全程设计 1.2 空间向量基本定理
1.2 空间向量基本定理
素养·目标定位 课前·基础认知 课堂·重难突破 随堂训练
素养·目标定位 课前·基础认知 课堂·重难突破 随堂训练
导航 素养·目标定位 目标素养 知识概览 1.了解空间向量基本定理 及其意义 空间向量基本定理及其意义 2.掌握空间向量的正交分 空间向量 基本定理 空间向量的正交分解 解 空间向量基本定理的应用 3.会用空间向量基本定理 解决一些简单问题
导航 素养·目标定位 目 标 素 养 知 识 概 览 1.了解空间向量基本定理 及其意义. 2.掌握空间向量的正交分 解. 3.会用空间向量基本定理 解决一些简单问题
导期 课前·基础认知 1.空间向量基本定理 (I)定理：如果三个向量a,b,c 那么对任意一个空间 向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc. (2)基底：如果三个向量a,b,c不共面，那么所有空间向量组成的 集合就是 .这个集合可看作由向 量a,b,c生成的，我们把 叫做空间的一个基底，a,b,c 都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间 的一个基底
导航 课前·基础认知 1.空间向量基本定理 (1)定理:如果三个向量a,b,c 不共面 ,那么对任意一个空间 向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc. (2)基底:如果三个向量a,b,c不共面,那么所有空间向量组成的 集合就是 {p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R} .这个集合可看作由向 量a,b,c生成的,我们把 {a,b,c} 叫做空间的一个基底,a,b,c 都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间 的一个基底
导航 微训练在长方体ABCD-AB,CD,中，可以作为空间的一个基 底的是() A.AB,AC,AD B.AB,AA1,AB1 C.D1Ai,DiCi,DiD D.ACL AIC,CCI 答案：C
导航 微训练 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,可以作为空间的一个基 底的是( ) A.𝑨 𝑩 ,𝑨 𝑪 ,𝑨 𝑫 B.𝑨 𝑩 ,𝑨𝑨𝟏 ,𝑨𝑩𝟏 C.𝑫𝟏 𝑨𝟏 ,𝑫𝟏 𝑪𝟏 ,𝑫 𝟏 𝑫 D.𝑨𝑪𝟏 ,𝑨 𝟏 𝑪 , 𝑪𝑪𝟏 答案:C
导航 2空间向量的正交分解： ()单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两 垂直，且长度都为，那么这个基底叫做单位正交基底，常 用{ij,k}表示 (2)正交分解：把一个空间向量分解为三个 的向 量，叫做把空间向量进行正交分解
导航 2.空间向量的正交分解: (1)单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两 垂直,且长度都为 1 ,那么这个基底叫做单位正交基底,常 用{i,j,k}表示. (2)正交分解:把一个空间向量分解为三个 两两垂直 的向 量,叫做把空间向量进行正交分解
导航 课堂·重难突破 空间基底的判断 典例剖析 1.已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底，且 0A=e1+2e2-e3,0B=-3e1+e2+2e3,0C=e1+e2-e3,试判断 0A,0B,OC}能否作为空间的一个基底？
导航 课堂·重难突破 一 空间基底的判断 典例剖析 1.已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且 𝑂 𝐴 =e1+2e2-e3,𝑂 𝐵 =-3e1+e2+2e3,𝑂 𝐶 =e1+e2-e3,试判断 {𝑂 𝐴 ,𝑂 𝐵 ,𝑂 𝐶 }能否作为空间的一个基底?
导 解：假设0A,OB,0C共面，由向量共面的充要条件可知，存在实 数x,y,使OA=x0B+0C成立， 故e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3) =(-3x+y)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3. 因为{e1,e2,e3}是空间的一个基底
导航 解:假设𝑂 𝐴 ,𝑂 𝐵 ,𝑂 𝐶 共面,由向量共面的充要条件可知,存在实 数 x,y,使𝑂 𝐴 =x𝑂 𝐵 +y𝑂 𝐶 成立, 故 e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3) =(-3x+y)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3. 因为{e1,e2,e3}是空间的一个基底
导航 -3x+y=1, 所以e1,e2,e3不共面，所以x+y=2,此方程组无解， 2x-y=-1, 即不存在实数x,y,使OA=x0B+y0C成立 所以0A,0B,0C不共面 故O五，0B,0C}能作为空间的一个基底
导航 所以 e1,e2,e3 不共面,所以 -3𝑥 + 𝑦 = 1, 𝑥 + 𝑦 = 2, 2𝑥-𝑦 = -1, 此方程组无解, 即不存在实数 x,y,使𝑂 𝐴 =x𝑂 𝐵 +y𝑂 𝐶 成立. 所以𝑂 𝐴 ,𝑂 𝐵 ,𝑂 𝐶 不共面. 故{𝑂 𝐴 ,𝑂 𝐵 ,𝑂 𝐶 }能作为空间的一个基底
导航 规律总结判断三个向量能否构成空间的一个基底的关键是 判断这三个向量是否共面，若共面，则不能构成空间的一个基 底，若不共面，则能构成空间的一个基底判断三个向量是否共 面，往往先假设共面，再利用向量共面的充要条件及已知条件 进行判断
导航 规律总结 判断三个向量能否构成空间的一个基底的关键是 判断这三个向量是否共面,若共面,则不能构成空间的一个基 底,若不共面,则能构成空间的一个基底.判断三个向量是否共 面,往往先假设共面,再利用向量共面的充要条件及已知条件 进行判断