全程设计 1.1.2 空间向量的数量积运算
1.1.2 空间向量的数量积运算
素养·目标定位 课前·基础认知 课堂·重难突破 随堂训练
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导航 素养·目标定位 目标素养 知识概览 1.了解空间向量的夹角的 概念及表示方法 空间向量的夹角 2.掌握两个向量的数量积 空间向量的 的概念、性质、计算与运 数量积运算 空间向量的数量积及其性质 算律. 数量积的应用 3.能用向量的数量积解决 立体几何中的垂直、夹角 长度等问题
导航 素养·目标定位 目 标 素 养 知 识 概 览 1.了解空间向量的夹角的 概念及表示方法. 2.掌握两个向量的数量积 的概念、性质、计算与运 算律. 3.能用向量的数量积解决 立体几何中的垂直、夹角、 长度等问题
导航 课前·基础认知 1.空间向量的夹角 (1)如图，已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作0A=a, 0B=b,则 叫做向量a,b的夹角，记作. B
导航 课前·基础认知 1.空间向量的夹角 (1)如图,已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作 =a, =b,则 ∠AOB 叫做向量a,b的夹角,记作. 𝑂 𝐴 𝑂 𝐵
导航 (2)通常规定，0≤≤π.这样，两个向量的夹角是唯一确定 的，且=.如果-无那么向量a,b互相垂直，记 作a⊥b
导航 (2)通常规定,0≤≤π.这样,两个向量的夹角是唯一确定 的,且=.如果= ,那么向量a,b互相垂直,记 作a⊥b. π 2
导航 2.空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a,b,则 叫做a,b 的数量积，记作ab.即ab= 特别地，零向量 与任意向量的数量积为 (2)性质： ①a⊥b台 ②aa=a acos=
导航 2.空间向量的数量积 (1)定义:已知两个非零向量a,b,则 |a||b|cos 叫做a,b 的数量积,记作a·b.即a·b= |a||b|cos .特别地,零向量 与任意向量的数量积为 0 . (2)性质: ①a⊥b⇔ a·b=0 ; ②a·a=|a||a|cos= |a| 2
导航 (3)运算律： ①(2a)b=(ab),λ∈R; ②ab=ba(交换律)； ③a(b+c)=ab+ac(分配律). 微思考数量积运算满足结合律吗？ 提示：数量积运算不满足结合律 即(ab)c=a(bc)一般不成立
导航 (3)运算律 : ① (λ a)· b = λ ( a · b), λ ∈R; ② a · b = b · a (交换律); ③ a·( b + c)= a · b + a · c (分配律 ). 微思考数量积运算满足结合律吗 ? 提示 :数量积运算不满足结合律 , 即 ( a · b)· c = a·( b · c )一般不成立
导航 课堂·重难突破 空间向量的数量积的基本运算 典例剖析 1.如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都为 1,E,F分别为AB,AD的中点，计算： (1)EF.BA;(2)EF.BD; ()EF.DC;(4)BF.CE
导航 课堂·重难突破 一 空间向量的数量积的基本运算 典例剖析 1.如图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都为 1,E,F分别为AB,AD的中点,计算: (1)𝑬 𝑭 ·𝑩 𝑨 ;(2)𝑬 𝑭 ·𝑩 𝑫 ; (3)𝑬 𝑭 ·𝑫 𝑪 ;(4)𝑩 𝑭 ·𝑪 𝑬
导航 解：(EF.BA=2BD.BA BDBAl-cOs x1x1x0s60° 故EF·BA=
导航 解:(1)𝑬 𝑭 ·𝑩 𝑨 = 𝟏 𝟐 𝑩 𝑫 ·𝑩 𝑨 = 𝟏 𝟐 |𝑩 𝑫 |·|𝑩 𝑨 |·cos = 𝟏 𝟐 ×1×1×cos 60°= 𝟏 𝟒 , 故𝑬 𝑭 ·𝑩 𝑨 = 𝟏 𝟒
导航 2F.BD=2BD.B而-2BD-2 故EF.BD=2 (3)EF.DC=BD.DC= 2IBD1-DCrc0s<BD,DC1x1×c0s120°=} 故E耶DC-是
导航 (2)𝑬 𝑭 ·𝑩 𝑫 = 𝟏 𝟐 𝑩 𝑫 ·𝑩 𝑫 = 𝟏 𝟐 |𝑩 𝑫 | 2 = 𝟏 𝟐 , 故𝑬 𝑭 ·𝑩 𝑫 = 𝟏 𝟐 . (3)𝑬 𝑭 ·𝑫 𝑪 = 𝟏 𝟐 𝑩 𝑫 ·𝑫 𝑪 = 𝟏 𝟐 |𝑩 𝑫 |·|𝑫 𝑪 |·cos= 𝟏 𝟐 ×1×1×cos 120°=- 𝟏 𝟒 , 故𝑬 𝑭 ·𝑫 𝑪 =- 𝟏 𝟒