2414圆周角 (第1课时)
24.1.4 圆周角 （第1课时）
温故知新 想一想,我们是如何给圆心角下定义的? 顶点在圆心的角叫圆心角。 你能仿照圆心角的定义,给下图中象∠ACB这样的角下个定义吗? 顶点在圆上,并且两边都和 圆相交的角叫做圆周角 特征:①角的顶点在圆上 ②角的两边都与圆相交
温故知新 想一想，我们是如何给圆心角下定义的？ 顶点在圆心的角叫圆心角。 你能仿照圆心角的定义，给下图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？ 顶点在圆上，并且两边都和 圆相交的角叫做圆周角． 特征：① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆相交
概念应用 判断如圜所杀的角,哪些是圜周角
√ 概念应用 判断如图所示的角，哪些是圆周角 √
探究 分别量一下图中弧AB所对的 C 两个圆周角的度数,比较一下 再变动点c在圆周上的位置,圆 周角的度数有没有变化?你能发 现什么规律吗? 再分别量出图中弧AB所对的圆 周角和圆心角的度数,比较一下,A 你什么发现 同弧所对的圆周角的度数没有变化,并且它的 度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半
· C D A B O 同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的 度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半． 分别量一下图中弧AB所对的 两个圆周角的度数，比较一下， 再变动点C在圆周上的位置，圆 周角的度数有没有变化？你能发 现什么规律吗？ 再分别量出图中弧AB所对的圆 周角和圆心角的度数，比较一下， 你什么发现 探究
为了进一步探究上面的发现,如图在⊙O任取一个圆周 角∠BAC,将圆对折,使折痕经过圆心O和∠BAC的顶点 A.由于点A的位置的取法可能不同,这时折痕可能会: (1)在圆周角的一条边上; ∵OA=OC, ∠A=∠C 又∠BOC=∠A+∠C ∴∠BOC=2∠A 即∠A=∠BOC 2 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
为了进一步探究上面的发现，如图在⊙O任取一个圆周 角∠BAC，将圆对折，使折痕经过圆心O和∠BAC的顶点 A．由于点A的位置的取法可能不同，这时折痕可能会: （1）在圆周角的一条边上； · C O A B A = BOC 2 1 即 ∵OA=OC， ∴∠A=∠C． 又∠BOC=∠A+∠C ∴∠BOC=2∠A 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
(2)在圆周角的内部 圆心O在∠BAC的内部,作直径AD,利用(1)的 结果,有 ∠BAD=-∠BOD ∠DAC=-∠DOC 2 A ∴∠BAD+∠DAC==(∠BOD+∠DOC) ∴∠BAC=-∠BOC B C 条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
（2）在圆周角的内部． 圆心O在∠BAC的内部，作直径AD，利用（１）的 结果，有 1 2 = BAD BOD 1 2 = DAC DOC 1 ( ) 2 + = + BAD DAC BOD DOC 1 2 = BAC BOC · C O A B D 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
(3)在圆周角的外部 圆心O在∠BAC的外部,作直径AD,利用(1)的结果,有 ∠BAD=-∠BOD ∠DAC=-∠DOC ∠DAC-∠DAB=(∠DOC-∠DOB) A ∵.∠BAC=-∠BOC C 条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的二半.B
（3）在圆周角的外部． 1 2 = BAD BOD 1 2 = DAC DOC1 ( ) 2 − = − DAC DAB DOC DOB 1 2 = BAC BOC 圆心O在∠BAC的外部，作直径AD，利用（１）的结果，有 · C O A B D 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
圆周角定理 在同圆或等圆中,同弧或等弧 所对的圆周角相等,都等于这 条弧所对的圆心角的一半
圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧 所对的圆周角相等，都等于这 条弧所对的圆心角的一半
探究 1.半圆或直径所对的圆周角等于多少度? 2.90°的圆周角所对的弦是否是直径? 线段AB是⊙O的直径,点C是⊙O 上任意一点(除点A、B),那么, ∠ACB就是直径AB所对的圆周角 想想看,∠ACB会是怎么样的角?A4 B 为什么呢?
探究： 1． 半圆或直径所对的圆周角等于多少度？ ２．９０°的圆周角所对的弦是否是直径？ 线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O 上任意一点（除点A、B）,那么， ∠ACB 就是直径AB 所对的圆周角. 想想看，∠ACB 会是怎么样的角？ 为什么呢？
证明: 因为OA=OB=OC,所以△AOC △BOC都是等腰三角形,所以 ∠OAC=∠OcA,∠OBC=∠OCB 又∠OAc+∠OBC+∠ACB=180°,A 所F以∠ACB=∠OCA+∠OCB=90° 因此,不管点C在⊙O上何处(除点A B),∠ACB总等于90 结论: 半圆或直径所对的圆周角是90°(直角),反 过来也是成立的,90的圆周角所对的弦是直径
证明： 因为OA＝OB＝OC，所以△AOC、 △BOC 都是等腰三角形，所以 ∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB. 又∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180° ， 所以∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝90°. 因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、 B），∠ACB总等于90° ， 结论： 半圆或直径所对的圆周角是90°（直角），反 过来也是成立的，90°的圆周角所对的弦是直径