家庭猴伞 *5 一元二次方程的根与系数的关系
*5 一元二次方程的根与系数的关系
基础自主梳理 导 核心重难探究 航 新知川练巩固 素能演练提升
导 航 基础自主梳理 核心重难探究 新知训练巩固 素能演练提升
基础自主梳理 1.一元二次方程的根与系数的关系 如果方程2+bx+c=0(a0)有两个实数根x12, 那么x1+x2= ,X12= 名师指导 研究一元二次方程x2+bx+c=0(0)的根与系数的关系的前 提条件是：(1)二次项系数≠0；(2)方程有实数根，即b24c≥0. 因此，利用一元二次方程根与系数的关系求方程的系数中所 含字母的值或范围时，必须要考虑这些前提条件
基础自主梳理 1.一元二次方程的根与系数的关系 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1 ,x2 , 那么 x1+x2=- 𝐛 𝐚 ,x1x2= 𝐜 𝐚 . 名师指导 研究一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系的前 提条件是:(1)二次项系数a≠0;(2)方程有实数根,即b 2 -4ac≥0. 因此,利用一元二次方程根与系数的关系求方程的系数中所 含字母的值或范围时,必须要考虑这些前提条件
2.若一元二次方程x2-2=0的两根分别为x1和x2,则x心2为 (D). A.-2B.1 C.2D.0 3.若x1x2为方程x2+1=0的两个实数根，则x+x2=一 4.已知x=4是一元二次方程x23x+c=0的一个根，则另一个根 为
2.若一元二次方程x 2 -2x=0的两根分别为x1和x2 ,则x1x2为 ( ). A.-2B.1 C.2 D.0 3.若x1 ,x2为方程x 2+x-1=0的两个实数根,则x1+x2 =-1 . 4.已知x=4是一元二次方程x 2 -3x+c=0的一个根,则另一个根 为x=-1 . D
核心重难探究 知识点一 利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值 【例1】设x,2是方程2x2-5x+6=-0的两根，求是+二的值 思路点拨：可花号十化成含和山的形式利用一 元二次方程根与系数的关系求解」 5 解：X1tX22X1X2-3, ,1 1 - 好+x好 =图1+2-2x12() -2X3 1 (X1X2)1 (K1X)2 9 36
核心重难探究 知识点一 利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值 【例 1】 设 x1,x2是方程 2x 2 -5x+6=0 的两根,求 𝟏 𝒙𝟏 𝟐 + 𝟏 𝒙𝟐 𝟐 的值. 思路点拨:可把𝟏 𝒙𝟏 𝟐 + 𝟏 𝒙𝟐 𝟐 化成含 x1+x2 和 x1x2的形式,利用一 元二次方程根与系数的关系求解. 解:∵x1+x2= 𝟓 𝟐 ,x1x2=3, ∴ 𝟏 𝐱𝟏 𝟐 + 𝟏 𝐱𝟐 𝟐 = 𝐱𝟏 𝟐 +𝐱𝟐 𝟐 (𝐱𝟏 𝐱𝟐) 𝟐 = (𝐱𝟏 +𝐱𝟐) 𝟐 -𝟐𝐱𝟏 𝐱𝟐 (𝐱𝟏 𝐱𝟐) 𝟐 = 𝟓 𝟐 𝟐 -𝟐×𝟑 𝟗 = 𝟏 𝟑𝟔
【名师点津】 解决此类题目的关键是将求值的代数式变形为含x,+x,和 飞心，的形式运用根与系数的关系求代数式的值时，一定要保 证二次项系数不为0和b2.4c≥0这两个条件 合
【名师点津】 解决此类题目的关键是将求值的代数式变形为含x1+x2和 x1x2的形式.运用根与系数的关系求代数式的值时,一定要保 证二次项系数不为0和b 2 -4ac≥0这两个条件
知识点二一元二次方程的根与系数的关系的综合应用 【例2】已知关于x的方程x2-(3k-1)x+2(k-1)=0. ()求证：无论k为何实数，方程总有实数根； (2)若此方程有两个实数根x1x2,且比1x2=2,求的值. 思路点拨：(1)该方程是一元一次方程还是一元二次方程？是 一元一次方程时k的值是多少？是一元二次方程时，判别式有 何特点？ (2)通过把条件比1x2=2两边平方，配方构造出整体“x心2”与 “x1+比2”，然后利用根与系数的关系得到一个分式方程求得值
知识点二 一元二次方程的根与系数的关系的综合应用 【例2】已知关于x的方程kx2 -(3k-1)x+2(k-1)=0. (1)求证:无论k为何实数,方程总有实数根; (2)若此方程有两个实数根x1 ,x2 ,且|x1 -x2 |=2,求k的值. 思路点拨:(1)该方程是一元一次方程还是一元二次方程?是 一元一次方程时k的值是多少?是一元二次方程时,判别式有 何特点? (2)通过把条件|x1 -x2 |=2两边平方,配方构造出整体“x1x2 ”与 “x1+x2”,然后利用根与系数的关系得到一个分式方程求得k值
(1)证明：分两种情况讨论：①当k=0时，方程为x-2=0, x=2,即方程有实数根； ②当k0时，一元二次方程的根的判别式 △=[-(3k-1)]24k2(k-1)=k2+2k+1=(k+1)2≥0， 所以当k为不等于0的实数时，方程总有实数根 你合①②，可知无论k为何实数，方程总有实数根
(1)证明:分两种情况讨论:①当k=0时,方程为x-2=0, ∴x=2,即方程有实数根; ②当k≠0时,一元二次方程的根的判别式 Δ= [-(3k-1)]2 -4k·2(k-1)=k2+2k+1=(k+1)2≥0, 所以当k为不等于0的实数时,方程总有实数根. 综合①②,可知无论k为何实数,方程总有实数根
2解：由根与杀数的吴系，得x+32 3k-1 (k-1) .X1-X2=2,∴.(X1-X2)2=4, k+o4(- 8k-1)-4. 整理，得3k2-2k-1=0.解得k1=1,k2=-3
(2)解:由根与系数的关系,得 x1+x2= 𝟑𝐤-𝟏 𝐤 ,x1x2= 𝟐(𝐤-𝟏) 𝐤 . ∵|x1-x2|=2,∴(x1-x2) 2 =4, 即(x1+x2) 2 -4x1x2=4,∴ 𝟑𝐤-𝟏 𝐤 𝟐 − 𝟖(𝐤-𝟏) 𝐤 =4. 整理,得 3k2 -2 k-1=0.解得 k1=1,k2=- 𝟏 𝟑
【名师点津】 1.当二次项系数含有字母，且题目中未指明方程是一元几次 方程时，应注意分类讨论，全面获解 2.根与系数的关系是求解一元二次方程中未知字母值的重 要数量关系，可结合两根之差通过配方相互进行转化
【名师点津】 1.当二次项系数含有字母,且题目中未指明方程是一元几次 方程时,应注意分类讨论,全面获解. 2.根与系数的关系是求解一元二次方程中未知字母值的重 要数量关系,可结合两根之差通过配方相互进行转化