第2课时利用一元二次方程解决面积问题 ◆随堂检测 、长方形的长比宽多4cm,面积为60cm2,则它的周长为 2、有两块木板,第一块长是宽的2倍,第二块的长是第一块宽的3倍,宽比第一块的长少2米,已知第 二块木板的面积比第一块大108米2,这两块木板的长和宽分别是( A、第一块木板长18米,宽9米,第二块木板长27米,宽16米 B、第一块木板长12米,宽6米,第二块木板长18米,宽10米 、第一块木板长9米,宽4.5m,第二块木板长13.5m,宽7米D、以上都不对 3、从正方形铁片,截去2cm宽的一条长方形,余下的面积是48cm2,求原来的正方形铁片的面积是多少? 4、如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=8m,CB=6m,点P、Q同时由A,B两点出发分别沿AC、BC方向向 点C匀速移动,它们的速度都是1m/s,几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半 点拨:设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半,△PQ也是直角三角形.) ◆典例分析 如图①,要设计一幅宽20cm,长30cm的矩形图案,其中有两横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为2:3
第 2 课时 利用一元二次方程解决面积问题 ◆随堂检测 1、长方形的长比宽多 4cm，面积为 60cm 2，则它的周长为________． 2、有两块木板，第一块长是宽的 2 倍，第二块的长是第一块宽的 3 倍，宽比第一块的长少 2 米，已知第 二块木板的面积比第一块大 108 米2，这两块木板的长和宽分别是（ ） A、第一块木板长 18 米，宽 9 米，第二块木板长 27 米，宽 16 米 B、第一块木板长 12 米，宽 6 米，第二块木板长 18 米，宽 10 米 C、第一块木板长 9 米，宽 4.5m，第二块木板长 13.5m，宽 7 米 D、以上都不对 3、从正方形铁片，截去 2cm 宽的一条长方形，余下的面积是 48cm 2，求原来的正方形铁片的面积是多少？ 4、如图，在 Rt△ACB 中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点 P、Q 同时由 A，B•两点出发分别沿 AC、BC 方向向 点 C 匀速移动，它们的速度都是 1m/s， 几秒后△PCQ•的面积为 Rt△ACB 面积的一半． （点拨：设 x 秒后△PCQ 的面积为 Rt△ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．） ◆典例分析 如图①，要设计一幅宽 20cm，长 30cm 的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为 2∶3， C B A Q P
如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一,应如何设计每个彩条的宽度? 分析:由横、竖彩条的宽度比为2:3,可设每个横彩 条的宽为2x,则每个竖彩条的宽为3x.为更好地寻 30cm 找题目中的等量关系,通过平移可将横、竖彩条分 别集中,原问题转化为如图②的情况,得到矩形 20cm ABCD 图① 图② 解 ◆课下作业●拓展提高 1、矩形的周长为8√2,面积为1,则矩形的长和宽分别为 如图,在□ABCD中,AE⊥BC于E,AE=EB=EC=a,且a是一元二次方程x2+2x-3=0的根, 则口ABCD的周长为 A、4+2B、12+62C、2+2√D、2+√或12+62 3、某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m),另三边用木栏围成,木栏长40m (1)鸡场的面积能达到180m吗?能达到200m吗? (2)鸡场的面积能达到210m2吗? 4、某林场计划修一条长750m,断面为等腰梯形的渠道,断面面积为1.6m2,上口宽比渠深多2m,渠底比 渠深多0.4m.(1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少? (2)如果计划每天挖土48m3,需要多少天才能把这条渠道挖完? (分析:因为渠深最小,为了便于计算,不妨设渠深为xm.)
如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？ 解: ◆课下作业 ●拓展提高 1、矩形的周长为 8 2 ，面积为 1，则矩形的长和宽分别为________． 2、如图，在 ABCD 中， AE BC ⊥ 于 E，AE EB EC a = = = ， 且 a 是一元二次方程 2 x x + − = 2 3 0 的根， 则 ABCD 的周长为（ ） A、 4 2 2 + B、12 6 2 + C、 2 2 2 + D、 2 2 12 6 2 + + 或 3、某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 25m）， 另三边用木栏围成，木栏长 40m． （1）鸡场的面积能达到 180m 2 吗？能达到 200m 2 吗？ （2）鸡场的面积能达到 210m2 吗？ 4、某林场计划修一条长 750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为 1.6m 2， 上口宽比渠深多 2m，渠底比 渠深多 0.4m． （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ （2）如果计划每天挖土 48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？ (分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为 x m.) 20cm 20cm 30cm D C A B 图① 图② 30cm 分析:由横、竖彩条的宽度比为 2∶3，可设每个横彩 条的宽为 2x ，则每个竖彩条的宽为 3x ．为更好地寻 找题目中的等量关系，通过平移可将横、竖彩条分 别集中，原问题转化为如图②的情况，得到矩形 ABCD． A D C E C B
●体验中考 1、在一幅长为80cm,宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边,制成一幅矩形挂图,如 图所示,如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是() A、x2+130x-1400=0 B、x2+65x-350=0 C、x2-130x-1400=0 D、x2-65x-350=0 2、如图,在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路,余下部分作为耕地.若耕地面 积需要551米,则修建的路宽应为() A、1米B、1.5米C、2米D、2.5米 3、张大叔从市场上买回一块矩形铁皮,他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后,剩 下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子,且此长方体箱子的底面长比宽多2米,现 已知购买这种铁皮每平方米需20元,问张大叔购回这张矩形铁皮共化了多少元? ●挑战能力 1.如图某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长18m),另三边用木栏围成 木栏长35皿。①鸡场的面积能达到150m吗?②鸡场的面积能达到180m吗?如果能,请你给
●体验中考 1、在一幅长为 80cm，宽为 50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如 图所示，如果要使整个挂图的面积是 5400cm2，设金色纸边的宽为 x cm，那么 x 满足的方程是（ ） A、 2 x x + − = 130 1400 0 B、 2 x x + − = 65 350 0 C、 2 x x − − = 130 1400 0 D、 2 x x − − = 65 350 0 2、如图，在宽为 20 米、长为 30 米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面 积需要 551 米 2，则修建的路宽应为（ ） A、1 米 B、1.5 米 C、2 米 D、2.5 米 3、张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为 1 米的正方形后，剩 下的部分刚好能围成一个容积为 15 立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多 2 米，现 已知购买这种铁皮每平方米需 20 元，问张大叔购回这张矩形铁皮共化了多少元？ ●挑战能力 1.如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 18m），另三边用木栏围成， 木栏长 35m。①鸡场的面积能达到 150m 吗？②鸡场的面积能达到 180m 吗？如果能，请你给
出设计方案;如果不能,请说明理由。(3)若墙长为am,另三边用竹篱笆围成,题中的墙长 度am对题目的解起着怎样的作用? 2.将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.(1)要 使这两个正方形的面积之和等于17cm,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两 个正方形的面积之和可能等于12cm吗?若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由. 参考答案 ◆随堂检测 1、32cm. 设长方形铁片的宽是xcm,则长是(x+4)cm 根据题意,得:x(x+4)=60, 解得,x=6,x2=-1 第一块木板的宽是x米,则长是2x米,第二块木板的长是3x米,宽是(2-2米 ∵x,=-10不合题意,舍去.∴x=6.∴长方形铁片的长是10cm,宽是6cm,则它的周长为32 根据题意,得:3x(2x-2)-2x·x=108 整理,得:2x2-3x-54=0 因式分解得,(x-6(2x+9)=0
出设计方案；如果不能，请说明理由。（3）若墙长为 am,另三边用竹篱笆围成，题中的墙长 度 am 对题目的解起着怎样的作用? 2.将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.（1）要 使这两个正方形的面积之和等于 17cm，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?（2）两 个正方形的面积之和可能等于 12cm 吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由. 参考答案： ◆随堂检测 1、32cm. 设长方形铁片的宽是 x cm，则长是 ( 4) x + cm． 根据题意，得： x x( 4) 60 + = ， 解得， 1 2 x x = = − 6, 10. ∵ 2 x = −10 不合题意，舍去．∴ x = 6 .∴长方形铁片的长是 10cm，宽是 6cm，则它的周长为 32cm. 2、B. 设第一块木板的宽是 x 米，则长是 2x 米，第二块木板的长是 3x 米，宽是 （2x −2） 米． 根据题意，得：3 (2 2) 2 108 x x x x − − = 整理，得： 2 2 3 54 0 x x − − = ， 因式分解得， ( 6)(2 9) 0 x x − + =
解得,x1=6,x2=-2 不合题意,舍去 第一块木板的宽是6米,则长是12米,第二块木板的长是18米,宽是10米.故选B. 、解:原来的正方形铁片的边长是xcm,则面积是x2cm 根据题意,得:x(x-2)=48, 48=0 因式分解得,(x-8)(x+6)=0, 解得,x1=8,x2=-6 ∵x2=-6不合题意,舍去,∴x=8.∴x2=64 答:原来的正方形铁片的面积是64cm2 4、解:设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半 根据题意,得:(8-x)(6-x)=××8×6 整理,得:x2-14x+24=0, 配方得,(x-7)=25, 解得,x1=12,x2=2 x=12不合题意,舍去.∴x=2 答:2秒后△PQ的面积为Rt△ACB面积的一半 设每个横彩条的宽为2x,则每个竖彩条的宽为3x ∴AB=20-6x,AD=30-4x, 矩形ABCD的面积为(20-6x)(30-4x)=24x2-260x+600(cm2) 根据题意,得24x2-260x+600=1-×20×30 整理,得6x2-65x+50=0 解方程,得x1=,x2=10 x2=10不合题意,舍去.:y5 则2 ,3 答:每个横、竖彩条的宽度分别为 cm," cn
解得， 1 2 9 6, 2 x x = = − . ∵ 2 9 2 x = − 不合题意，舍去．∴ x = 6 . ∴第一块木板的宽是 6 米，则长是 12 米，第二块木板的长是 18 米，宽是 10 米．故选 B. 3、解：原来的正方形铁片的边长是 x cm，则面积是 2 x cm 2． 根据题意，得： x x( 2) 48 − = ， 整理，得： 2 x x − − = 2 48 0 ， 因式分解得， ( 8)( 6) 0 x x − + = ， 解得， 1 2 x x = = − 8, 6 . ∵ 2 x = −6 不合题意，舍去．∴ x = 8.∴ 2 x = 64 . 答：原来的正方形铁片的面积是 64cm 2． 4、解：设 x 秒后△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半． 根据题意，得： 1 2 （8- x ）（6- x ）= 1 2 × 1 2 ×8×6 整理，得： 2 x x − + = 14 24 0， 配方得， 2 ( 7) 25 x − = ， 解得， 1 2 x x = = 12, 2 . ∵ 1 x =12 不合题意，舍去．∴ x = 2 . 答：2 秒后△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半． 设每个横彩条的宽为 2x ，则每个竖彩条的宽为 3x． ∴ AB x = − 20 6 ， AD x = − 30 4 ， ∴矩形 ABCD 的面积为 2 (20 6 )(30 4 ) 24 260 600 − − = − + x x x x （cm 2 ）. 根据题意，得 2 1 24 260 600 1 20 30 3 x x − + = − . 整理，得 2 6 65 50 0 x x − + = . 解方程，得 1 2 5 10 6 x x = = ， , ∵ 2 x =10 不合题意，舍去.∴ 5 6 x = . 则 5 5 2 3 3 2 x x = = ， ． 答：每个横、竖彩条的宽度分别为 5 3 cm， 5 2 cm
◆课下作业 ●拓展提高 、2√2+√,2√2-√7.设矩形的长x,则宽为4√2-x 根据题意,得x(42-x)=1 整理,得x2-42x+1=0 用公式法解方程,得x=22+,x2=2√2-√7, 当长为x=2+√万时,则宽为22-√7 当长为x2=22-√7时,则宽为x=2√2+,不合题意,舍去 矩形长和宽分别为2√2+和2√-7 2、A. a是一元二次方程x2+2x-3=0的根,∴a=1,∴AE=EB=EC=1,∴AB=√,BC=2.∴口ABCD 的周长为4+2互,故选A。 3、解:(1)都能达到. 设宽为xm,则长为(40-2x)m, 依题意,得:x(40-2x)=180 整理,得:x2-20x+90=0,x=10+√10,x=10-√10 同理x(40-2x)=200,x1=x2=10. (2)不能达到210m.∵依题意,x(40-2x)=210,整理得,x2-20x+105=0, b2-4ac=400-410=-10<0,无解,即不能达到 4、解:(1)设渠深为xm,则上口宽为(x+2)m,渠底为(x+0.4)m. 根据梯形的面积公式可得:(x+2+x+0.4)x=1.6, 整理,得:5x2+6x-8=0, 解得:x1=-=0.8,x2=2(舍) 上口宽为2.8m,渠底为1.2m (2)如果计划每天挖土48m3,需要 16×750 ∽=25(天)才能把这条渠道挖完 答:渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m:;需要25天才能挖完渠道 5、解:(1)连结DF,则DF⊥BC ∵AB⊥BC,AB=BC=200海里 AC=√2AB=200万2海里 :CD=AC=100√互海里
◆课下作业 ●拓展提高 1、 2 2 7 + , 2 2 7 − . 设矩形的长 x ，则宽为 4 2 − x ． 根据题意，得 x x (4 2 ) 1 − = . 整理，得 2 x x − + = 4 2 1 0. 用公式法解方程，得 1 2 x x = = − 2 2 2 2 7 + 7， , 当长为 1 x = 2 2+ 7 时,则宽为 2 2 7 − . 当长为 2 x = − 2 2 7 时,则宽为 1 x = 2 2+ 7 ,不合题意，舍去. ∴矩形的长和宽分别为 2 2 7 + 和 2 2 7 − . 2、A. ∵ a 是一元二次方程 2 x x + − = 2 3 0 的根，∴ a = 1，∴AE=EB=EC=1，∴AB= 2 ，BC=2.∴ ABCD 的周长为 4 2 2 + ，故选 A。 3、解：（1）都能达到． 设宽为 x m，则长为（40-2 x ）m， 依题意，得： x （40-2 x ）=180 整理， 得： x 2 -20 x +90=0， x 1=10+ 10 ， x 2=10- 10 ； 同理 x （40-2 x ）=200， x 1= x 2=10． （2）不能达到 210m2．∵依题意， x （40-2 x ）=210，整理得， x 2 -20 x +105=0， b 2 -4ac=400-410=-10<0，无解，即不能达到． 4、解：（1）设渠深为 x m，则上口宽为( x +2)m， 渠底为( x +0.4)m. 根据梯形的面积公式可得: 1 2 （ x +2+ x +0.4） x =1.6, 整理，得：5 x 2 +6 x -8=0, 解得： x 1= 4 5 =0.8， x 2=-2（舍） ∴上口宽为 2.8m，渠底为 1.2m． （2）如果计划每天挖土 48m3，需要 1.6 750 48 =25(天)才能把这条渠道挖完. 答：渠道的上口宽与渠底深各是 2.8m 和 1.2m；需要 25 天才能挖完渠道． 5、解：（1）连结 DF，则 DF⊥BC. ∵AB⊥BC，AB=BC=200 海里． ∴AC= 2 AB=200 2 海里，∠C=45°. ∴CD= 1 2 AC=100 2 海里
=CD ∴DF=CF=y2CD=y2×1002=100(海里) ∴小岛D和小岛F相距100海里 (2)设相遇时补给船航行了x海里,那么DE=x海里,AB+BE=2x海里 EF=AB+BC-(AB+BE)CF=(300-2x)海里 在Rt△DEF中,根据勾股定理可得方程x2=100+(300-2x) 整理,得3x2-1200x+100000=0 解这个方程,得:x=20101.00 3 ∵x2=200+ 100√6 不合题意,舍去 3 √6 118.4. 相遇时补给船大约航行了118.4海里 ●体验中考 1、B.依题意,x满足的方程是(50+2x)(80+2x)=5400 整理得x2+65x-350=0.故选B 2、A.设修建的路宽应为x米 根据题意,得:(30-x)(20-x)=551 整理,得:x2-50x+49=0, 因式分解得,(x-1(x-49)=0 解得,x1=1,x2=49 ∵:x2=49不合题意,舍去.∴x=1 ∴则修建的路宽应为1米.故选A. 3、解:设此长方体箱子的底面宽是x米,则长是(x+2)米 根据题意,得:x(x+2)=15 整理,得:x2+2x-15=0, 因式分解得,(x-3)(x+5)=0 解得,x1=3,x2=-5. ∵x,=-5不合题意,舍去,∴x=3 此矩形铁皮的面积是(x+2x+2+2)=5×7=35(平方米),∴购回这张矩形铁皮共化了
DF=CF， 2 DF=CD. ∴DF=CF= 2 2 CD= 2 2 ×100 2 =100（海里）. ∴小岛 D 和小岛 F 相距 100 海里． （2）设相遇时补给船航行了 x 海里，那么 DE= x 海里，AB+BE=2 x 海里. EF=AB+BC-（AB+BE）-CF=（300-2 x ）海里. 在 Rt△DEF 中，根据勾股定理可得方程 x 2 =1002 +（300-2 x ）2 整理，得 3 x 2 -1200 x +100000=0. 解这个方程，得： x 1=200- 100 6 3 , x 2=200+ 100 6 3 . ∵ x 2=200+ 100 6 3 不合题意，舍去. ∴ x =200- 100 6 3 ≈118.4. ∴相遇时补给船大约航行了 118.4 海里． ●体验中考 1、B. 依题意, x 满足的方程是 (50 2 )(80 2 ) 5400 + + = x x , 整理得 2 x x + − = 65 350 0 .故选 B. 2、A. 设修建的路宽应为 x 米． 根据题意，得： (30 )(20 ) 551 − − = x x ， 整理，得： 2 x x − + = 50 49 0 ， 因式分解得， ( 1)( 49) 0 x x − − = ， 解得， 1 2 x x = = 1, 49 . ∵ 2 x = 49 不合题意，舍去．∴ x =1. ∴则修建的路宽应为 1 米.故选 A. 3、解：设此长方体箱子的底面宽是 x 米，则长是 ( 2) x + 米． 根据题意，得： x x( 2) 15 + = ， 整理，得： 2 x x + − = 2 15 0， 因式分解得， ( 3)( 5) 0 x x − + = ， 解得， 1 2 x x = = − 3, 5 . ∵ 2 x = −5 不合题意，舍去．∴ x = 3. ∴此矩形 铁皮的 面积是 ( 2)( 2 2) 5 7 35 x x + + + = = （平方 米）， ∴购回 这张矩 形铁皮 共化了
35×20=700(元) 答:张大叔购回这张矩形铁皮共化了700元 5、如图,某海军基地位于A处,在其正南方向200海里处有一重要目标B,在B的正东方向200海里处 有一重要目标C,小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头:小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南 方向,一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航,一般补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行 欲将一批物品送达军舰 (1)小岛D和小岛F相距多少海里? (2)已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船 航行了多少海里?(结果精确到0.1海里) (分析:(1)因为依题意可知△ABC是等腰直角三角形,△DFC也是等腰直角三角形,AC可求,CD就可求, 因此由勾股定理便可求DF的长 (2)要求补给船航行的距离就是求DE的长度,DF已求,因此,只要在Rt△DEF中,由勾股定理即可求
35 20 700 = （元）. 答：张大叔购回这张矩形铁皮共化了 700 元. 5、如图，某海军基地位于 A 处，在其正南方向 200 海里处有一重要目标 B， 在 B 的正东方向 200 海里处 有一重要目标 C，小岛 D 位于 AC 的中点，岛上有一补给码头： 小岛 F 位于 BC 上且恰好处于小岛 D 的正南 方向，一艘军舰从 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航，一般补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行， 欲将一批物品送达军舰． （1）小岛 D 和小岛 F 相距多少海里? （2）已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处， 那么相遇时补给船 航行了多少海里?（结果精确到 0.1 海里） B A E C D www.czsx.com.cn F (分析：（1）因为依题意可知△ABC 是等腰直角三角形，△DFC 也是等腰直角三角形，AC 可求，CD 就可求， 因此由勾股定理便可求 DF 的长． （2）要求补给船航行的距离就是求 DE 的长度，DF 已求，因此，只要在 Rt△DEF 中，由勾股定理即可求．)