24.1.3弧、弦、圆心角
24.1.3弧、弦、圆心角
学习目标 1、理解圆的旋转不变性 2、了解圆心角的概念。 3、掌握圆心角、弧和弦的关系定理及推论
1、理解圆的旋转不变性 2、了解圆心角的概念。 3、掌握圆心角、弧和弦的关系定理及推论。 学习目标
思考 圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里? 圆是中心对称图形, 它的对称中心是圆心
圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里? · 思考 圆是中心对称图形， 它的对称中心是圆心
定义 圆心角:我们把顶点在圆心的角叫做圆心角 B 如图中所示,∠AOB就是一个圆心角
· 圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. O B A 如图中所示， ∠AOB就是一个圆心角。 定义
判别下列各图中的角是不是圆心角,并说明理由。 ③3
判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。 ① ② ③ ④
探究 如图,将圆心角∠A0绕圆心Q旋转到∠A'0B的位置,你能发现 哪些等量关系?为什么? B B B A 根据旋转的性质,将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠AOB的位置时,显然 ∠AOB=∠AOB,射线OA与OA重合,OB与OB重合.而同圆的半径相等, OA=OA,OB=OB,从而点A与A重合,B与B重合 因此,弧AB与弧A'B重合,AB与AB重合.即 AB A·B AB A
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现 哪些等量关系？为什么？ 根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，显然 ∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等， OA=OA′ ，OB=OB′，从而点A与A′重合，B与B′重合． O · A B O · A B A′ B′ A′ B′ 探究 AB A B = ' '. 因此，弧AB与弧A ′ B ′ 重合，AB与A′B′重合．即 ⌒ AB = A ⌒ ′ B ′
定理 这样,我们就得到下面的定理: 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等, 所对的弦也相等 同样,还可以得到: 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的同圆或等圆中, 圆心角相等,所对的弦相等; 两个圆心角、两 条弧、两条弦中 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么他们所对的有组量相等 它们所对应的其 圆心角相等,所对的弧相等 余各组量也相 等
同样，还可以得到： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 圆心角_____， 所对的弦________； 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的 圆心角______，所对的弧_________． 这样，我们就得到下面的定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等． 相等 相等 相等 相等 同圆或等圆中， 两个圆心角、两 条弧、两条弦中 有一组量相等， 它们所对应的其 余各组量也相 等． 定理
例题欣赏 例1如图在⊙O中,AB=Ac,∠ACB=60°, 求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC 证明:∵AB=Ac AB=AG,△ABG等腰三角形 又∠ACB=60°, △ABC是等边三角形,AB=BC=CA.B C ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC
证明：∵AB=AC ∴ AB=AC, △ABC 等腰三角形． 又∠ACB=60° ， ∴ △ABC是等边三角形，AB=BC=CA. ∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. · A B C O 例题欣赏 例1 如图在⊙O中，AB=AC ，∠ACB=60° ， 求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒
练习 1、如图,AB、CD是⊙O的两条弦 1)如果AB=CD,那么AB=CD∠AOB=∠COD (2)如果AB=CD,那么AB=CD∠OB=∠COD (3)如果∠AOB=∠COD,那么_AB=AB=gD (4)如果AB=CD,OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,OE与OF相等吗? 为什么? OE=OF 证明:OE⊥AB,OF⊥CD E B AE=-AB. CF=-CD D 又∴AB=CD AE=CF 又OA=OC ∴Rt△AOE= RtACOF ∴OE=OF
1、如图，AB、CD是⊙O的两条弦． （1）如果AB=CD，那么___________， （2）如果 ，那么____________， （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________， （4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？ 为什么？ · C A B D E F O = AOB COD AB=CD = AOB COD , , 1 1 , 2 2 AB CD AE CF OA OC R . OE OF OE AB OF CD AE AB CF CD t AOE Rt COF OE OF = ⊥ ⊥ = = = 证明： 又 ＝ ＝ 又 ＝ AB=CD 练习 AB=CD ︵ ︵ AB=CD ︵ ︵ AB=CD ︵ ︵
2如图,AB是⊙O的直径,BC=CD=DE,∠COD=35°, 求∠AOE的度数 解 BC CD DE E ∠BOC=∠COD=∠DOE=35 ∠AOE=180°-3×35° A =75
2.如图，AB是⊙O的直径， , ∠COD=35° ， 求∠AOE的度数． A O · B C E D BOC= COD= DOE=35 = − 180 3 35 AOE= 75 解： ⌒ BC = ⌒ CD = ⌒ DE ⌒ BC = ⌒ CD = ⌒ DE