全程设计 9.2.4 总体离散程度的估计
9.2.4 总体离散程度的估计
课前·基础认知 课堂·重难突破
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导航 课前·基础认知 1.极差 (1)定义：一组数据中最大值与最小值的 (2)特征：极差是一种简单的度量数据 的方法， 极差在一定程度上刻画了数据的离散程度.但因为极差只使 用了数据中最大、最小两个值的信息，对其他数据的取值情 况没有涉及，所以极差所含的 很少
导航 课前·基础认知 1.极差 (1)定义:一组数据中最大值与最小值的 差 . (2)特征:极差是一种简单的度量数据 离散程度 的方法, 极差在一定程度上刻画了数据的离散程度.但因为极差只使 用了数据中最大、最小两个值的信息,对其他数据的取值情 况没有涉及,所以极差所含的 信息量 很少
导航 2.方差、标准差 假设一组数据是x1,2,3,…X,用x表示这组数据的平均数 n (①平均距离：Σxr i=1 (2)方差： 或写成以下形式 3)标准差： 或写成以下形式
导航 2.方差、标准差 假设一组数据是 x1,x2,x3,…,xn,用𝒙表示这组数据的平均数. (1)平均距离: 𝟏 𝒏 ∑ 𝒏 𝐢=𝟏 |xi-𝒙|. (2)方差: 𝟏 𝒏 ∑ 𝒏 𝐢=𝟏 (xi-𝒙) 2 或写成以下形式 𝟏 𝒏 ∑ 𝒏 𝐢=𝟏 𝒙𝒊 𝟐 -𝒙 𝟐 . (3)标准差: 𝟏 𝒏 ∑ 𝒏 𝐢=𝟏 (𝒙𝒊 -𝒙) 𝟐 或写成以下形式 𝟏 𝒏 ∑ 𝒏 𝐢=𝟏 𝒙𝒊 𝟐 -𝒙 𝟐
(4)总体方差、总体标准差 如果总体中所有个体的变量值分别为Y,Y2,,Y,总体平均 数为，则7称总体方差为S2= 如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(≤N个，不妨记为 Y1,Y2,,Y其中Y出现的频数为fi=1,2,,,则总体方差为 ,S2- 总体标准差S=√Sz
导航 (4)总体方差、总体标准差 如果总体中所有个体的变量值分别为Y1 ,Y2 ,…,YN,总体平均 数为 ,则 称总体方差为S 2= . 如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为 Y1 ,Y2 ,…,Yk ,其中Yi出现的频数为fi (i=1,2,…,k),则总体方差为 S 2= . 总体标准差S= . 1 𝑁 ∑ 𝑛 i=1 (Y i-𝑌) 2 1 𝑁 ∑ 𝑘 i=1 fi(Y i-𝑌) 2 𝑺 𝟐 𝒀
导航 ⑤)样本方差、样本标准差 如果一个样本中个体的变量值分别为y12,y, 样本平均数为夕，则称其样本方差为s2= 样本标准差为S=VSz=
导航 (5)样本方差、样本标准差 如果一个样本中个体的变量值分别为 y1,y2,…,yn, 样本平均数为𝒚,则称其样本方差为 s 2 = 𝟏 𝒏 ∑ 𝒏 𝐢=𝟏 (yi-𝒚) 2 , 样本标准差为 s= 𝒔 𝟐 = 𝟏 𝒏 ∑ 𝒏 𝐢=𝟏 (𝒚𝒊 -𝒚) 𝟐
导 微思考1(1)对一组数据进行统计分析，应该从哪几个方面 进行？ 提示：用平均数反映数据的平均水平，用众数反映数据的最 大集中点，用中位数反映数据的集中趋势和一般水平，用标准 差或方差反映数据的离散程度， (2)如何对比两组数据？ 提示：从众数、中位数、平均数和方差等几个方面进行对 比
导航 微思考1 (1)对一组数据进行统计分析,应该从哪几个方面 进行? 提示：用平均数反映数据的平均水平,用众数反映数据的最 大集中点,用中位数反映数据的集中趋势和一般水平,用标准 差或方差反映数据的离散程度. (2)如何对比两组数据? 提示：从众数、中位数、平均数和方差等几个方面进行对 比
导航 微拓展关于方差的重要结论 )数据x1x2,Xn与数据x+,X2+.Xn十的方差相等. (2)若x1水2Xn的方差为s2,则x1,心2，…，心n的方差为2s2. 3)方差的简化公式：s2【(x+x+…+x)-nx], 或写成s2-1(x子+x+.+x)x2,即方差等于原数据平方的平 均数减去原数据平均数的平方
导航 微拓展 关于方差的重要结论 (1)数据x1 ,x2 ,…,xn与数据x1+a,x2+a,…,xn +a的方差相等. (2)若x1 ,x2 ,…,xn的方差为s 2 ,则ax1 ,ax2 ,…,axn的方差为a 2 s 2 . (3)方差的简化公式:s 2 = 𝟏 𝒏 [(𝒙𝟏 𝟐 + 𝒙𝟐 𝟐 +…+𝒙𝒏 𝟐 )-n 𝒙 𝟐 ], 或写成 s 2 = 𝟏 𝒏 (𝒙𝟏 𝟐 + 𝒙𝟐 𝟐 +…+𝒙𝒏 𝟐 )-𝒙 𝟐 ,即方差等于原数据平方的平 均数减去原数据平均数的平方
3.标准差的意义 标准差刻画了数据的 或 ,标准差 越大，数据的离散程度越 ;标准差越小，数据的离散程度 越 4.分层随机抽样的方差 设样本量为n,平均数为x,其中两层的个体数量分别为n1,n2, 两层的平均数分别为元1，不2，方差分别为s1,s经， 则这个样本的方差为s2-s+民1-1+s经+2-1
导航 3.标准差的意义 标准差刻画了数据的 离散程度 或 波动幅度 ,标准差 越大,数据的离散程度越 大 ;标准差越小,数据的离散程度 越 小 . 4.分层随机抽样的方差 设样本量为n,平均数为 ,其中两层的个体数量分别为n1 ,n2 , 两 𝒙 层的平均数分别为𝒙𝟏,𝒙𝟐,方差分别为𝒔𝟏 𝟐 ,𝒔𝟐 𝟐 , 则这个样本的方差为 s 2 = 𝒏𝟏 𝒏 [𝒔𝟏 𝟐 +(𝒙𝟏-𝒙) 2 ]+ 𝒏𝟐 𝒏 [𝒔𝟐 𝟐 +(x2-𝒙) 2 ]
导 微思考2(1)甲班和乙班各有学生20人、40人，甲班的数学 成绩的平均数为80分，方差为2，乙班的数学成绩的平均数为82 分，方差为4，那么甲班和乙班这60人的数学成绩的平均分是 80+8 2 2-81分吗？方差是2士43吗？为什么？ 提示：不是，因为甲班和乙班在这60人中的权重是不同的
导航 微思考2 (1)甲班和乙班各有学生20人、40人,甲班的数学 成绩的平均数为80分,方差为2,乙班的数学成绩的平均数为82 分,方差为4,那么甲班和乙班这60人的数学成绩的平均分是 =81分吗?方差是 =3吗?为什么? 提示：不是,因为甲班和乙班在这60人中的权重是不同的. 𝟖𝟎 + 𝟖𝟐 𝟐 𝟐 + 𝟒 𝟐