一个的是【】 A.-19 5.小明用一根长为30厘米的铁丝围成一个直角三角形,使斜边长为13厘米,则该三 角形的面积等于【】 A.15厘米 B.30厘米2C.45厘米2D.60厘米2 6.如图2,在△ABC中,∠ABC=90 AB=8cm,BC=6cm.动点P、Q分别 从点A、B同时开始移动,点P的速度 为1cm/秒,点Q的速度为2cm/秒 点Q移动到点C后停止,点P也随之停止运动。 下列时间瞬间中,能使△PBQ的面积为15cm2的是【】 A.2秒钟B.3秒钟C.4秒钟D.5秒钟 二、填空题(每题4分,共24分) 7.如图3所示,在一块正方形空地上,修建一个正方形休闲广场,其余部分铺设草坪, 已知休闲广场的边长是正方形空地边长的一半,草坪的面积为147m2,则休闲广场的边长 是 8.在一幢高125m的大楼上掉下一个苹果,苹果离 地面的高度h(m)与时间t(s)大致有如下关系: 秒钟后苹果落到地面。 9.一个数的平方等于它本身,你认为这个数是 10.2007年中国足球超联赛实行主客场的循环赛,即每两支球队都要在自己的主场和
2.6 应用一元二次方程 一、选择题（每题 4 分，共 24 分） 1.大成游乐园规定：如果一个人参加游戏，则给这个人一个奖品；如果两个人参加游戏， 则给每人两个奖品；如果三个参加游戏，则给每个人三个奖品；……如果设 x 个人参加游戏， 给出奖品一共有 36 个，则参加游戏的人数为【 】 A．4 B．6 C．8 D．10 2．如图 1 所示，在一边靠墙（墙足够长）空地上，修建一个面积为 672m2 的矩形临时 仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为 76 米的栅栏围成，若设栅栏 AB 的长为 xm，则下列 各方程中，符合题意的是【 】 A． 2 1 x（76－x）＝672； B． 2 1 x（76－2x）＝672； C．x（76－2x）＝672； D． x（76－x）＝672． 3．裕丰商店一月份的利润为 50 万元，二、三月份的利润平均增长率为 m，下列各式中， 正确表示这个商店第一季度的总利润的是【 】 A．50[m2＋3m＋3] 万元； B．50＋50（1＋m）2 万元； C．50＋50（1＋2m）万元； D．50＋50（1＋m）＋50（1＋m）2 万元． 4．两个连续奇数的积是 255．下列的各数中，是这两个数中的一个的是【 】 A．－19 B．5 C．17 D．51 5．小明用一根长为 30 厘米的铁丝围成一个直角三角形，使斜边长为 13 厘米，则该三 角形的面积等于【 】. A．15 厘米 2 B．30 厘米 2 C．45 厘米 2 D．60 厘米 2 6．如图 2，在△ABC 中，∠ABC＝90°， AB＝8cm，BC＝6cm．动点 P、Q 分别 从点 A、B 同时开始移动，点 P 的速度 为 1 cm／秒，点 Q 的速度为 2 cm／秒， 点 Q 移动到点 C 后停止，点 P 也随之停止运动。 下列时间瞬间中，能使△PBQ 的面积为 15cm2 的是【 】 A．2 秒钟 B．3 秒钟 C． 4 秒钟 D． 5 秒钟 二、填空题（每题 4 分，共 24 分） 7．如图 3 所示，在一块正方形空地上，修建一个正方形休闲广场，其余部分铺设草坪， 已知休闲广场的边长是正方形空地边长的一半，草坪的面积为 147m2，则休闲广场的边长 是 m。 8．在一幢高 125m 的大楼上掉下一个苹果，苹果离 地面的高度 h（m） 与时间 t（s）大致有如下关系： h＝125－5t 2． 秒钟后苹果落到地面。 9．一个数的平方等于它本身，你认为这个数是 。 10．2007 年中国足球超联赛实行主客场的循环赛，即每两支球队都要在自己的主场和 A B D C 图 1 A B C P Q 图 2 图 3
客场踢一场,已知全年共举行比赛210场,则参加比赛的队伍共有 支 11.中国民歌不仅脍炙人口,而且许多还有教育意义,有一首《牧童王小良》的民歌还 包含着一个数学问题 牧童王小良,放牧一群羊。问他羊几只,请你仔细想。头数加只数,只数减头数。 只数乘头数,只数除头数。四数连加起,正好一百数 如果设羊的只数为x,则根据民歌的大意,你能列出的方程是 12.在实数范围内定义一种运算“*”,其规则为a*b=a2-b2,根据这个规则,方程 (x+2)*5=0的解为 三、解答题 13.放铅笔的V形槽如图4,每往上一层可以多放一支铅笔 现有190支铅笔,则要放多少层? 14.2003~2005年陕西省财政收入情况如图5所示.根据图中的信息,解答下列问题 (1)陕西省这三年财政收入共为多少亿元? (2)陕西省2003~2005年财政收入的年平均增长率约为多少?(精确到1%) (备用数据 =1.27, V326 415 13精确到1%)+陕西省财政收入/亿元 528 415 200320042005年份/年 15.某超市销售一种饮料,平均每天可售出100箱,每箱利润120元。为了扩大销售,增加 利润,超市准备适当降价。据测算,若每箱降价1元,每天可多售出2箱。如果要使每天销 售饮料获利14000元,每箱应降价多少元?
客场踢一场，已知全年共举行比赛 210 场，则参加比赛的队伍共有 支。 11．中国民歌不仅脍炙人口，而且许多还有教育意义，有一首《牧童王小良》的民歌还 包含着一个数学问题 牧童王小良，放牧一群羊。问他羊几只，请你仔细想。头数加只数，只数减头数。 只数乘头数，只数除头数。四数连加起，正好一百数。 如果设羊的只数为x，则根据民歌的大意，你能列出的方程是 。 12．在实数范围内定义一种运算“ * ”，其规则为 2 2 a b a b * = − ，根据这个规则，方程 ( 2) 5 0 x + = * 的解为 ． 三、解答题 13．放铅笔的 V 形槽如图 4，每往上一层可以多放一支铅笔， 现有 190 支铅笔，则要放多少层 ？ 14．2003~2005 年陕西省财政收入情况如图 5 所示．根据图中的信息，解答下列问题： （1）陕西省这三年财政收入共为多少亿元？ （2）陕西省 2003~2005 年财政收入的年平均增长率约为多少？（精确到 1%） （备用数据 1.27 326 528 = ， 1.13 415 528 = 精确到 1%） 15．某超市销售一种饮料，平均每天可售出 100 箱，每箱利润 120 元。为了扩大销售，增加 利润，超市准备适当降价。据测算，若每箱降价 1 元，每天可多售出 2 箱。如果要使每天销 售饮料获利 14000 元，每箱应降价多少元？ 图 4 528 415 326 0 2003 2004 2005 年份／年 陕西省财政收入／亿元 图 5
16.如图6,A、B、C、D为矩形的四个顶点,AB=16cm,BC=6cm,动点P、Q分 别从点A、C同时出发,点P以3cm/s的速度向点B移动,点Q以2cm/s的速度向点D 移动.当点P运动到点B停止时,点Q也随之停止运动。问几秒后,点P和点Q的距离是 P 图 17.图7是中北居民小区某一休闲场所的平面示意图.图7中 阴影部分是草坪和健身器材安装区,空白部分是用做散步的 道路.东西方向的一条主干道较宽,其余道路的宽度相等, 主干道的宽度是其余道路的宽度的2倍.这块休闲场所南北长西 18m,东西宽16m.已知这休闲场地中草坪和健身器材安装 区的面积为168m2,请问主干道的宽度为多少米? 图7 18.一次数学兴趣小组的活动课上,师生有下面的对话,请你阅读完后再解答下列问题 老师:同学们,今天我们来探索如下方程的解法: (x2-x) 8(x2-x)+12=0 小明:老师,这个方程先去括号,再合并同类项,行吗? 老师:这样,原方程可整理为x4-2x3-7x2+8x+12=0,次数变成了4次,用现有的知 识无法解答。同学们再观察观察,看看这个方程有什么特点? 小亮:老师,我发现方程中x2-x是整体出现的,最好不要去括号! 老师:很好,如果我们把x2-x看成一个整体,用y来表示,即x2-x=y,那么原方程就变 成y2-8y+12=0
16．如图 6，A、B、C、D 为矩形的四个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点 P、Q 分 别从点 A 、C 同时出发，点 P 以 3 cm/s 的速度向点 B 移动，点 Q以 2 cm/s 的速度向点 D 移动．当点 P 运动到点 B 停止时，点 Q 也随之停止运动。问几秒后，点 P 和点 Q 的距离是 10 cm？ 17．图 7 是中北居民小区某一休闲场所的平面示意图．图 7 中 阴影部分是草坪和健身器材安装区，空白部分是用做散步的 道路．东西方向的一条主干道较宽，其余道路的宽度相等， 主干道的宽度是其余道路的宽度的 2 倍．这块休闲场所南北长 18m，东西宽 16m．已知这休闲场地中草坪和健身器材安装 区的面积为 168m2，请问主干道的宽度为多少米？ 18．一次数学兴趣小组的活动课上，师生有下面的对话，请你阅读完后再解答下列问题。 老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法： ( ) 8( ) 12 0 2 2 2 x − x − x − x + = 小明：老师，这个方程先去括号，再合并同类项，行吗？ 老师：这样，原方程可整理为 2 7 8 12 0 4 3 2 x − x − x + x + = ，次数变成了4次，用现有的知 识无法解答。同学们再观察观察，看看这个方程有什么特点？ 小亮：老师，我发现方程中 − x 2 x 是整体出现的，最好不要去括号！ 老师：很好，如果我们把 − x 2 x 看成一个整体，用y来表示，即 − x 2 x =y，那么原方程就变 成 8 12 0 2 y − y + = 。 A B C D P Q 图 6 E 北 西 东 图 7
全体学生:(同学们都特别高兴)噢,这不是我们最熟悉的一元二次方程吗? 老师:大家真会观察和思考,太棒了!显然一元二次方程y2-8y+12=0的根是y1=6, 小丽:对啦,再解这两个方程,可得原方程的根x1=3,x2=-2,x3=2,x4=-1,嗬 有这么根啊! 老师:同学们,通常我们把这种方法叫做换元法。在这里,使用它的最大妙处在于降低了原 方程的次数,这是一种重要的转化方法。 全体同学:OK,换元法真神奇 现在,请你用换元法解下列分式方程 如图8,用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面.请观察下列图形并解答有 关问题 (1)在第n个图中,每一横行共有 块瓷砖,每一坚列共有 瓷砖(均用含n的代数式表示) (2)设铺设地面所用瓷砖的总块数为y,请写出y与(1)中的n的函数关系式(不要求 写自变量n的取值范围); (3)按上述铺设方案,铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖,求此时n的值 (4)若黑瓷砖每块4元,白瓷砖每块3元,在问题(3)中,共需花多少元钱购买瓷砖? (5)是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形?请通过计算说明为什么? 答案或提示: 1)B2)A3)D4)C5)B6)B7)78)59)0或1 10)1511)x2+2x+1=10012)x1=3,x1=-7 13)解:设190支铅笔,可放x层
全体学生：（同学们都特别高兴）噢，这不是我们最熟悉的一元二次方程吗？ 老师：大家真会观察和思考，太棒了！显然一元二次方程 8 12 0 2 y − y + = 的根是 y1 = 6， y2 = 2 小丽：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根 x1 = 3，x2 = −2 ，x3 = 2 ，x4 = −1，嗬， 有这么根啊！ 老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法。在这里，使用它的最大妙处在于降低了原 方程的次数，这是一种重要的转化方法。 全体同学：OK，换元法真神奇！ 现在，请你用换元法解下列分式方程 6 0 1 5 1 2 − = − − − x x x x 19．如图 8，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面．请观察下列图形并解答有 关问题： ⑴ 在第 n 个图中，每一横行共有 块瓷砖，每一坚列共有 块 瓷砖（均用含 n 的代数式表示）； ⑵ 设铺设地面所用瓷砖的总块数为 y，请写出 y 与（1）中的 n 的函数关系式（不要求 写自变量 n 的取值范围）； ⑶ 按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了 506 块瓷砖，求此时 n 的值； ⑷ 若黑瓷砖每块 4 元，白瓷砖每块 3 元，在问题⑶中，共需花多少元钱购买瓷砖？ ⑸ 是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算说明为什么？ 答案或提示： 1）B 2）A 3）D 4）C 5）B 6）B 7）7 8）5 9）0 或 1 10）15 11）x 2 +2x+1=100 12) x1 = 3， x1 = −7 13）解：设 190 支铅笔，可放 x 层. 图 8
n(n-1)=190 解之得,n1=20,n1=-19(不符题意,舍去) 答:设190支铅笔,可放20层 14)(1)这三年财政收入为1296亿元(2)设陕西省2003~2005年财政收入的年平均增长 率约x,那么依据题意得 326(1+x)2=528 解之得,x=0.27,x2=-2.27(不符题意,舍去) 答:陕西省2003~2005年财政收入的年平均增长率约27% 15)解:设要使每天销售饮料获利14000元,每箱应降价x元,依据题意得 (120-x)(100+2x)=14000 整理得,2x2-140x+2000=0 解这个方程,得x1=20x2=50 答:每箱应降价20元或50元,可使每天销售饮料获利14000元 15解:设t秒后,点P和点Q的距离是10cm,则AP=3t,CQ=2t 过点P作PE⊥CD于E 所以四边形APDE是矩形,所以AD=PE=6cm EQ=16-2t-3t=16-5t 在直角三角形PQE中,PQ2=PE2+EQ2 100=62+(16-5t)2 解这个方程,得1==,1 答:秒或一秒后,点P和点Q的距离是10cm 17.解:设主干道的宽度为2xm,则其余道路宽为xm 依题意得:(16-4x)(18-x)=168 整理,得上=1,x22 当x2-2 时,16-4x<0,不符题意,故舍去 x=1时,2x=2 答:主干道的宽度为2米 x-/y,收原方程可化为y2-5y+6=0,得y1=6,y2=-1 当y1=6时 6,得x 6 当y1=-1时 1,得 经检,y7=。都是原方程的根
2 1 n(n-1)=190 解之得， n1 = 20 , n1 = −19 (不符题意，舍去) 答：设 19 0 支铅笔，可放 20层。 14）（1）这三年财政收入为 1296 亿元 （2）设陕西省 2003~2005 年财政收入的年平均增长 率约 x，那么依据题意得 326（1+x）2=528 解之得， x = 0.27， x2 = −2.27 （不符题意，舍去） 答：陕西省 2003~2005 年财政收入的年平均增长率约 27%。 15）解：设要使每天销售饮料获利 14000元，每箱应降价 x 元，依据题意得 （120-x）(100+2x)=14000 整理得， 2 140 2000 0 2 x − x + = 解这个方程，得 x1 = 20 x2 = 50 答：每箱应降价 20 元或 50 元，可使每天销售饮料获利 14000 元。 15 解：设 t 秒后，点 P 和点 Q 的距离是 10 cm，则 AP=3t，CQ=2t 过点 P 作 PE⊥CD 于 E 所以四边形 APDE 是矩形，所以 AD=PE=6cm EQ=16-2t-3t=16-5t 在直角三角形 PQE 中，PQ2=PE2+EQ2 100=62+（16-5t）2 解这个方程，得 5 8 t 1 = ， 5 24 t 1 = 答： 5 8 秒或 5 24 秒后，点P和点Q的距离是10 cm 17．解：设主干道的宽度为 2xm，则其余道路宽为 xm 依题意得：（16-4x）(18-4x)=168 整理，得 x1 =1， 2 15 x2 = 当 2 15 x2 = 时，16-4x<0，不符题意，故舍去 x=1 时，2x=2 答：主干道的宽度为2米。 18．解：设 y x x = −1 ，收原方程可化为 5 6 0 2 y − y + = ，得 y1 = 6， y2 = −1 当 y1 = 6 时， 6 1 = x − x ，得 5 6 x = 当 y1 = −1 时， 1 1 = − x − x ，得 2 1 x = 经检验： 2 1 x = ， 5 6 x = 都是原方程的根
19.(1)n+3,n+2(2)y=(n+3)(n+2),即y=n2+5n+6;(3)当y=506时,n2+5n+6=506 ,解之得,n1=20,n2=-25(舍去):(4)白瓷砖块数是420块,黑瓷砖块数为86块,共需1604 元:(5)n(m+1)=(n+3)(+2-n(n+1),化简为口2-3m-6=0,解得,3+33-√33 去),因为n的值不为正整数,所以不存在黑、白瓷砖块数相等的情形
19．（1）n+3，n+2 (2)y=(n+3)(n+2)，即y=n 2 +5n+6；（3）当y=506时，n 2 +5n+6=506 ，解之得，n1=20，n2=-25（舍去）；（4）白瓷砖块数是420块，黑瓷砖块数为86块，共需1604 元；（5）n(n+1)= (n+3)(n+2)- n(n+1),化简为n 2 -3n-6=0，解得n1= 2 3 + 33 , n1= 2 3 − 33 (舍 去)，因为n的值不为正整数，所以不存在黑、白瓷砖块数相等的情形