第2课时矩形的判定 矩形的判定 (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形 (2)对角线相等的平行四边形是矩形 3)有三个角是直角的四边形是矩形 1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是() A.对角相等 B.对边相等C.对角线相等D.对角线互相垂直 2.下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是() ①对角线互相平分的四边形:②对角线相等的四边形;③对角线相等的平行四边形;④对角线互相平 分且相等的四边形 A.1 B.2 3.下列命题中,正确的是() A.有一个角是直角的四边形是矩形 B.三个角是直角的多边形是矩形 C.两条对角线互相垂直且相等的四边形是矩形D.有三个角是直角的四边形是矩形 4.如图1所示,矩形ABCD中的两条对角线相交于点O,∠AOD=120°,AB=4cm,则矩形的对角线的长为 图2 5.若四边形ABCD的对角线AC,BD相等,且互相平分于点0,则四边形ABCD是形,若∠AOB=60°, 那么AB:AC 6.如图2所示,已知矩形ABCD周长为24cm,对角线交于点0,OE⊥DC于点E,OF⊥AD于点F,OF-OE=2cm, 则AB= BC= 7.如图所示,ABCD的四个内角的平分线分别相交于E,F,G,H,试说明四边形EFGH是矩形 8.如图所示,△ABC中,CE,CF分别平分∠ACB和它的邻补角∠ACD.AE⊥CE于E,AF⊥CF于F,直线
D A C F O E B 第 2 课时 矩形的判定 矩形的判定 (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形。 (2)对角线相等的平行四边形是矩形。 (3)有三个角是直角的四边形是矩形。 1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( ) A.对角相等 B.对边相等 C.对角线相等 D.对角线互相垂直 2.下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是( ) ①对角线互相平分的四边形;②对角线相等的四边形;③对角线相等的平行四边形;④对角线互相平 分且相等的四边形. A.1 B.2 C.3 D.4 3.下列命题中,正确的是( ) A.有一个角是直角的四边形是矩形 B.三个角是直角的多边形是矩形 C.两条对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 D.有三个角是直角的四边形是矩形 4.如图 1 所示,矩形 ABCD 中的两条对角线相交于点 O,∠AOD=120°,AB=4cm,则矩形的对角线的长为_____. 图 1 图 2 5.若四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 相等,且互相平分于点 O,则四边形 ABCD•是_____形,若∠AOB=60°, 那么 AB:AC=______. 6.如图 2 所示,已知矩形 ABCD 周长为 24cm,对角线交于点 O,OE⊥DC 于点 E,OF⊥AD 于点 F,OF-OE=2cm, 则 AB=______,BC=______. 7.如图所示,□ABCD 的四个内角的平分线分别相交于 E,F,G,H,试说明四边形 EFGH 是矩形. 8.如图所示,△ABC 中,CE,CF 分别平分∠ACB 和它的邻补角∠ACD.AE⊥CE 于 E,AF⊥CF 于 F,直线
EF分别交AB,AC于M,N两点,则四边形AECF是矩形吗?为什么? 9.(一题多解题)如图所示,△ABC为等腰三角形,AB=AC,CD⊥AB于D,P为BC上的一点,过P点分别 作PE⊥AB,PF⊥CA,垂足分别为E,F,则有PE+PF=CD,你能说明为什么吗? 10.如图所示,△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,AE是∠CAF的平分线且∠CAF是△ABC的一个外角, 且DE∥BA,四边形ADCE是矩形吗?为什么? 11.如图所示是一个书架,你能用一根绳子检查一下书架的侧边是否和上下底垂直吗?为什么? 12.已知AC为矩形ABCD的对角线,则下图中∠1与∠2一定不相等的是()
D A C F P E B EF 分别交 AB,AC 于 M,N 两点,则四边形 AECF 是矩形吗?为什么? 9.(一题多解题)如图所示,△ABC 为等腰三角形,AB=AC,CD⊥AB 于 D,P•为 BC 上的一点,过 P 点分别 作 PE⊥AB,PF⊥CA,垂足分别为 E,F,则有 PE+PF=CD,你能说明为什么吗? 10.如图所示,△ABC 中,AB=AC,AD 是 BC 边上的高,AE•是∠CAF 的平分线且∠CAF 是△ABC 的一个外角, 且 DE∥BA,四边形 ADCE 是矩形吗?为什么? 11.如图所示是一个书架, 你能用一根绳子检查一下书架的侧边是否和上下底垂直吗?为什么? 12.已知 AC 为矩形 ABCD 的对角线,则下图中∠1 与∠2 一定不相等的是( )
C D D C dB A 13.正方形通过剪切可以拼成三角形.方法如图1所示,仿照图1上用图示的方法,解答下面问题:如图 ,对直角三角形,设计一种方案,将它分成若干块,再拼成一个与原三角形等面积的矩形 图① 14.(展开与折叠题)已知如图所示,折叠矩形纸片ABCD,先折出折痕(对角线)BD,再过点D折叠,使 AD落在折痕BD上,得另一折痕DG,若AB=2,BC=1,求AG的长度 参考答案 1.C 2.B 3.D4.8cm5.矩;1:2 6. 8cm: 4cm 7.解:∠HAB+∠HBA=90°,所以∠H=90°.同理可求得∠HEF=∠F=∠FGH=90°, 所以四边形EFGH是矩形 8.解:四边形AECF是矩形.∠ECF=-(∠ACB+∠ACD)=90°.∠AEC=∠AFC=90 点拨:本题是通过证四边形中三个角为直角得出结论.还可以通过证其为平行四边形,再证有一个 角为直角得出结论 9.解法一:能.如图1所示,过P点作PH⊥DC,垂足为H
13.正方形通过剪切可以拼成三角形.方法如图 1 所示,仿照图 1 上用图示的方法,解答下面问题:如图 2,对直角三角形,设计一种方案,将它分成若干块, 再拼成一个与原三角形等面积的矩形. 图 1 图 2 14.(展开与折叠题)已知如图所示,折叠矩形纸片 ABCD,先折出折痕(对角线)BD,再过点 D 折叠,使 AD 落在折痕 BD 上,得另一折痕 DG,若 AB=2,BC=1,求 AG 的长度. 参考答案 1.C 2.B 3.D 4.8cm 5.矩;1:2 6.8cm;4cm 7.解:∠HAB+∠HBA=90°,所以∠H=90°.同理可求得∠HEF=∠F=∠FGH=90°, 所以四边形 EFGH 是矩形. 8.解:四边形 AECF 是矩形.∠ECF= 1 2 (∠ACB+∠ACD)=90°.∠AEC=∠AFC=90°, 点拨: 本题是通过证四边形中三个角为直角得出结论.还可以通过证其为平行四边形,再证有一个 角为直角得出结论. 9.解法一:能.如图 1 所示,过 P 点作 PH⊥DC,垂足为 H.
四边形PHDE是矩形.所以PE=DH,PH∥BD.所以∠HPC=∠B.图 又因为AB=AC,所以∠B=∠ACB.所以∠HPC=∠FCP. 又因为PC=CP,∠PHC=∠CFP=90°,所以△PHC≌△CFP.所以PF=HC 所以DH+HC=PE+PF,即DC=PE+PF 图2 解法二:能.延长EP,过C点作CH⊥EP,垂足为H,如图2所示 四边形HDC是矩形.所以EH=PE+PH=DC,CH∥AB.所以∠HCP=∠ △PHC≌△PFC,所以PH=PF,所以PE+PF=DC 10.解:是矩形;理由:∠CAE=∠ACB,所以AE∥BC.又DE∥BA,所以四边形ABDE是平行四边形, 所以AE=BD,所以AE=DC.又因为AE∥DC,所以四边形ADCE是平行四边形.又因为∠ADC=90°,所以四边 形ADCE是矩形 1.解:能:;首先用绳子量一下书架的两组对边,再用绳子量一下书架的对角线,若对角线相等,则 书架的侧边和上下底垂直,否则不垂直.12.D 13.解:本题有多种拼法,下面提供几种供参考 方法一:如图(1),方法二:如图(2) 方法一: 不方法 中 中点 4.解:如图所示,过点G作GE⊥BD于点E,则AG=EG,AD=ED.在Rt△ABD中,由勾股定理,得BD=√5, 所以BE=BDDE=BDA=√5-1,BG=AB-AG=2-AG,设AG=EG=x,则BG=2-x.在Rt△BEG中,由勾股定理, 得BC2=EG+BE,即(2-x)2=(√5-1)2+x, 解得x= 2即AG=S-1 E 2
四边形 PHDE 是矩形.所以 PE=DH,PH∥BD.所以∠HPC=∠B. 图 1 又因为 AB=AC,所以∠B=∠ACB.所以∠HPC=∠FCP. 又因为 PC=CP,∠PHC=∠CFP=90°,所以△PHC≌△CFP.所以 PF=HC 所以 DH+HC=PE+PF,即 DC=PE+PF. 图 2. 解法二:能.延长 EP,过 C 点作 CH⊥EP,垂足为 H,如图 2 所示, 四边形 HEDC 是矩形.所以 EH=•PE+PH=DC,CH∥AB.所以∠HCP=∠B. △PHC≌△PFC,所以 PH=PF,所以 PE+PF=DC. 10.解:是矩形;理由:∠CAE=∠ACB,所以 AE∥BC.又 DE∥BA,所以四边形 ABDE 是平行四边形, 所以 AE= BD,所以 AE=DC.又因为 AE∥DC,所以四边形 ADCE 是平行四边形.又因为∠ADC=90°,所以四边 形 ADCE 是矩形. 11.解:能;首先用绳子量一下书架的两组对边,再用绳子量一下书架的对角线,若对角线相等,则 书架的侧边和上下底垂直,否则不垂直.12.D 13.解:本题有多种拼法,下面提供几种供参考: 方法一:如图(1),方法二:如图(2) 14.解:如图所示,过点 G 作 GE⊥BD 于点 E,则 AG=EG,AD=ED.在 Rt△ABD 中,由勾股定理,得 BD= 5 , 所以 BE=BD-DE=BD-AD= 5 -1,BG=•AB-AG=2-AG,设 AG=EG=x,则 BG=2-x.在 Rt△BEG 中,由勾股定理, 得 BG2 =EG2 +BE2,即(2-x) 2 =( 5 -1) 2 +x2, 解得 x= 5 1 2 − ,即 AG= 5 1 2 − .