第2课时正方形的判定 选择题(共8小题) 已知四边形ABCD是平行四边形,再从①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD四个条 件西个作神后,使得四⑩③BCD有下列四种选法,其中错误的是() 2.下列说法中,正确的是() A.相等的角一定是对顶角 B.四个角都相等的四边形一定是正方形 C.平行四边形的对角线互相平分 D.矩形的对角线一定垂直 3.下列命题中是假命题的是() A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B.一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 C.一组邻边相等的平行四边形是菱形 D.一组邻边相等的矩形是正方形 4.已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的有() ①当AB=BC时,它是菱形:②当AC⊥BD时,它是菱形:③当∠ABC=90°时,它是矩形:④当AC=BD 附,Y正形组C.3组 5.四边形ABCD的对角线AC=BD,AC⊥BD,分别过A、B、C、D作对角线的平行线,所成的四边形 BFMN7HE B.菱形 C.矩形D.任意四边形 6.如果要证明平行四边形ABCD为正方形,那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上,进 步证明() A.AB=AD且AC⊥BDB.AB=AD且AC=BDC.∠A=∠B且AC=BDD.AC和BD互相垂直 平分 7.下列命题中,真命题是() A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线互相平分的四边形是平行四边形 D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形 8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF,添 加一个条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是()
第 2 课时 正方形的判定 一.选择题(共 8 小题) 1.已知四边形 ABCD 是平行四边形,再从①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD 四个条 件中,选两个作为补充条件后,使得四边形 A.选①② B.选②③ C.选①③ABCD 是正方形,现有下列四种选法,其中错误的是( D.选②④ ) 2.下列说法中,正确的是( ) A.相等的角一定是对顶角 B.四个角都相等的四边形一定是正方形 C.平行四边形的对角线互相平分 D.矩形的对角线一定垂直 3.下列命题中是假命题的是( ) A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B.一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 C.一组邻边相等的平行四边形是菱形 D.一组邻边相等的矩形是正方形 4.已知四边形 ABCD 是平行四边形,下列结论中不正确的有( ) ①当 AB=BC 时,它是菱形;②当 AC⊥BD 时,它是菱形;③当∠ABC=90°时,它是矩形;④当 AC=BD 时,它是正方形. A.1 组 B.2 组 C.3 组 D.4 组 5.四边形 ABCD 的对角线 AC=BD,AC⊥BD,分别过 A、B、C、D 作对角线的平行线,所成的四边形 EFMN A.正方形是( )B.菱形 C.矩形 D.任意四边形 6.如果要证明平行四边形 ABCD 为正方形,那么我们需要在四边形 ABCD 是平行四边形的基础上,进一 步证明( ) A.AB=AD 且 AC⊥BD B.AB=AD 且 AC=BD C.∠A=∠B 且 AC=BD D.AC 和 BD 互相垂直 平分 7.下列命题中,真命题是( ) A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线互相平分的四边形是平行四边形 D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形 8.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D,交 AB 于点 E,且 BE=BF,添 加一个条件,仍不能证明四边形 BECF 为正方形的是( )
B △.暝空题共S小B C. BD=DF D. AC=BF 9.能使平行四边形ABCD为正方形的条件是 (填上一个符合题目要求的条件即可) 10.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,DE垂直平分AC,DF⊥BC,当△ABC满足条件 时, 四瑭彩D①环矩添加何辅助线,②只需填一个符合要求的条件) 11.如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,请你添加一个条件 使得该菱形为正方形 B 12.如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,对角线AC与BD相交于点O,若不增加任何字母与辅 助线,要使四边形ABCD是正方形,则还需增加一个条件是 B O 13.已知四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,若添加一个条件即可判定该四边形是正方形,那么这个条 仲可要使二个菱形成为正方形,需添加一个条件为 三.解答题(共8小题) 15.已知:如图,△ABC中,∠ABC=90°,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.求 证:四边形DEBF是正方形
A.BC=AC B.CF⊥BF C.BD=DF D.AC=BF 二.填空题(共 6 小题) 9.能使平行四边形 ABCD 为正方形的条件是 _________ (填上一个符合题目要求的条件即可). 10.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,DE 垂直平分 AC,DF⊥BC,当△ABC 满足条件 _________ 时, 四边形 (要求:DECF ①不再添加任何辅助线, 是正方形. ②只需填一个符合要求的条件) 11.如图,菱形 ABCD 的对角线相交于点 O,请你添加一个条件: _________ ,使得该菱形为正方形. 12.如图,在四边形 ABCD 中,AB=BC=CD=DA,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,若不增加任何字母与辅 助线,要使四边形 ABCD 是正方形,则还需增加一个条件是 _________ . 13.已知四边形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=90°,若添加一个条件即可判定该四边形是正方形,那么这个条 件可以是 14.要使一_________ 个菱形成为正方形,需添加一个条件为 . _________ . 三.解答题(共 8 小题) 15.已知:如图,△ABC 中,∠ABC=90°,BD 是∠ABC 的平分线,DE⊥AB 于点 E,DF⊥BC 于点 F.求 证:四边形 DEBF 是正方形.
16.如图,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD上一点,过点P作PM⊥AD PN证垂足朗达wBN ()若/ADC=0°.求证:四边形MPND是正方形 17.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MNAB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC, 交直线N压A睡足为F,连接CD、BE (2)当D在AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由 为A由点当的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形?请说明你的理由 18.如图,在△ABC中,点D、E分别是边AB、AC的中点,将△ADE绕点E旋转180得到△CFE (1)求证:四边形ADCF是平行四边形 (2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCF是正方形?请说明理由 19.如图,分别以线段AB的两个端点为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧交于M、N两点,连接 MN,交AB于点D、C是直线MN上任意一点,连接CA、CB,过点D作DE⊥AC于点E,DF⊥BC于 1)求证:△AED≌△BFD
16.如图,在四边形 ABCD 中,AB=BC,对角线 BD 平分∠ABC,P 是 BD 上一点,过点 P 作 PM⊥AD, PN(1⊥)求证: CD,垂足分别为 ∠ADB=∠CDB M,;N. (2)若∠ADC=90°,求证:四边形 MPND 是正方形. 17.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,过点 C 的直线 MN∥AB,D 为 AB 边上一点,过点 D 作 DE⊥BC, 交直线 (1)求证: MN 于CE=AD E,垂足为 ; F,连接 CD、BE. (2)当 D 在 AB 中点时,四边形 BECD 是什么特殊四边形?说明你的理由; (3)若 D 为 AB 中点,则当∠A 的大小满足什么条件时,四边形 BECD 是正方形?请说明你的理由. 18.如图,在△ABC 中,点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点,将△ADE 绕点 E 旋转 180°得到△CFE. (1)求证:四边形 ADCF 是平行四边形. (2)当△ABC 满足什么条件时,四边形 ADCF 是正方形?请说明理由. 19.如图,分别以线段 AB 的两个端点为圆心,大于 AB 的长为半径作弧,两弧交于 M、N 两点,连接 MN,交 AB 于点 D、C 是直线 MN 上任意一点,连接 CA、CB,过点 D 作 DE⊥AC 于点 E,DF⊥BC 于 点 F. (1)求证:△AED≌△BFD;
(2)若AB=2,当CD的值为 时,四边形DECF是正方形 20.如图,AB是CD的垂直平分线,交CD于点M,过点M作ME⊥AC,MF⊥AD,垂足分别为E、F (1)求证:∠CAB=∠DAB; ()若/CAD=Q0°,求证:四边形AEMF是正方形. 21.如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MNⅢBC,设MN交∠ACB的平分线于点 2N名繁猫条走件时,四边 形AECF是正方形? (3)当点O在边AC上运动时,四边形BCFE 是菱形吗?(填“可能”或“不可能”) B 22.已知:如图,△ABC中,点O是AC上的一动点,过点O作直线MNAC,设MN交∠BCA的平分 线:♂还侴将处御∠剑昱正癔耘篝劬由 (3)在(2)的条件下,△ABC应该满足条件: 就能使矩形AECF变为正方形.(直接添 加条件,无需证明)
(2)若 AB=2,当 CD 的值为 _________ 时,四边形 DECF 是正方形. 20.如图,AB 是 CD 的垂直平分线,交 CD 于点 M,过点 M 作 ME⊥A C,MF⊥AD,垂足分别为 E、F. (1)求证:∠CAB=∠DAB; (2)若∠CAD=90°,求证:四边形 AEMF 是正方形. 21.如图,△ABC 中,点 O 是边 AC 上一个动点,过 O 作直线 MN∥BC,设 MN 交∠ACB 的平分线于点 E,交∠ACB 的外角平分线于点 F. (1)探究:线段 OE 与 OF 的数量关系并加以证明; (2)当点 O 运动到何处时,且△ABC 满足什么条件时,四边形 AECF 是正方形? (3)当点 O 在边 AC 上运动时,四边形 BCFE _________ 是菱形吗?(填“可能”或“不可能”) 22.已知:如图,△ABC 中,点 O 是 AC 上的一动点,过点 O 作直线 MN∥AC,设 MN 交∠BCA 的平分 线于点 (1)求证: E,交∠∠ECF=90 BCA 的°外角; ∠ACG 的平分线于点 F,连接 AE、AF. (2)当点 O 运动到何处时,四边形 AECF 是矩形?请说明理由; (3)在(2)的条件下,△ABC 应该满足条件: _________ ,就能使矩形 AECF 变为正方形.(直接添 加条件,无需证明)
参考答案与试题解析 选择题(共8小题) 已知四边形ABCD是平行四边形,再从①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD四个条 饿中,邀作为补条能园硬得四边①正方形D现有下②秒选法,其中错误的是() 考点 正方形的判定:平行四边形的性质 分析: 要判定是正方形,则需能判定它既是菱形又是矩形 解答: 解:A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形,由②得有一个角是直角的平行四边 形是矩形,所以平行四边形ABCD是正方形,正确,故本选项不符合题意 B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形,由③得对角线相等的平行四边形是矩形,所以不能得出 平行四边形ABCD是正方形,错误,故本选项符合题意 C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形,由③得对角线相等的平行四边形是矩形,所以平行四边 形ABCD是正方形,正确,故本选项不符合题意; D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形,由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形,所以平行 四边形ABCD是正方形,正确,故本选项不符合题意 故选:B 本题考查了正方形的判定方法 ①先判定四边形是矩形,再判定这个矩形有一组邻边相等 ②先判定四边形是菱形,再判定这个矩形有一个角为直角 ③还可以先判定四边形是平行四边形,再用1或2进行判定 2.下列说法中,正确的是() A.相等的角一定是对顶角 B.四个角都相等的四边形一定是正方形 C.平行四边形的对角线互相平分 D.矩形的对角线一定垂直 正方形的判定:对顶角、邻补角:平行四边形的性质:矩形的性质 分析 根据对顶角的定义,正方形的判定,平行四边形的性质,矩形的性质对各选项分析判断利 用排除法求解 解答 解:A、相等的角一定是对顶角错误,例如,角平分线分成的两个角相等,但不是对顶角 故本选项错误 B、四个角都相等的四边形一定是矩形,不一定是正方形,故本选项错误 平行四边形的对角线互相平分正确,故本选项正确 D、矩形的对角线一定相等,但不一定垂直,故本选项错误 点评: 本题考查了正方形的判定,平行四边形的性质,矩形的性质,对顶角的定义,熟记各性质 与判定方法是解题的关键 3.下列命题中是假命题的是() A 组对边平行且相等的四边形是平行四边形 组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
参考答案与试题解析 一.选择题(共 8 小题) 1.已知四边形 ABCD 是平行四边形,再从①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD 四个条 件中,选两个作为补充条件后,使得四边形 A. 选①② B.选②③ C.选ABCD①③是正方形,现有下列四种选法,其中错 D. 选②④ 误的是( ) 考点: 正方形的判定;平行四边形的性质. 分析: 要判定是正方形,则需能判定它既是菱形又是矩形. 解答: 解:A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形,由②得有一个角是直角的平行四边 形是矩形,所以平行四边形 ABCD 是正方形,正确,故本选项不符合题意; B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形,由③得对角线相等的平行四边形是矩形,所以不能得出 平行四边形 ABCD 是正方形,错误,故本选项符合题意; C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形,由③得对角线相等的平行四边形是矩形,所以平行四边 形 ABCD 是正方形,正确,故本选项不符合题意; D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形,由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形,所以平行 四边形 ABCD 是正方形,正确,故本选项不符合题意. 故选:B. 点评: 本题考查了正方形的判定方法: ①先判定四边形是矩形,再判定这个矩形有一组邻边相等; ②先判定四边形是菱形,再判定这个矩形有一个角为直角. ③还可以先判定四边形是平行四边形,再用 1 或 2 进行判定. 2.下列说法中,正确的是( ) A. 相等的角一定是对顶角 B. 四个角都相等的四边形一定是正方形 C. 平行四边形的对角线互相平分 D. 矩形的对角线一定垂直 考点: 正方形的判定;对顶角、邻补角;平行四边形的性质;矩形的性质. 分析: 根据对顶角的定义,正方形的判定,平行四边形的性质,矩形的性质对各选项分析判断利 用排除法求解. 解答: 解:A、相等的角一定是对顶角错误,例如,角平分线分成的两个角相等,但不是对顶角, 故本选项错误; B、四个角都相等的四边形一定是矩形,不一定是正方形,故本选项错误; C、平行四边形的对角线互相平分正确,故本选项正确; D、矩形的对角线一定相等,但不一定垂直,故本选项错误. 故选:C. 点评: 本题考查了正方形的判定,平行四边形的性质,矩形的性质,对顶角的定义,熟记各性质 与判定方法是解题的关键. 3.下列命题中是假命题的是( ) A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
C 组邻边相等的平行四边形是菱形 组邻边相等的矩形是正方形 考点: 正方形的判定:平行四边形的判定:菱形的判定:矩形的判定 证明题 分析 做题时首先熟悉各种四边形的判定方法,然后作答 解答 解:A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,(平行四边形判定定理);正确 B、一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形,不一定是矩形,还可能是不规则四边形,错误 C、一组邻边相等的平行四边形是菱形,正确 D、一组邻边相等的矩形是正方形,正确 故选B. 点评: 本题主要考查各种四边形的判定,基础题要细心 4.已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的有() ①当AB=BC时,它是菱形:②当AC⊥BD时,它是菱形:③当∠ABC=90时,它是矩形:④当AC=BD 附,它題方形.B.2组 C.3组 考点 正方形的判定:平行四边形的性质;菱形的判定;矩形的判定 分析 根据邻边相等的平行四边形是菱形可判断①正确:根据所给条件可以证出邻边相等,可判 断②正确:根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断③正确:根据 对角线相等的平行四边形是矩形可以判断出④错误 解答 解:①根据邻边相等的平行四边形是菱形可知:四边形ABCD是平行四边形,当AB=BC 时,它是菱形正确 ②四边形ABCD是平行四边形, BO=OD AC⊥BD, AB=B0+A0, AD=DO+AO, . AB=AD 粮据AB角是醉西形是矩形可知正确 ④根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD时,它是矩形,不是正方形,故④错误 故不正确的有1个 故选:A 此题主要考査了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定,关键是熟练掌握三种特殊平行 四边形的判定定理. 5.四边形ABCD的对角线AC=BD,AC⊥BD,分别过A、B、C、D作对角线的平行线,所成的四边形 IEMN)B.菱形 C.矩形 D 任意四边形
C. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 D. 一组邻边相等的矩形是正方形 考点: 正方形的判定;平行四边形的判定;菱形的判定;矩形的判定. 专题: 证明题. 分析: 做题时首先熟悉各种四边形的判定方法,然后作答. 解答: 解:A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,(平行四边形判定定理);正确. B、一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形,不一定是矩形,还可能是不规则四边形,错误. C、一组邻边相等的平行四边形是菱形,正确; D、一组邻边相等的矩形是正方形,正确. 故选 B. 点评: 本题主要考查各种四边形的判定,基础题要细心. 4.已知四边形 ABCD 是平行四边形,下列结论中不正确的有( ) ①当 AB=BC 时,它是菱形;②当 AC⊥BD 时,它是菱形;③当∠ABC=90°时,它是矩形;④当 AC=BD 时,它是正方形. A. 1 组 B.2 组 C.3 组 D. 4 组 考点: 正方形的判定;平行四边形的性质;菱形的判定;矩形的判定. 分析: 根据邻边相等的平行四边形是菱形可判断①正确;根据所给条件可以证出邻边相等,可判 断②正确;根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断③正确;根据 对角线相等的平行四边形是矩形可以判断出④错误. 解答: 解:①根据邻边相等的平行四边形是菱形可知:四边形 ABCD 是平行四边形,当 AB=BC 时,它是菱形正确; ②∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴BO=OD, ∵AC⊥BD, ∴AB2=BO2+AO2,AD2=DO2+AO2, ∴AB=AD, ∴四边形 ABCD 是菱形,故②正确; ③根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可知③正确; ④根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当 AC=BD 时,它是矩形,不是正方形,故④错误; 故不正确的有 1 个. 故选:A. 点评: 此题主要考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定,关键是熟练掌握三种特殊平行 四边形的判定定理. 5.四边形 ABCD 的对角线 AC=BD,AC⊥BD,分别过 A、B、C、D 作对角线的平行线,所成的四边形 EFMN A. 正方是(形 ) B.菱形 C.矩形 D. 任意四边形
考点 正方形的判定 誓:搦于飴质和判定得出∠NAO=∠AOD=∠AN=90,EN= NM=FM=EF,进而判断即可 分别过A、B、C、D作对角线的平行线, ACILMNILEF,EN‖BDMF, 对角线AC=BD,AC⊥BD, ∠NAO=∠AOD=∠N=90°,EN=NM=FM=EF 成边EFNN是正方形 点评 此题主要考查了正方形的判定以及平行线的性质和判定等知识,熟练掌握正方形的判定定 理是解题关键 6.如果要证明平行四边形ABCD为正方形,那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上,进 步证明() A.AB=AD且AC⊥BDB.AB=AD且AC=BDC.∠A=∠B且AC=BDD.AC和BD互相垂 直平分 考点 正方形的判定 分析 根据正方形的判定对各个选项进行分析从而得到最后的答案 解答 解:A、根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形,或者对角线互相垂直的平行四边形是 菱形,所以不能判断平行四边形ABCD是正方形 B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形,对角线相等的平行四边形为矩形,所以能判断四边形ABCD 是正方形 C、一组邻角相等的平行四边形是矩形,对角线相等的平行四边形也是矩形,即只能证明四边形ABCD是 矩形,不能判断四边形ABCD是正方形 D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形,对角线互相平分的四边形是平行四边形,所以不能判断四边形 ABCD是正方形 点评 本题是考查正方形的判别方法,判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念,途经有 两种: ①先说明它是矩形,再说明有一组邻边相等 ②先说明它是菱形,再说明它有一个角为直角 7.下列命题中,真命题是() A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形
考点: 正方形的判定. 分析: 根据平行线的性质和判定得出∠NAO=∠AOD=∠N=90°,EN=NM=FM=EF,进而判断即可. 解答: 证明:如图所示: ∵分别过 A、B、C、D 作对角线的平行线, ∴AC∥MN∥EF,EN∥BD∥MF, ∵对角线 AC=BD,AC⊥BD, ∴∠NAO=∠AOD=∠N=90°,EN=NM=FM=EF, ∴四边形 EFMN 是正方形. 故选:A. 点评: 此题主要考查了正方形的判定以及平行线的性质和判定等知识,熟练掌握正方形的判定定 理是解题关键. 6.如果要证明平行四边形 ABCD 为正方形,那么我们需要在四边形 ABCD 是平行四边形的基础上,进一 步证明( ) A. AB=AD 且 AC⊥BD B. AB=AD 且 AC=BD C.∠A=∠B 且 AC=BD D. AC 和 BD 互相垂 直平分 考点: 正方形的判定. 分析: 根据正方形的判定对各个选项进行分析从而得到最后的答案. 解答: 解:A、根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形,或者对角线互相垂直的平行四边形是 菱形,所以不能判断平行四边形 ABCD 是正方形; B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形,对角线相等的平行四边形为矩形,所以能判断四边形 ABCD 是正方形; C、一组邻角相等的平行四边形是矩形,对角线相等的平行四边形也是矩形,即只能证明四边形 ABCD 是 矩形,不能判断四边形 ABCD 是正方形; D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形,对角线互相平分的四边形是平行四边形,所以不能判断四边形 ABCD 是正方形. 故选 B. 点评: 本题是考查正方形的判别方法,判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念,途经有 两种: ①先说明它是矩形,再说明有一组邻边相等; ②先说明它是菱形,再说明它有一个角为直角. 7.下列命题中,真命题是( ) A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线互相平分的四边形是平行四边形 D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形 考点: 正方形的判定:平行四边形的判定:菱形的判定;矩形的判定;命题与定理. 分析: A、根据矩形的定义作出判断: B、根据菱形的性质作出判断 C、根据平行四边形的判定定理作出判断 D、根据正方形的判定定理作出判断 解答 解:A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形;故本选项错误 B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形;故本选项错误 C、对角线互相平分的四边形是平行四边形;故本选项正确 D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形;故本选项错误; 故选C 点评 本题综合考査了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定,解答此题时,必须理清矩形 正方形、菱形与平行四边形间的关系 8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF,添 边形BECF为正方形的是() A. BC=AC B.CF⊥BF C. BD=DE AC=BF 考点 正方形的判定:线段垂直平分线的性质 分析 根据中垂线的性质:中垂线上的点到线段两个端点的距离相等,有BE=EC,BF=FC进而 得出四边形BECF是菱形;由菱形的性质知,以及菱形与正方形的关系,进而分别分析得出即可 解答: 解:∵EF垂直平分BC BE=EC, BF=CF BF=BE .BE=EC=CF=BF 型H;F是菱形 ∠ACB=90°, 则∠A=45°时,菱形BECF是正方形 ∠A=45°,∠ACB=90°, ∠EBC=45 ∠EBF=2∠EBC=2×45°=90° 成菱罡确,正不行合题意 当CF⊥BF时,利用正方形的判定得出,菱形BECF是正方形,故选项B正确,但不符合题意:
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 考点: 正方形的判定;平行四边形的判定;菱形的判定;矩形的判定;命题与定理. 分析: A、根据矩形的定义作出判断; B、根据菱形的性质作出判断; C、根据平行四边形的判定定理作出判断; D、根据正方形的判定定理作出判断. 解答: 解:A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形;故本选项错误; B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形;故本选项错误; C、对角线互相平分的四边形是平行四边形;故本选项正确; D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形;故本选项错误; 故选 C. 点评: 本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定.解答此题时,必须理清矩形、 正方形、菱形与平行四边形间的关系. 8.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D,交 AB 于点 E,且 BE=BF,添 加一个条件,仍不能证明四边形 BECF 为正方形的是( ) A. BC=AC B.CF⊥BF C.BD=DF D. AC=BF 考点: 正方形的判定;线段垂直平分线的性质. 分析: 根据中垂线的性质:中垂线上的点到线段两个端点的距离相等,有 BE=EC,BF=FC 进而 得出四边形 BECF 是菱形;由菱形的性质知,以及菱形与正方形的关系,进而分别分析得出即可. 解答: 解:∵EF 垂直平分 BC, ∴BE=EC,BF=CF, ∵BF=BE, ∴BE=EC=CF=BF, ∴四边形 BECF 是菱形; 当 BC=AC 时, ∵∠ACB=90°, 则∠A=45°时,菱形 BECF 是正方形. ∵∠A=45°,∠ACB=90°, ∴∠EBC=45° ∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90° ∴菱形 BECF 是正方形. 故选项 A 正确,但不符合题意; 当 CF⊥BF 时,利用正方形的判定得出,菱形 BECF 是正方形,故选项 B 正确,但不符合题意;
当BD=DF时,利用正方形的判定得出,菱形BECF是正方形,故选项C正确,但不符合题意 当AC=BF时,无法得出菱形BECF是正方形,故选项D错误,符合题意 故选:D 本题考查了菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质、正方形的判定等知识 熟练掌握正方形的相关的定理是解题关键 填空题(共6小题) 9.能使平行四边形ABCD为正方形的条件是_AC=BD且AC⊥BD(填上一个符合题目要求的条件即 可) 考点 正方形的判定:平行四边形的性质 专题 开放型 对角线互相垂直的平行四边形是菱形,对角线相等的平行四边形是矩形,矩形和菱形的结 合体是正方形 解答: 解:可添加对角线相等且对角线垂直或对角线相等,且一组邻边相等;或对角线垂直,有 点内角是9°本騫香生方形攙,篙是形邾矩形的结合 10.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,DE垂直平分AC,DF⊥BC,当△ABC满足条件AC=BC时, 四瑭彩D①唐添加瓶何辅助线,②只需填一个符合要求的条件) A C 考点: 正方形的判定 专题 计算题;开放型. 分 由己知可得四边形的四个角都为直角,因此再有四边相等即是正方形添加条件.此题可从 四边形DECF是正方形推出 解答: 解:设AC=BC,即△ABC为等腰直角三角形 ∠C=90°,DE垂直平分AC,DF⊥BC, ∠C=∠CED=∠EDF=∠DFC=90 DF=AC=CE, DE=BC=CF DF=CE=DE=CF 业染DF長正方形, 点评 此题考查的知识点是正方形的判定,解题的关键是可从四边形DECF是正方形推出△ABC 满足的条件
当 BD=DF 时,利用正方形的判定得出,菱形 BECF 是正方形,故选项 C 正确,但不符合题意; 当 AC=BF 时,无法得出菱形 BECF 是正方形,故选项 D 错误,符合题意. 故选:D. 点评: 本题考查了菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质、正方形的判定等知识, 熟练掌握正方形的相关的定理是解题关键. 二.填空题(共 6 小题) 9.能使平行四边形 ABCD 为正方形的条件是 AC=BD 且 AC⊥BD (填上一个符合题目要求的条件即 可). 考点: 正方形的判定;平行四边形的性质. 专题: 开放型. 分析: 对角线互相垂直的平行四边形是菱形,对角线相等的平行四边形是矩形,矩形和菱形的结 合体是正方形. 解答: 解:可添加对角线相等且对角线垂直或对角线相等,且一组邻边相等;或对角线垂直,有 一个内角是 90°.答案不唯一,此处填:AC=BD 且 AC⊥BD. 点评: 本题考查正方形的判定,需注意它是菱形和矩形的结合. 10.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,DE 垂直平分 AC,DF⊥BC,当△ABC 满足条件 AC=BC 时, 四边形 (要求:DECF ①不再添加任何辅助线, 是正方形. ②只需填一个符合要求的条件) 考点: 正方形的判定. 专题: 计算题;开放型. 分析: 由已知可得四边形的四个角都为直角,因此再有四边相等即是正方形添加条件.此题可从 四边形 DECF 是正方形推出. 解答: 解:设 AC=BC,即△ABC 为等腰直角三角形, ∵∠C=90°,DE 垂直平分 AC,DF⊥BC, ∴∠C=∠CED=∠EDF=∠DFC=90°, DF= AC=CE, DE= BC=CF, ∴DF=CE=DE=CF, ∴四边形 DECF 是正方形, 故答案为:AC=BC. 点评: 此题考查的知识点是正方形的判定,解题的关键是可从四边形 DECF 是正方形推出△ABC 满足的条件.