13正方形的性质与判定 基础过关 1.若正方形的边长是4,则它的对角线长是 面积是 2.正方形的对角线与边长之比是 3.如图,点E是正方形ABCD的边BC延长线上的一点,且CE=AC,若AE交CD于点F,则∠E= ∠AFC 4.如图,E是正方形ABCD对角线AC上任意一点,四边形EFBG是矩形,若正方形ABCD的周长a,则矩形 EFBG的周长是 5.已知四边形ABCD是菱形,当满足 时,它成为正方形(填上你认为正确的一个条件即 6.已知四边形ABCD是矩形,当满足 时,它成为正方形(填上你认为正确的一个条件即 B E B C (7题图) (3题图) (4题图) 能力提高 如图,以数轴的单位长线段为边作一正方形,以数轴的原点为圆心,正方形的对角线长为半径画弧,交 数轴正半轴与点A,则点A表示的数是 如图,E为正方形ABCD内一点,若△ABE是等边三角形,则∠DCE= D A(8题图)B (9题图) 9.如图,正方形ABCD的边长为4,MN∥BC分别交AB、CD于点M,N,在MN上任取两点P、Q,那 么图中阴影部分的面积是 10.如图,正方形ABCD边长为8,M在DC上,且DM=2,N是在AC上的一动点,则DN+MN的最小值为 E (10题图) (ll题图) B (12题图) (第14题图) 11.如图,正方形ABCD的对角线AC是菱形AEFC的一边,则∠FAB等于() A.135° B.45 C.22.5° D.30° 12.如图,E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点,且CE=DF,AE、BF相交于点O,下列结论(1)AE=BF (2)AE⊥BF;(3)AO=OE:(4)S△AB=S则边形DD中,错误的有()
1.3 正方形的性质与判定 基础过关 1.若正方形的边长是 4，则它的对角线长是_________，面积是_________. 2.正方形的对角线与边长之比是_____________. 3．如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 BC 延长线上的一点，且 CE=AC，若 AE 交 CD 于点 F，则∠E= °； ∠AFC= ° 4.如图，E 是正方形 ABCD 对角线 AC 上任意一点，四边形 EFBG 是矩形，若正方形 ABCD 的周长 a，则矩形 EFBG 的周长是__________. 5.已知四边形 ABCD 是菱形，当满足________________时，它成为正方形（填上你认为正确的一个条件即 可）. 6. 已知四边形 ABCD 是矩形，当满足_______________时，它成为正方形（填上你认为正确的一个条件即 可）. 能力提高 7.如图，以数轴的单位长线段为边作一正方形，以数轴的原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交 数轴正半轴与点 A，则点 A 表示的数是______________. 8．如图，E 为正方形 ABCD 内一点，若△ABE 是等边三角形，则∠DCE= °. 9.如图，正方形 ABCD 的边长为 4 ， MN BC ∥ 分别交 AB、CD 于点 M N ， ，在 MN 上任取两点 P、Q，那 么图中阴影部分的面积是 . 10.如图，正方形 ABCD 边长为８，M 在 DC 上，且 DM＝２，N 是在 AC 上的一动点，则 DN＋MN 的最小值为 ___________. 11. 如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 是菱形 AEFC 的一边，则∠FAB 等于( ) A.135° B.45° C.22.5° D.30° 12.如图，E、F 分别是正方形 ABCD 的边 CD、AD 上的点，且 CE=DF，AE、BF 相交于点 O，下列结论（1）AE=BF； （2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）S△AOB=S 四边形 DEOF 中，错误的有（ ） （11 题图） （12 题图） O E D B A C F (10 题图) B A D C N M a b c l （第 14 题图） (9 题图) A B C D M N P Q D A E C B (8 题图) (3题图) F B E A D C (4 题图) F G B A D C E -1 O 1 A (7 题图)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 13.将一正方形纸片按下列顺序折叠,然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形.将纸片展开 得到的图形是() 14.如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为5和11,则b的面积为() A.4 B.6 15.四边形ABCD中,AC、BD交于点0,能判别这个四边形是正方形的条件是() A.OA=OB=0C=0D,AC⊥BDB.AB∥CD,AC=BDC.AD∥BC,∠A=∠CD.OA=0C,OB=OD,AB=BC 16.用两块完全相同的直角三角形一定能拼下列图形:(1)平行四边形(2)矩形(3)菱形(4)正方形(5) 等腰三角形(6)等边三角形,一定能拼成的图形是() A.(1)(4)(5) B.(2)(5)(6) C.(1)(2)(3) D.(1)(2)(5) 17.如下图,ABCD和AEFG都是正方形.求证:BE=DG 18.把正方形ABCD绕着点A,按顺时针方向旋转得到正方形AEFG,边FG与BC交于点H(如图).试问线段 HG与线段HB相等吗?请先观察猜想,然后再证明你的猜想. C
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 13．将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展开， 得到的图形是 （ ） 14．如图，直线 l 上有三个正方形 a b c ， ， ，若 a c ， 的面积分别为 5 和 11，则 b 的面积为（ ） Ａ．4 Ｂ．6 Ｃ．16 Ｄ．55 15.四边形 ABCD 中，AC、BD 交于点 O，能判别这个四边形是正方形的条件是（ ） A.OA=OB=OC=OD，AC⊥BD B.AB∥CD，AC=BD C.AD∥BC，∠A=∠C D.OA=OC，OB=OD，AB=BC 16.用两块完全相同的直角三角形一定能拼下列图形：（1）平行四边形（2）矩形（3）菱形（4）正方形（5） 等腰三角形（6）等边三角形，一定能拼成的图形是（ ） A.（1）（4）（5） B.（2）（5）（6） C.(1)(2)(3) D.(1)(2)(5) 17.如下图，ABCD 和 AEFG 都是正方形.求证：BE=DG 18.把正方形 ABCD 绕着点 A，按顺时针方向旋转得到正方形 AEFG，边 FG 与 BC 交于点 H（如图）．试问线段 HG 与线段 HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想． A． B． C． D． G E A B C D F D C A B G H F E
19.如图,ABCD是正方形,点G是BC上的任意一点,DE⊥AG于E,BF∥DE,交AG于F,求证:AF-BF=EF 证明:∵四边形ABCD是正方形, D G C 0.如图,正方形ABCD的边长是1,G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合),以CG为一边向正方 形ABCD外作正方形GCEF,连结DE交BG的延长线于H. (1)求证:△BCG≌△DCE;(2)BH⊥DE;(3)试问当点G运动到什么位置时,BH垂直平分DE D G 21.如图1,已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是AC上一点,连结EB,过点A作AM⊥BE, 垂足为M,AM交BD于点F (1)求证:OE=OF (2)如图2,若点E在AC的延长线上,AM⊥BE于点M,交DB的延长线于点F,其它条件不变,则结论 “OE=OF”还成立吗?如果成立,请给出证明:如果不成立,请说明理由
19. 如图，ABCD 是正方形，点 G 是 BC 上的任意一点，DE⊥AG 于 E，BF∥DE，交 AG 于 F，求证：AF—BF=EF． 证明：∵四边形 ABCD 是正方形， 20.如图，正方形 ABCD 的边长是 1，G 是 CD 边上的一个动点（点 G 与 C、D 不重合），以 CG 为一边向正方 形 ABCD 外作正方形 GCEF，连结 DE 交 BG 的延长线于 H. （1）求证：△BCG≌△DCE；（2）BH⊥DE；（3）试问当点 G 运动到什么位置时，BH 垂直平分 DE？ 21．如图 l，已知正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是 AC 上一点，连结 EB，过点 A 作 AM ⊥ BE， 垂足为 M，AM 交 BD 于点 F． ⑴求证：OE＝OF； ⑵如图 2，若点 E 在 AC 的延长线上，AM ⊥ BE 于点 M，交 DB 的延长线于点 F，其它条件不变，则结论 “OE＝OF”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． H E G B A D C F G F E D B C A A D A D
E B B 图 图2 E 22.如图,Q是正方形ABCD的CD边的中点,P为CD上一点,且AP=PC+CB.求证:∠BAP=2∠ B 聚沙成塔 1.如图,△ABC中,点0是AC边上一动点,过点0作直线MN∥BC,交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的 外角平分线于F (1)求证:EO=FO:(2)当0运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?证明你的结论:(3)在(2)的条 件下,当ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?说明你的理由 F N B
22.如图，Q 是正方形 ABCD 的 CD 边的中点，P 为 CD 上一点，且 AP=PC+CB.求证：∠BAP=2∠ QAD. 聚沙成塔 1.如图，△ABC 中，点 O 是 AC 边上一动点，过点 O 作直线 MN∥BC，交∠ACB 的平分线于点 E，交∠ACB 的 外角平分线于 F. （1）求证：EO=FO；（2）当 O 运动到什么位置时，四边形 AECF 是矩形？证明你的结论；（3）在（2）的条 件下，当 ABC 满足什么条件时，四边形 AECF 是正方形？说明你的理由. E F B C A D O M N B C Q A D P B C O F E M 图 1 B C 图 2 O M F E
2.如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,M、N分别是AD、BC的中点,E、F分别是BM、CM的中点 (1)求证:四边形MENF是菱形;(2)若四边形MNF是正方形,请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC 的数量关系并说明你的结论 B N
2.如图，等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，M、N 分别是 AD、BC 的中点，E、F 分别是 BM、CM 的中点. （1）求证：四边形 MENF 是菱形； （2）若四边形 MENF 是正方形，请探索等腰梯形 ABCD 的高和底边 BC 的数量关系并说明你的结论. E F B N M C A D