63反比例函数的应用 教学目标: (一)教学知识点 1.经历分析实际问题中变量之间的关系,建立反比例函数模型,进而解决问题的过程. 2.体会数学与现实生活的紧密联系,增强应用意识.提高运用代数方法解决问题的能力 (二)能力训练要求 通过对反比例函数的应用,培养学生解决问题的能力 (三)情感与价值观要求 经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程,初步学会从数学的角度提出问题。理解问题,并能综合 运用所学的知识和技能解决问题发展应用意识,初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展 的作用 教学重点:用反比例函数的知识解决实际问题 教学难点:如何从实际问题中抽象出数学问题、建立数学模型,用数学知识去解决实际问题 教学方法:教师引导学生探索法. 教具准备:多媒体课件 教学过程: Ⅰ.创设问题情境,引入新课 [师]有关反比例函数的表达式,图象的特征我们都研究过了,那么,我们学习它们的目的是什么呢? [生]是为了应用 [师]很好.学习的目的是为了用学到的知识解决实际问题.究竟反比例函数能解决一些什么问题呢?本 节课我们就来学一学 Ⅱ.新课讲解 某校科技小组进行野外考察,途中遇到片十几米宽的烂泥湿地.为了安全、迅速通过这片湿地,他们沿着 前进路线铺垫了若干块木板,构筑成一条临时通道,从而顺利完成了任务.你能解释他们这样做的道理吗? 当人和木板对湿地的压力一定时随着木板面积S(m2)的变化,人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化?如 果人和木板对湿地地面的压力合计600N,那么 (1)用含S的代数式表示p,p是S的反比例函数吗? 为什么 2)当木板画积为0.2m2时.压强是多少? 3)如果要求压强不超过6000Pa,木板面积至少要多大? (4)在直角坐标系中,作出相应的函数图象 (5)请利用图象对(2)和(3)作出直观解释,并与同伴进 行交流 [师]分析:首先要根据题意分析实际问题中的两个 变量,然后看这两个变量之间存在的关系,从而去 分析它们之间的关系是否为反比例函数关系,若是
6.3 反比例函数的应用 教学目标： (一)教学知识点 1.经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题的过程. 2.体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识.提高运用代数方法解决问题的能力 (二)能力训练要求 通过对反比例函数的应用，培养学生解决问题的能力. (三)情感与价值观要求 经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程，初步学会从数学的角度提出问题。理解问题，并能综合 运用所学的知识和技能解决问题.发展应用意识，初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展 的作用. 教学重点：用反比例函数的知识解决实际问题. 教学难点：如何从实际问题中抽象出数学问题、建立数学模型，用数学知识去解决实际问题. 教学方法：教师引导学生探索法. 教具准备：多媒体课件 教学过程： Ⅰ.创设问题情境，引入新课 [师]有关反比例函数的表达式，图象的特征我们都研究过了，那么，我们学习它们的目的是什么呢? [生]是为了应用. [师]很好.学习的目的是为了用学到的知识解决实际问题.究竟反比例函数能解决一些什么问题呢?本 节课我们就来学一学. Ⅱ. 新课讲解 某校科技小组进行野外考察，途中遇到片十几米宽的烂泥湿地.为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着 前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务.你能解释他们这样做的道理吗? 当人和木板对湿地的压力一定时随着木板面积 S(m2 )的变化,人和木板对地面的压强 p(Pa)将如何变化?如 果人和木板对湿地地面的压力合计 600 N，那么 (1)用含 S 的代数式表示 p，p 是 S 的反比例函数吗? 为什么? (2)当木板画积为 0.2 m2 时.压强是多少? (3)如果要求压强不超过 6000 Pa，木板面积至少要多大? (4)在直角坐标系中，作出相应的函数图象. (5)请利用图象对(2)和(3)作出直观解释，并与同伴进 行交流. [师]分析：首先要根据题意分析实际问题中的两个 变量，然后看这两个变量之间存在的关系，从而去 分析它们之间的关系是否为反比例函数关系，若是
则可用反比例函数的有关知识去解决问题 请大家互相交流后回答 生](①)由p=F得p2600 p是S的反比例函数,因为给定一个S的值.对应的就有唯一的一个p值和它对应,根据函数定义,则 p是S的反比例函数 (2)当S=0.2m2时, 600 3000(Pa) 0.2 当木板面积为0.2m2时,压强是3000Pa. (3)当p=6000Pa时 600 6000 如果要求压强不超过6000Pa,木板面积至少要0.1m2 (4)图象如下 A D/Pa 0020030010050060s/m (5)(2)是已知图象上某点的横坐标为0.2,求该点的纵坐标:(3)是已知图象上点的纵坐标不大于6000, 求这些点所处的位置及它们横坐标的取值范围. [师]这位同学回答的很好,下面我要提一个问题,大家知道 反比例函数的图象是两支双曲线、它们要么位于第一、三象限 要么位于第二、四象限,从()中已知p=6000,所以图象应位于第一、三象限,为什么这位同学 只画出了一支曲线,是不是另一支曲线丢掉了呢?还是因为题中只给出了第一象限呢? [生]第三象限的曲线不存在,因为这是实际问题,S不可能取负数,所以第三象限的曲线不存在 [师]很好,那么在(1)中是不是应该有条件限制呢? J/A [生]是,应为p==(S>0) 做一做 1.蓄电池的电压为定值.使用此电源时,电流I(A)与电阻 R(9)之间的函数关系如下图所示 (1)蓄电池的电压是多少?你能写出这一函数的表达式吗? A(9,4) (2)完成下表,并回答问题:如果以此蓄电池为电源的用电 器限制电流不得超过10A,那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内? 468lol211618R/g I/A 师]从图形上来看,I和R之间可能是反比例函数关系.电压U就相当于反比例函数中的k.要写出函 数的表达式,实际上就是确定k(U),只需要一个条件即可,而图中已给出了一个点的坐标,所以这个问题 就解决了,填表实际上是已知自变量求函数值
则可用反比例函数的有关知识去解决问题. 请大家互相交流后回答. [生](1)由 p= S F 得 p= S 600 p 是 S 的反比例函数，因为给定一个 S 的值.对应的就有唯一的一个 p 值和它对应，根据函数定义，则 p 是 S 的反比例函数. (2)当 S=0.2 m2 时， p= 0.2 600 =3000(Pa). 当木板面积为 0.2m2 时，压强是 3000Pa. (3)当 p=6000 Pa 时， S= 6000 600 =0.1(m2 ). 如果要求压强不超过 6000 Pa，木板面积至少要 0.1 m2 . (4)图象如下： (5)(2)是已知图象上某点的横坐标为 0.2，求该点的纵坐标；(3)是已知图象上点的纵坐标不大于 6000， 求这些点所处的位置及它们横坐标的取值范围. [师]这位同学回答的很好，下面我要提一个问题，大家知道 反比例函数的图象是两支双曲线、它们要么位于第一、三象限， 要么位于第二、四象限，从(1)中已知 p＝ S 600 >0，所以图象应位于第一、三象限，为什么这位同学 只画出了一支曲线，是不是另一支曲线丢掉了呢?还是因为题中只给出了第一象限呢? [生]第三象限的曲线不存在，因为这是实际问题，S 不可能取负数，所以第三象限的曲线不存在. [师]很好，那么在(1)中是不是应该有条件限制呢? [生]是，应为 p＝ S 600 (S>0). 做一做 1. 蓄电池的电压为定值.使用此电源时，电流 I(A)与电阻 R(Ω)之间的函数关系如下图所示； (1)蓄电池的电压是多少?你能写出这一函数的表达式吗? (2)完成下表，并回答问题：如果以此蓄电池为电源的用电 器限制电流不得超过 10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内? R/Ω 3 4 5 6 7 8 9 10 I/A 4 [师]从图形上来看，I 和 R 之间可能是反比例函数关系.电压 U 就相当于反比例函数中的 k.要写出函 数的表达式，实际上就是确定 k(U)，只需要一个条件即可，而图中已给出了一个点的坐标，所以这个问题 就解决了，填表实际上是已知自变量求函数值
[生]解:(1)由题意设函数表达式为I= A(9,4)在图象上, ∴U=IR=36. ∴表达式为I= 36 蓄电池的电压是36伏 (2)表格中从左到右依次是:12,9,7.2,6365,3 电源不超过10A,即I最大为10A,代入关系式中得R=3.6,为最小电阻,所以用电器的可变电阻 应控制在R≥3.6这个范围内 2.如下图,正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=的图象相交于A,B两点,其中点A的坐标为 (√3,2√3) (1)分别写出这两个函数的表达式: (2)你能求出点B的坐标吗?你是怎样求的?与同伴进行交流 [师]要求这两个函数的表达式,只要把A点的坐标代入即可求出k,k2,求点B的 坐标即求y=kX与y6 的交点 生]解:(1)∵A(√3,2√3)既在y=kx图象上,又在y=k的图象上 ∴√3k1=2√3,2 √3 ∴表达式分别为y=2x,y 得2x= xe+ 时,y= Ⅲ.课堂练习 1.某蓄水池的排水管每时排水8m,6h可将满池水全部排空. (1)蓄水池的容积是多少? (2)如果增加排水管,使每时的排水量达到Q(m),那么将满池水排空所需的时间t(h)将如何变化? (3)写出t与Q之间的关系式 (4)如果准备在5h内将满池水排空,那么每时的排水量至少为多少?
[生]解：(1)由题意设函数表达式为 I＝ R U ∵A(9，4)在图象上， ∴U＝IR＝36. ∴表达式为 I= R 36 . 蓄电池的电压是 36 伏. (2)表格中从左到右依次是：12，9，7.2，6 7 36 ，4.5，3.6. 电源不超过 10 A，即 I 最大为 10 A，代入关系式中得 R＝3.6，为最小电阻，所以用电器的可变电阻 应控制在 R≥3.6 这个范围内. 2.如下图，正比例函数 y＝k1x 的图象与反比例函数 y= x k 2 的图象相交于 A，B 两点，其中点 A 的坐标为 ( 3 ,2 3 ). (1)分别写出这两个函数的表达式： (2)你能求出点 B 的坐标吗?你是怎样求的?与同伴进行交流. [师]要求这两个函数的表达式，只要把 A 点的坐标代入即可求出 k1，k2，求点 B 的 坐标即求 y＝k1x 与 y= x k 2 的交点. [生]解：(1)∵A( 3 ,2 3 )既在 y＝k1x 图象上，又在 y＝ x k 2 的图象上. ∴ 3 k1＝2 3 ，2 3 ＝ 3 2 k . ∴k1=2, k2=6 ∴表达式分别为 y＝2x,y＝ x 6 . y=2x, (2)由 得 2x= x 6 , y= x 6 ∴x 2 =3 ∴x=± 3 . 当 x=- 3 时，y=-2 3 . ∴B(- 3 ,-2 3 ). Ⅲ.课堂练习 1.某蓄水池的排水管每时排水 8 m3，6 h 可将满池水全部排空. (1)蓄水池的容积是多少? (2)如果增加排水管，使每时的排水量达到 Q(m3 )，那么将满池水排空所需的时间 t(h)将如何变化? (3)写出 t 与 Q 之间的关系式； (4)如果准备在 5 h 内将满池水排空，那么每时的排水量至少为多少?
(5)已知排水管的最大排水量为每时12m3,那么最少多长时间可将满池水全部排空? 解:(1)8×6=48(m). 所以蓄水池的容积是48m3 (2)因为增加排水管,使每时的排水量达到Q(m3),所以将满池水排空所需的时间t(h)将减少 (3:与Q之间的关系式为t=48 (4)如果准备在5h内将满池水排空,那么每时的排水量至少为 6(m) (5)已知排水管的最大排水量为每时12m,那么最少要号8 4小时可将满池水全部排空 Ⅳ.课时小结 节课我们学习了反比例函数的应用.具体步骤是:认真分析实际问题中变量之间的关系,建立反比例 函数模型,进而用反比例函数的有关知识解决实际问题 V课后作业 y(毫克) 习题6.4 补充题:为了预防“非典”, 某学校对教室采用药熏消毒,已知药物燃烧时 室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时 间x(分钟)成为正比例,药物燃烧后,y与x成反比例 (如右图),现测得药物8分钟燃毕,此时室内空气中 每立方米的含药量6毫克,请根据题中所提供的信息,解答下列问题: (1)药物燃烧时,y关于x的函数关系式为 自变量x的取值范围为 药物燃烧后,y关于x的函数关系式为 (2)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室,那么从消毒开始,至少 需要经过 分钟后,学生才能回到教室 (3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时,才能有效杀灭 空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?为什么? 答案:(1)y=-x,010,即空气 x 中的含药量不低于3毫克/m的持续时间为12分钟,大于10分钟的有效消毒时间
(5)已知排水管的最大排水量为每时 12m3，那么最少多长时间可将满池水全部排空? 解：(1)8×6＝48(m3 ). 所以蓄水池的容积是 48 m3 . (2)因为增加排水管，使每时的排水量达到 Q(m3 )，所以将满池水排空所需的时间 t(h)将减少. (3)t 与 Q 之间的关系式为 t= Q 48 . (4)如果准备在 5 h 内将满池水排空，那么每时的排水量至少为 5 48 =9.6(m3 ). (5)已知排水管的最大排水量为每时 12m3，那么最少要 12 48 ＝4 小时可将满池水全部排空. Ⅳ.课时小结 节课我们学习了反比例函数的应用.具体步骤是：认真分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例 函数模型，进而用反比例函数的有关知识解决实际问题. Ⅴ课后作业 习题 6.4. 补充题：为了预防“非典”， 某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时， 室内每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时 间 x(分钟)成为正比例,药物燃烧后，y 与 x 成反比例 (如右图)，现测得药物 8 分钟燃毕，此时室内空气中 每立方米的含药量 6 毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题： (1)药物燃烧时，y 关于 x 的函数关系式为 ,自变量 x 的取值范围为 ； 药物燃烧后，y 关于 x 的函数关系式为 . (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于 1.6 毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少 需要经过______分钟后，学生才能回到教室； (3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于 3 毫克且持续时间不低于 10 分钟时，才能有效杀灭 空气中的病菌，那么此次消毒是否有效?为什么? 答案：(1)y＝ 4 3 x， 010，即空气 中的含药量不低于 3 毫克/m3 的持续时间为 12 分钟，大于 10 分钟的有效消毒时间