全程设计 第2课时 用空间向量研究夹角问题
第2课时 用空间向量研究夹角问题
素养·目标定位 课前·基础认知 课堂·重难突破 随堂训练
素养·目标定位 课前·基础认知 课堂·重难突破 随堂训练
导航 素养·目标定位 目标素养 知识概览 1.能用向量方法解决 求异面直线所成的角 简单的夹角问题 用空间向量研 2.体会向量方法在研 究夹角问题 求直线与平面所成的角 究几何问题中的应用. 求平面与平面的夹角
导航 素养·目标定位 目 标 素 养 知 识 概 览 1.能用向量方法解决 简单的夹角问题. 2.体会向量方法在研 究几何问题中的应用
导航 课前·基础认知 1.异面直线所成的角 若异面直线l1,1,所成的角为0，其方向向量分别是u,V,则 cos 0=cos= luv u☑l 2.直线与平面所成的角 直线与平面相交，设直线与平面所成的角为0，直线的方向向量 为u,平面的法向量为n,则sin0=|cos= lun lullnl
导航 课前·基础认知 1.异面直线所成的角 若异面直线l1 ,l2所成的角为θ,其方向向量分别是u,v,则 cos θ=|cos|= . |𝑢·𝑣| |𝑢||𝑣| 2.直线与平面所成的角 直线与平面相交,设直线与平面所成的角为θ,直线的方向向量 为u,平面的法向量为n,则sin θ=|cos|= . |𝑢·𝑛| |𝑢||𝑛|
导月 3.平面与平面的夹角 ()平面与平面的夹角的定义 平面α与平面B相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中 的二面角称为平面a与平面B的夹角 (2)平面与平面的夹角的求法 若平面a,B的法向量分别是n,和n2,则平面a与平面B的夹角即 为向量n,和n2的夹角或其补角.设平面a与平面的夹角为0，则 cos 0=cos<n,n2= ni'n2l Inillnzl
导航 3.平面与平面的夹角 (1)平面与平面的夹角的定义 平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中 不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角. (2)平面与平面的夹角的求法 若平面α,β的法向量分别是n1和n2 ,则平面α与平面β的夹角即 为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ,则 cos θ=|cos|= . |𝑛1 ·𝑛2| |𝑛1||𝑛2|
导航 微训练在两个平面内，与这两个平面的交线的方向向量都垂 直的两个向量分别为a=(0,-1,3),b=(2,2,4),则这两个平面的夹 角的余弦值为() B. V15 3 c D或 答案：A
导航 微训练在两个平面内,与这两个平面的交线的方向向量都垂 直的两个向量分别为a=(0,-1,3),b=(2,2,4),则这两个平面的夹 角的余弦值为( ) A. 15 6 B.- 15 3 C. 15 3 D. 15 6 或- 15 6 答案:A
导航 解析：设两个平西的夫角为0则cs9 ca.b的= 故这两个平面的夫角的余弦值为四
导航 解析:设两个平面的夹角为 θ,则 cos θ=|cos|=|𝑎·𝑏| |𝑎||𝑏| = 15 6 . 故这两个平面的夹角的余弦值为 15 6
导航 课堂·重难突破 求异面直线所成的角 典例剖析 1.如图，在直三棱柱ABC-A1BC1 C B 中，AB⊥AC,AB=AC=2,AA=4,点D是BC 的中点.求异面直线A,B与C,D所成角的余 弦值
导航 课堂·重难突破 一 求异面直线所成的角 典例剖析 1.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1 中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=4,点D是BC 的中点.求异面直线A1B与C1D所成角的余 弦值
解：如图，以A为原点，AB,AC,AA,所在直线分别为x轴、y轴 z轴，建立空间直角坐标系，则 B B(2,0,0),D(1,1,0),A1(0,0,4),C1(0,2,4), 所以A1B=(2,0,-4),C1D=(1,-1,-4) A 设异面直线A1B与C1D所成的角为0， 则c0s0=c0sAB-c画 18 3v10 A BC1D v√20x√18 10 所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为3v0 10
导航 解:如图,以A为原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、 z轴,建立空间直角坐标系,则 B(2,0,0),D(1,1,0),A1(0,0,4),C1(0,2,4), 所以𝑨 𝟏 𝑩 =(2,0,-4),𝑪 𝟏 𝑫 =(1,-1,-4). 设异面直线 A1B 与 C1D 所成的角为 θ, 则 cos θ=|cos|=|𝑨 𝟏 𝑩 ·𝑪 𝟏 𝑫 | |𝑨 𝟏 𝑩 ||𝑪 𝟏 𝑫 | = 𝟏𝟖 𝟐𝟎× 𝟏𝟖 = 𝟑 𝟏𝟎 𝟏𝟎 . 所以异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值为𝟑 𝟏𝟎 𝟏𝟎
导航 规律总结建立空间直角坐标系时要充分利用题目中的垂直 关系.利用向量方法求两条异面直线所成的角，思路简捷，但要 注意角的取值范围
导航 规律总结 建立空间直角坐标系时要充分利用题目中的垂直 关系.利用向量方法求两条异面直线所成的角,思路简捷,但要 注意角的取值范围