探究 我们知道,已知一次函数图象上两个点的坐标, 可以用待定系数法求出它的解析式,对于二次函数, 探究下面的问题: (1)已知二次函数图象上几个点的坐标, 可以求出这个二次函数的解析式呢? (2)如果一个二次函数的图象经过(-1,10) (1,4),(2,7)三点,能求出这个二次函数的 解析式吗?如果能,求出这个二次函数的解析式
探究 我们知道，已知一次函数图象上两个点的坐标， 可以用待定系数法求出它的解析式，对于二次函数， 探究下面的问题： （1）已知二次函数图象上几个点的坐标， 可以求出这个二次函数的解析式呢？ （2）如果一个二次函数的图象经过（-1，10）， （1，4），（2，7）三点，能求出这个二次函数的 解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式
探究 分析:一次函数的解析式是y=kx+b,要写出 解析式,需求出k、b的值为此,可以由一次 函数图象上两个点的坐标,列出关于k、b的 二元一次方程组求出待定系数k与b类似地, 二次函数的解析式是y=ax2+bx+C,要写出解 析式,需求出a、b、c的值为此,可以由二 次函数图象上三个点的坐标,列出关于a、b、 c的三元一次方程组,求出三个待定系数a、 b、c
探究 • 分析：一次函数的解析式是y=kx+b，要写出 解析式，需求出k、b的值.为此，可以由一次 函数图象上两个点的坐标，列出关于k、b的 二元一次方程组求出待定系数k与b.类似地， 二次函数的解析式是y=ax2+bx+c，要写出解 析式，需求出a、b、c的值.为此，可以由二 次函数图象上三个点的坐标，列出关于a、b、 c的三元一次方程组，求出三个待定系数a、 b、c
探究 (2)设:所求的二次函数为y=ax2+bx+c由已知, 函数图象经过(-1,10),(1,4),(2,7) 三点,得到关于a、b、c的三元一次方程组 a-b+C=10 =2 解得 a+btc=4 b=-3 4a+2b+c=7 所求的二次函数是y=2x23x+5
探究 （2）设：所求的二次函数为y=ax2+bx+c由已知， 函数图象经过（-1，10），（1，4），（2，7） 三点，得到关于a、b、c的三元一次方程组 10 4 4 2 7 a b c abc a b c − + = + + = + + = 解得： 2 3 5 a b c = = − = 所求的二次函数是y=2x2 -3x+5
归纳 用待定系数法求二次函数解析式,要根据给定 条件的特点选择合适的方法来求解 般地,在所给条件中已知顶点坐标时,可 设顶点式y=a(x-h)2+k,在所给条件中已知 抛物线与x轴两交点坐标或已知抛物线与x轴 交点坐标与对称轴,可设交点式y=a(x x1)(x-x2)在所给的三个条件是任意三点时, 可设一般式y=ax2+bx+c然后组成三元一次 方程组来求解
用待定系数法求二次函数解析式，要根据给定 条件的特点选择合适的方法来求解 一般地，在所给条件中已知顶点坐标时，可 设顶点式y=a(x-h)2+k，在所给条件中已知 抛物线与x轴两交点坐标或已知抛物线与x轴 一交点坐标与对称轴，可设交点式y=a(xx1)(x-x2);在所给的三个条件是任意三点时， 可设一般式y=ax2+bx+c;然后组成三元一次 方程组来求解。 归纳
例:根据下列条件,分别求出对应的二次函数解析式 (1)已知抛物线的顶点是(1,2)且过点(2,3) 解:已知顶点坐标设顶点式y=a(xh)2+k ∵顶点是(1,2) ∴设y=a(X1)2+2,又过点(2,3) a(2-1)2+2=3,∴a=1 y=(X-1)2+2,即y=x2-2x+3 (2)已知抛物线与x轴两交点横坐标为1,3且图像过(0,3) 解:已知与x轴两交点横坐标,设交点式y=a(X×1)(Xx2) 由抛物线与x轴两交点横坐标为1,3,∴设y=a(×-1)X3),过 (0,-3),∴a(0-1)(0-3)=3,∴a=-1 y=-(X1)(×3),即y=×2+4×3
例：根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式 （1）已知抛物线的顶点是（1，2）且过点（2，3) （2）已知抛物线与x轴两交点横坐标为1，3且图像过（0，-3） 解：已知顶点坐标设顶点式y=a(x-h)2+k ∵顶点是（1，2） ∴设y=a(x-1)2+2，又过点（2，3） ∴a(2-1)2+2=3，∴a=1 ∴ y=(x-1)2+2，即y=x2 -2x+3 解：已知与x轴两交点横坐标，设交点式y=a(x-x1 )(x-x2 ) 由抛物线与x轴两交点横坐标为1，3，∴设y=a(x-1)(x-3),过 （0，-3），∴ a(0-1)(0-3)=-3, ∴a=-1 ∴ y=-(x-1)(x-3),即y=-x 2+4x-3
(3)已知二次函数的图像过(-1,2),(0,1),(2, 7) 已知普通三点设一般式y=ax2+bx+C 设y=ax2+bX+c过(-1,2),(0,1),(2,7) 点 a-b+C=0 a=-1 b=-2 4a+2b+C=-7 C=1 y=×2-2x+1
(3)已知二次函数的图像过（-1，2），（0，1），（2， -7） 已知普通三点设一般式y=ax2+bx+c, 设y=ax2+bx+c过（-1，2），（0，1），（2，-7） 三点 ∴ a-b+c=0 c=1 4a+2b+c=-7 a=-1 b=-2 c=1 y=-x 2 -2x+1
例:如图,已知二次函数y=ax2-4x+c的图像经 过点A和点B (1)求该二次函数的表达式; (2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标 (3)点P(m,m)与点Q均在该函数图像上 (其中m>0),且这两点关于抛物线的对称 轴对称,求m的值及点Q到x轴的距离
例：如图，已知二次函数 的图像经 过点A和点B． （1）求该二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上 （其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称 轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离． 2 y ax x c = − + 4 x y O 3 －9 －1 A －1 B 图13
解:(1)将x-1,=-1;=3,=-9分别代 入=a-4x+c得 1=ax(-1)-4x(-1)+c 解得(a=1, -9=0x×3-4×3+c 6 二次函数的表达式为.y=x2-4x-6 (2)对称轴为x=2;顶点坐标为(2,-10) (3)将(m,m)代入y=x2-4x-6, 得m=m2-4m-6, 解得m1=-1,m2=6.m>0,…m=-下合题意, 舍去 .m=6 ∵点P与点Q关于对称轴x=2对称, ∴点Q到x轴的距离为6
（2）对称轴为 ；顶点坐标为（2，-10）． （3）将（m，m）代入 ， 得 ， 解得 ．∵m＞0，∴ 不合题意， 舍去． ∴ m=6． ∵点P与点Q关于对称轴 对称， ∴点Q到x轴的距离为6． 解：（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代 入 得 解得 ∴二次函数的表达式为． y = ax − 4x + c 2 − = − + − = − − − + 9 3 4 3 . 1 ( 1) 4 ( 1) , 2 2 a c a c = − = 6. 1, c a 4 6 2 y = x − x − x = 2 4 6 2 y = x − x − 4 6 2 m = m − m − 1 2 m m = − = 1, 6 1 1 m = − x = 2
结束寄语 ●探索是数学生命绲 再死
结束寄语 •探索是数学生命线