21.24一元二次方 程的根与系数的关系
21.2.4 一元二次方 程的根与系数的关系
71元二次方程的一般形式是什么? ax2+bx+C=0(a≠0) 2.元二次方程的求根公式是什么? b士√b2-4ac X= (b2-4ac≥0) 2a 3.一元二次方程的根的情况怎样确定? △>0分两个不等的实数根 △=b2-4ac△=0两个相等的实数根 △<0分没有实数根
1.一元二次方程的一般形式是什么？ 3.一元二次方程的根的情况怎样确定？ 2.一元二次方程的求根公式是什么？ 0( 0) 2 ax +bx + c = a b 4ac 2 = − 没有实数根 两个相等的实数根 两个不等的实数根 = 0 0 0 ( 4 0) 2 4 2 2 − − − = b ac a b b ac x
探索新知 方程 X1 X2X1+ X2 X1 x2 x2-3x+2=0 2 2 X2-2x-3=0 2 X2-5x+4=0 4 5 问题:你能发现这些一元二次方程的两根xx2,X x2与系数有什么规律吗? 猜想:当二次项系数为1时,方程x2+px+q=0的两根为 X1, X 2 X+x Px下
方程 x1 x2 x1 + x2 x1 ∙x2 x 2-3x+2=0 X 2-2x-3=0 X 2-5x+4=0 问题：你能发现这些一元二次方程的两根X1+x2 , x1 • x2与系数有什么规律吗？ 猜想：当二次项系数为1时，方程x 2+px+q=0的两根为 x1 , x2 x + x = − p x x = q 1 2 1 2 2 1 3 2 -1 3 2 -3 1 4 5 4 探索新知
探索新知 方程 xX X x+x2 xr x2 9x2-6x+1=0 3 3 3x2-4x-1=0 2+ 3 3 7 3x2+7x+2=0 2 3 x1+x2,x1x2与方程系数有仲么规律?
方 程 x1 x2 x1 x2 + x1 x2 . 2 9 6 1 0 x x − + = 2 3 4 1 0 x x − − = 2 3 7 2 0 x x + + = 3 1 3 1 3 2 9 1 3 2 + 7 3 4 3 1 − 3 1 − -2 3 7 − 3 2 x1 +x2， x1 ∙x2与方程系数有什么规律? 3 2 − 7 探索新知
猜想: 如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 两根为x1,x2,则 b x1+x= x1·X= 你们能证明这个结论吗?
a b x1 + x2 = − a c x1 x2 = 如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠0）的 两根为x1,x2,则 猜想： 你们能证明这个结论吗？
证明:根据求根公式可知,方程的两根为 b+√b2-4ac 6-v6 2_4 C 由此可得,2a 2a b+√b2-4ac-b-√b2-4ao x1+x2 2a 2a 26 b 2a b+√b2-4ac-b-√b2-4ace X1 2a 2a b -4ac 4 因此,方程的两个根与系数a,b,c有如下关系: C X,+x=
证明：• 根据求根公式可知，方程的两根为 a b b ac x a b b ac x 2 4 , 2 4 2 2 2 1 − − − = − + − = a b a b a b b ac a b b ac x x = − − = − − − + − + − + = 2 2 2 4 2 4 2 2 1 2 由此可得， ( ) ( ) a c a b b ac a b b ac a b b ac x x = − − − = − − − • − + − • = 2 2 2 2 2 1 2 4 4 2 4 2 4 a c x x a b x x a b c 1 + 2 = − , 1 • 2 = 因此，方程的两个根与系数 , , 有如下关系：
例题赏析 例4、根据一元二次方程的根与系数的 关系,求下列方程的x,x2的和与积 1)x2-6x-15=0 (2)3x2+7x-9=0 (3)5x-1=4x2 注意的问题: 1、化成一般形式; 2使用公式x+x2=一时,不要漏掉负号
例4、根据一元二次方程的根与系数的 关系，求下列方程的 的和与积 (1) x2 -6x-15=0 (2) 3x2+7x-9=0 (3) 5x-1=4x2 注意的问题： 1、化成一般形式； 例题赏析 1 2 x , x 使用公式 时，不要漏掉负号 a b 2 x1 + x2 = −
补充数 口知方程5x2+kx-6=0的一个根是2, 求另一个根及k值
已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2， 求另一个根及k值
应用:求值 设x,x2为方程2-4x+1=0的两个根 X +r= 12 x2+x2=(x+x2)2-2x1x2=14 (x1-x2)2=(x1+x12)2-4
1 2 2x x 4 x1 x2 = 1 14 12 则： x1 + x2 = + = 2 2 2 1 x x + − 2 1 2 (x x ) ＝ − = 2 1 2 (x x ) 2 1 2 (x + x ) 1 2 − 4x x ＝ 应用：求值
另外几种常见的求值 X, +x 1.-+ 2 X 2.-+ 孓2分x12 x2+x2(x1+x2)2-2x1 xX 3(x1+1(x2+1)=xx2+(x1+x2)+1 4 M- (1+x2)2-4x1x2 2
另外几种常见的求值 + = 1 2 1 1 1. x x 1 2 1 2 x x x + x 3.(x1 +1)(x2 +1) = x1 x2 + (x1 + x2 ) +1 1 2 2 1 2. x x x x + 1 2 2 2 2 1 x x x + x = 1 2 1 2 2 1 2 ( ) 2 x x x + x − x x = 4. x1 − x2 = 2 1 2 (x − x ) 1 2 2 1 2 = (x + x ) − 4x x