全程设计 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时 用空间向量研究距离问题
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时 用空间向量研究距离问题
素养·目标定位 课前·基础认知 课堂·重难突破 随堂训练
素养·目标定位 课前·基础认知 课堂·重难突破 随堂训练
导航 素养·目标定位 目标素养 知识概览 1.掌握点到直线的距离公 式与点到平面的距离公式 求点到直线的距离 用空间向 2.能用向量方法解决点到 量研究距 求点到平面的距离 离问题 直线的距离、点到平面的 求直线到平面的距离或 距离等距离问题 两平行平面之间的距离
导航 素养·目标定位 目 标 素 养 知 识 概 览 1.掌握点到直线的距离公 式与点到平面的距离公式. 2.能用向量方法解决点到 直线的距离、点到平面的 距离等距离问题
导航 课前·基础认知 1.空间中点到直线的距离 如图，已知直线的单位方向向量为uA是直线1上的定点，P是直 线外一点 设AP=a,则向量AP在直线1上的投影 向量为AQ=
导航 课前·基础认知 1.空间中点到直线的距离 如图,已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直 线l外一点. 设𝐴 𝑃 =a,则向量𝐴 𝑃 在直线 l 上的投影 向量为𝐴 𝑄 = (a·u)u
导航 在Rt△APQ中，由勾股定理，得 PO-IAPP-AQP-
导航 在Rt△APQ中,由勾股定理,得 PQ= |𝐴 𝑃 | 2 -|𝐴 𝑄 | 2 = 𝑎 2-(𝑎·𝑢) 2
导 2.空间中点到平面的距离 如图，已知平面a的法向量为n,A是平面a内的定点，P是平面a外 的一点.过点P作平面a的垂线L,交平面a于点Q,则n是直线l 的方向向量，且点P到平面o的距离就是AP在直线1上的投影 向量QP的长度， [AP-nl
导航 2.空间中点到平面的距离 如图,已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外 的一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l 的方向向量,且点 P 到平面 α 的距离就是𝐴 𝑃 在直线 l 上的投影 向量𝑄 𝑃 的长度. 因此 PQ= 𝐴 𝑃 · 𝑛 |𝑛| = 𝐴 𝑃 ·𝑛 |𝑛| = |𝐴 𝑃 ·𝑛| |𝑛|
导航 微训练在三棱锥P-ABC中，PA,PB,PC两两互相垂直，且 PA=1,PB=PC=V2,则点P到平面ABC的距离为( 小号 B.v2 6 D.1 答案：A
导航 微训练 在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两互相垂直,且 PA=1,PB=PC= 𝟐,则点 P 到平面 ABC 的距离为( ) A. 𝟐 𝟐 B. 𝟐 C. 𝟐 𝟔 D.1 答案:A
解析：如图，以P为原点，PA,PB,PC所在直线分别为x轴、y轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则 P(0,0,0),wA1,0,0),B(0,V2,0),C(0,0,V2), .AB=(-1,V2,0),AC=(-1,0,V2),PA=(1,0,0) 设平面ABC的法向量为n=(x,y,2), B 州0*+
导航 解析:如图,以P为原点,PA,PB,PC所在直线分别为x轴、y轴、z 轴,建立空间直角坐标系,则 P(0,0,0),A(1,0,0),B(0, 2,0),C(0,0, 2), ∴𝐴 𝐵 =(-1, 2,0),𝐴 𝐶 =(-1,0, 2),𝑃 𝐴 =(1,0,0). 设平面 ABC 的法向量为 n=(x,y,z), 则 𝑛·𝐴 𝐵 = 0, 𝑛·𝐴 𝐶 = 0, 即 -𝑥 + 2𝑦 = 0, -𝑥 + 2𝑧 = 0
导航、 令x=V2,则y=1,2=1. ∴.n=(V2,1,1)为平面ABC的一个法向量 “点P到平西ABC的距离为圆=号 m
导航 令 x= 2,则 y=1,z=1. ∴n=( 2,1,1)为平面 ABC 的一个法向量. ∴点 P 到平面 ABC 的距离为|𝑃 𝐴 ·𝑛| |𝑛| = 2 2
导航 课堂·重难突破 求点到直线的距离 典例剖析 1.在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E,F分别为 C1C,DA1的中点，求点A到直线EF的距离
导航 课堂·重难突破 一 求点到直线的距离 典例剖析 1.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为 C1C,D1A1的中点,求点A到直线EF的距离