第2课时利用一元二次方程解决面积问题 双基演练 三角形一边的长是该边上高的2倍,且面积是32,则该边的长是() √2 2.如图所示,李萍要在一幅长90cm、宽40cm的风景画的四周外围,镶上一条宽度相同的金色纸边,制成 一幅挂图,使风景画的面积占整个挂图面积的54%,设金色纸边的宽为xcm,根据题意可列方程() A.(90+x)(40+x)×54%=90×40 B.(90+2x)(40+2x)×54%=90×40; C.(90+x)(40+2x)×54%=90×40 D.(90+2x)(40+x)×54%=90×40 3.将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为4cm的小正方形,做成一个无盖的盒子,盒子的容积是 400cm3,求原铁皮的边长 4.学校原有一块面积为1500平方米的矩形操场,现将操场的一边增加了5米,另一边减少5米,围绕 操场开辟了一圈绿化带,结果使操场的面积增加了150平方米,求出在操场的长和宽. 5.如图所示,要用防护网围成长方形花坛,其中一面利用现有的一段墙,且在与墙平行的一边开一个2 米宽的门,现有防护网的长度为91米,花坛的面积需要1080平方米,若墙长50米,求花坛的长和宽 (1)一变:若墙长46米,求花坛的长和宽 (2)二变:若墙长40米,求花坛的长和宽 (3)通过对上面三题的讨论,你觉得墙长对题目有何影响? 6.张大叔从市场上买回一块矩形铁皮,他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后,剩 下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体运输箱,且此长方体运输箱底面的长比宽多2米, 现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱,问张大叔买这张矩形铁皮共花了多少钱? 7.一条长64cm的铁丝被剪成两段,每段均折成正方形,若两个正方形的面积和等于160cm2,求两个正方 形的边长
第 2 课时 利用一元二次方程解决面积问题 ⚫ 双基演练 1．三角形一边的长是该边上高的 2 倍，且面积是 32，则该边的长是（ ） A．8 B．4 C．4 2 D．8 2 2．如图所示，李萍要在一幅长 90cm、宽 40cm 的风景画的四周外围，镶上一条宽度相同的金色纸边，制成 一幅挂图，使风景画的面积占整个挂图面积的 54%，设金色纸边的宽为 xcm，根据题意可列方程（ ） A．（90+x）（40+x）×54%=90×40; B．（90+2x）（40+2x）×54%=90×40; C．（90+x）（40+2x）×54%=90×40; D．（90+2x）（40+x）×54%=90×40 3．将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为 4cm 的小正方形，做成一个无盖的盒子，盒子的容积是 400cm3，求原铁皮的边长． 4．学校原有一块面积为 1500 平方米的矩形操场，现将操场的一边增加了 5 米， 另一边减少 5 米，围绕 操场开辟了一圈绿化带，结果使操场的面积增加了 150 平方米， 求出在操场的长和宽． 5．如图所示，要用防护网围成长方形花坛，其中一面利用现有的一段墙，且在与墙平行的一边开一个 2 米宽的门，现有防护网的长度为 91 米，花坛的面积需要 1080 平方米，若墙长 50 米，求花坛的长和宽． （1）一变：若墙长 46 米，求花坛的长和宽． （2）二变：若墙长 40 米，求花坛的长和宽． （3）通过对上面三题的讨论，你觉得墙长对题目有何影响？ 6．张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为 1 米的正方形后，剩 下的部分刚好能围成一个容积为 15 立方米的无盖长方体运输箱，且此长方体运输箱底面的长比宽多 2 米， 现已知购买这种铁皮每平方米需 20 元钱，问张大叔买这张矩形铁皮共花了多少钱？ 7．一条长 64cm 的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形，若两个正方形的面积和等于 160cm2，求两个正方 形的边长．
8.如图,在长32米,宽20米的矩形草坪上建有两条等宽的弯曲小路,·若草坪实际面积为540平方米 求中路的平均宽度 32米 能力提升 9.谁能量出道路的宽度 如图22-10,有矩形地ABCD一块,要在中央修一矩形花辅EFGH,使其面积为这块地面积的一半, 且花圃四周道路的宽相等,今无测量工具,·只有无刻度的足够长的绳子一条,如何量出道路的宽度? 请同学们利用自己掌握的数学知识来解决这个实际问题,相信你一定能行 D 10.图形的操作过程(本题中四个矩形的水平方向的边长均为a,竖直方向的边长均为b): 在图①中,将线段A1A2向右平移1个单位到BB2,得到封闭图形A1AB2B1(即阴影部分); 在图②中,将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3,得到封闭图形A1A2AB3B2B1(即阴影部分) (1)在图③中,请你类似地画一条有两个折点的折线,同样向右平移1个单位,从而得到一个封闭 图形,并用斜线画出阴影; (2)请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积: S (3)联想与探索: 如图④在一块矩形草地上,有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是1个单位),请你 猜想空白部分表示的草地面积是多少?并说明你的猜想是正确的 地
8．如图，在长 32 米，宽 20 米的矩形草坪上建有两条等宽的弯曲小路，• 若草坪实际面积为 540 平方米， 求中路的平均宽度． ⚫ 能力提升 9．谁能量出道路的宽度: 如图 22-10，有矩形地 ABCD 一块，要在中央修一矩形花辅 EFGH，使其面积为这块地面积的一半， 且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具，• 只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽度? 请同学们利用自己掌握的数学知识来解决这个实际问题，相信你一定能行． A B C E D www.czsx.com.cn H G F 10．图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为 a， 竖直方向的边长均为 b）： 在图①中，将线段 A1A2 向右平移 1 个单位到 B1B2，得到封闭图形 A1A2B2B1（即阴影部分）； 在图②中，将折线 A1A2A3 向右平移 1 个单位到 B1B2B3，得到封闭图形 A1A2A3B3B2B1（即阴影部分）． （1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移 1 个单位，从而得到一个封闭 图形，并用斜线画出阴影； （2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： S1=_________，S2=_________，S3=_________． （3）联想与探索： 如图④在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是 1 个单位），请你 猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的．
11.如图,在Rt△ABC中∠B=90°,AB=8m,BC=6m,点M、点N同时由A、C·两点出发分别沿AB CB方向向点B匀速移动,它们的速度都是1m/s,几秒后,△MBN的面积为Rt△ABC的面积的 聚焦中考 12如图,矩形ABCD的周长是20cm,以AB,AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH,若正方 形ABEF和ADGH的面积之和为68cm2,那么矩形ABCD的面积是() A. 21cm H G A C.24 D.9 (8题图) 13.在长为am,宽为bm的一块草坪上修了一条lm宽的笔直小路,则余下草坪的面积可表示为 m2:现为了增加美感,把这条小路改为宽恒为1m的弯曲小路(如图6),则此时余下草坪的面积为 (b) 图6
11．如图，在 Rt△ABC 中∠B=90°，AB=8m，BC=6m，点 M、点 N 同时由 A、C• 两点出发分别沿 AB、 CB 方向向点 B 匀速移动，它们的速度都是 1m/s，几秒后，△MBN• 的面积为 Rt△ABC 的面积的 1 3 ？ ⚫ 聚焦中考 12.如图，矩形 ABCD 的周长是 20cm，以 AB AD ， 为边向外作正方形 ABEF 和正方形 ADGH ，若正方 形 ABEF 和 ADGH 的面积之和为 2 68cm ，那么矩形 ABCD 的面积是（ ） A． 2 21cm B． 2 16cm C． 2 24cm D． 2 9 cm 13.在长为 a m，宽为 b m 的一块草坪上修了一条 1m 宽的笔直小路，则余下草坪的面积可表示为 2 m ；现为了增加美感，把这条小路改为宽恒为 1m 的弯曲小路（如图 6），则此时余下草坪的面积为 2 m ． G D C E B F （8 题图） A H
14.某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为2:1.在温室内,沿前侧内墙保留3m宽的 空地,其它三侧内墙各保留1m宽的通道.当矩形温室的长与宽各为多少时,蔬菜种植区域的面积是 288m2? 前侧空地 蔬菜种植区域 15.如图所示,在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形 (1)用a,b,x表示纸片剩余部分的面积; (2)当a=6,b=4,且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时,求正方形的边长 谷案 1.D点拨:可设该边的长为x,则高为-x, 可列方程 x=32,解得x=8√2,x=8√2 由于线段长不能为负,故x2=8√互舍去.所以该边长为82 2.B点拨:镶上金色纸边后,整个挂图的长为(90+2x)cm,宽为(40+2x)cm, 依题意,应选 3.解:设原铁皮的边长为xcm,依题意 列方程,得(x-2×4)2×4=400 (x-8)2=100,x-8=±10,x=8±10 所以x1=18,x2=-2(舍去)
14.某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为 2:1 ．在温室内，沿前侧内墙保留 3m 宽的 空地，其它三侧内墙各保留 1m 宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是 2 288m ？ 15.如图所示，在长和宽分别是 a、b 的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为 x 的正方形． (1) 用 a，b ， x 表示纸片剩余部分的面积； (2) 当 a =6，b =4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长． 答案: 1．D 点拨：可设该边的长为 x，则高为 1 2 x， 可列方程 1 2 ·x· 1 2 x=32，解得 x1=8 2 ，x2=-8 2 ， 由于线段长不能为负，故 x2=-8 2 舍去．所以该边长为 8 2 ． 2．B 点拨：镶上金色纸边后，整个挂图的长为（90+2x）cm，宽为（40+2x）cm， 依题意，应选 B． 3．解：设原铁皮的边长为 xcm，依题意 列方程，得（x-2×4）2×4=400， （x-8）2=100，x-8=±10，x=8±10． 所以 x1=18，x2=-2（舍去）． 蔬菜种植区域 前 侧 空 地
答:原铁皮的边长为18cm 4.解:设现在的操场一边长x米,则另一边为1650 根据题意,得(x+5) 1650 1650 1500,即 +25=0.所以x2-25x-1650=0 x 解得x=30(舍去),x=5.由x5,得1650=30 答:现在的操场长55米,宽30米 解:设平行于墙的一边长为x米,则垂直于墙的一边长为-(x-2)米.依题意,列方程,得 91-(x-2) 整理,得x2-93x+2160=0,解得x1=45,x2=48 因为墙长为50米,所以45,48均符合题意 当x=45时,宽为 91-(45-2) 24(米) 当x=48时,宽为91-(48-2)=2.5(米) 2 因此花坛的长为45米,宽为24米,或长为48米,宽为22.5米 (1)若墙长为46米,则x=48不合题意,舍去 此时花坛的长为45米,宽为24米 (2)若墙长为40米,则x1=45,x2=48都不符合题意,花坛不能建成 (3)通过对上面三题的讨论,可以发现,墙长对题目的结果起到限制作用.若墙长大于或等于48米, 题目有两个解;若墙长大于或等于45米而小于48米,则只有一个解;若墙长小于45米,则题目没有 解,也就是符合条件的花坛不能建成 6.解:设这种运输箱底部宽为x米,则长为(x+2)米 依题意,有x(x+2)×1=15.整理,得x2+2x-15=0 解得x1=5(舍去),x2=3, 所以这种运动箱底部长为5米,宽为3米 由长方体展开图可知,所购买矩形铁皮面积为 (5+2)×(3+2)=35 所以做一个这样的运动箱要花35×20=700(元) 点拨:题目考查的知识点比较多,但难度不大,同学应注意的是所求问题用到的是长方体的表面积 即表面展开图的面积,并非体积 7.解:设一个正方形的边长为xcm.依题意,得 64-4 x2+( )2=160,整理,得x2-16x+48=0 4 64-4x 解得x1=12,x2=4,当x=12时 当x=4时 64-4x=12 答:两个正方形的边长分别是12cm和4cm 点拨:题目中的64cm也就是两个正方形的周长,设出其中的一个正方形的边长,另一个正方形的边 64-4x 长可用( 4)来表示.根据正方形的面积公式即可列方程 8.设小路宽为x米,(32-x)(20-x)=540,x1=2,x2=50(舍去)
答：原铁皮的边长为 18cm． 4．解：设现在的操场一边长 x 米，则另一边为 1650 x 米， 根据题意，得（x+5）· 1650 x =1500，即-x+ 1650 x +25=0．所以 x 2-25x-1650=0． 解得 x1=-30（舍去），x2=55．由 x=55，得 1650 x =30． 答：现在的操场长 55 米，宽 30 米． 5．解：设平行于墙的一边长为 x 米，则垂直于墙的一边长为 91 ( 2) 2 − −x 米．依题意，列方程，得 x· 91 ( 2) 2 − −x =1080， 整理，得 x 2-93x+2160=0，解得 x1=45，x2=48． 因为墙长为 50 米，所以 45，48 均符合题意 当 x=45 时，宽为 91 (45 2) 2 − − =24（米） 当 x=48 时，宽为 91 (48 2) 2 − − =22.5（米） 因此花坛的长为 45 米，宽为 24 米，或长为 48 米，宽为 22.5 米． （1）若墙长为 46 米，则 x=48 不合题意，舍去． 此时花坛的长为 45 米，宽为 24 米； （2）若墙长为 40 米，则 x1=45，x2=48 都不符合题意，花坛不能建成 （3）通过对上面三题的讨论，可以发现，墙长对题目的结果起到限制作用．若墙长大于或等于 48 米， 则题目有两个解；若墙长大于或等于 45 米而小于 48 米， 则只有一个解；若墙长小于 45 米，则题目没有 解，也就是符合条件的花坛不能建成． 6．解：设这种运输箱底部宽为 x 米，则长为（x+2）米． 依题意，有 x（x+2）×1=15．整理，得 x 2+2x-15=0， 解得 x1=-5（舍去），x2=3， 所以这种运动箱底部长为 5 米，宽为 3 米． 由长方体展开图可知，所购买矩形铁皮面积为 （5+2）×（3+2）=35 所以做一个这样的运动箱要花 35×20=700（元） 点拨：题目考查的知识点比较多，但难度不大， 同学应注意的是所求问题用到的是长方体的表面积， 即表面展开图的面积，并非体积． 7．解：设一个正方形的边长为 xcm．依题意，得 x 2+（ 64 4 4 − x ）2=160，整理，得 x 2-16x+48=0， 解得 x1=12，x2=4，当 x=12 时， 64 4 4 − x =4． 当 x=4 时， 64 4 4 − x =12． 答：两个正方形的边长分别是 12cm 和 4cm． 点拨：题目中的 64cm 也就是两个正方形的周长，设出其中的一个正方形的边长， 另一个正方形的边 长可用（ 64 4 4 − x ）来表示．根据正方形的面积公式即可列方程． 8．设小路宽为 x 米，（32-x）（20-x）=540，x1=2，x2=50（舍去）
答:·小路宽为2米 9.设道路的宽为x,AB=a,AD=b 则(a2x)(b2x)=1 解得 (a+b)-√a2+b2 量法为:用绳子量出AB+AD(即a+b)之长,从中减去BD之长(对角线BD=√a2+b2),得 L=·AB+AD-BD,再将L对折两次即得到道路的宽 AB+AD-BD a+ b b- 10.解:(1)如答图 地 (2) ab-b: ab-b: ab-b (3)猜想:依据前面的有关计算,可以猜想草地的面积仍然是ab-b 方案:(1)将“小路”沿着左右两个边界“剪去”;(2)将左侧的草地向右平移一个单位:(3)得到 个新矩形,如答图,理由:在新得到的矩形中,其纵向宽仍然是b,而水平方向的长变成了(a-1),所 以草地的面积就是b(a-1)=ab-b. 11.解:设x秒后,S△MBN=-S△ABC, 由题意得(8x)×(6-x)X、+ ×6×8,x2-14x+32= BC=6米 0≤x≤6, x1=7+√17不合题意,舍去, 答:当7√7秒后,S△MN=s△ABC. 12.B13.a(b-1)(或ab-a)a(b-1)(或ab-a) 解法一:设矩形温室的宽为xm,则长为2m.根据题意,得 (x-2)(2x-4)=288 解这个方程,得 x1=-10(不合题意,舍去), 所以x=14,2x=2×14=28 答:当矩形温室的长为28m,宽为14m时,蔬菜种植区域的面积是288m2
答：• 小路宽为 2 米． 9．设道路的宽为 x，AB=a，AD=b 则（a-2x）（b-2x）= 1 2 ab 解得：x= 1 4 [（a+b）- 2 2 a b + ] 量法为：用绳子量出 AB+AD（即 a+b）之长，从中减去 BD 之长（对角线 BD= 2 2 a b + ），得 L=• AB+AD-BD，再将 L 对折两次即得到道路的宽 4 AB AD BD + − ，即 2 2 4 a b a b + − + ． 10．解：（1）如答图． （2）ab-b；ab-b；ab-b （3）猜想：依据前面的有关计算，可以猜想草地的面积仍然是 ab-b． 方案：（1）将“小路”沿着左右两个边界“剪去”；（2） 将左侧的草地向右平移一个单位；（3）得到 一个新矩形，如答图，理由：在新得到的矩形中，其纵向宽仍然是 b，而水平方向的长变成了（a-1），所 以草地的面积就是 b（a-1）=ab-b． 11．解：设 x 秒后，S△MBN= 1 3 S△ABC， 由题意得（8-x）×（6-x）× 1 2 = 1 3 × 1 2 ×6×8，x 2 -14x+32=0， x1=7+ 17 ，x2=7- 17 ， ∵BC=6 米， ∴0≤x≤6， ∴x1=7+ 17 不合题意，舍去， 答：当 7- 17 秒后，S△MBN= 1 3 S△ABC． 12. B 13 ． a b( 1) − （或 ab a − ） a b( 1) − （或 ab a − ） 14． 解法一：设矩形温室的宽为 xm ，则长为 2 mx ．根据题意，得 ( 2) (2 4) 288 x x − − = ． 解这个方程，得 1 x = −10 （不合题意，舍去）， 2 x =14 ． 所以 x =14， 2 2 14 28 x = = ． 答：当矩形温室的长为 28m，宽为 14m 时，蔬菜种植区域的面积是 2 288m ．
解法二:设矩形温室的长为xm,则宽为xm.根据题意,得 x-2(x-4)=288 解这个方程,得 x1=-20(不合题意,舍去),x2=28 所以x=28,-x=-×28=14 答:当矩形温室的长为28m,宽为14m时,蔬菜种植区域的面积是288m2 15.解:(1)ab-4x2; 2分 (2)依题意有:ab-4x2=4x2 4分 将a=6,b=4,代入上式,得x2=3, 分 解得x1=√3,x2=-3(舍去) 7分 即正方形的边长为√3
解法二：设矩形温室的长为 xm ，则宽为 1 m 2 x ．根据题意，得 1 2 ( 4) 288 2 x x − − = ． 解这个方程，得 1 x = −20 （不合题意，舍去）， 2 x = 28． 所以 x = 28， 1 1 28 14 2 2 x = = ． 答：当矩形温室的长为 28m，宽为 14m 时，蔬菜种植区域的面积是 2 288m ． 15．解：（1） a b －4 x 2 ； ········································································2 分 （2）依题意有： a b －4 x 2=4 x 2 ，··············4 分 将 a =6，b =4，代入上式，得 x 2=3， ·········6 分 解得 3, 3( ) x1 = x2 = − 舍去 ．················7 分 即正方形的边长为 3 ．